2023年军队文职《数学2》考试备考总结

2023年军队文职《数学2》考试备考总结

基础(精讲)+冲刺(仿真)+督学(测评)+口诀(速记)+经典(资料)

1、初等函数

⑴、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、

幕函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下:

函

数

函数的记号函数的图形函数的性质

名

称

一X

指y=^fy

数a):不论x为何值,y总为正数；

y=a'(a>0,awl)

函b):当x=0时，y=l.

l二

数

1a):其图形总位于y轴右侧，并

对

过(1,0)点

数\.---■■>=log

y=log&x(a〉0,a丰1.)>：当2>1时,在区间(0,1)的

函

值为负；在区间(-,+8)的值为

数/Q-=log1.%

正；在定义域内单调增.

令a=m/n

a):当m为偶数n为奇数时,y

幕是偶函数；

a

函V=Xa为任意实数b):当m,n都是奇数时,y是奇

数[o1函数；

这里只画出部分函数图形c):当m奇n偶时,y在(~°°,0)

的一部分。无意义.

a):正弦函数是以2n为周期

y=sinx的周期函数

角_y=sin工(正弦函数)-二---T-----------"

b):正弦函数是奇函数且

函-提、/<

这里只写出了正弦函数

数-1|sinx|<1

反

卜〉1a):由于此函数为多值函数，

y=arcsinx(反正弦函I'1

J

1JL因此我们此函数值限制在

角作

数)[-n/2,n/2]上,并称其为反正

函-I1.°1|J

r

这里只写出了反正弦函数!\1弦函数的主值.

数1

।1

(2)、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产

生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.

例题：、=28"+1^时节+汕8x)是初等函数。

2.极限的性质

唯一性

有界性

局部保号性

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3.函数极限的运算规则

前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作为一类特殊的函数，故函数极

限的运算规则与数列极限的运算规则相似。

⑴、函数极限的运算规则

若已知x-x。（或x-8）时，⑶—8.

hm（/（X）±g（x））=.4±5Innf（x）■g（x）=AB

贝j（：XTX°XTX0

/（x）A..

bin=—,（Rw0）

XT*。g（x）B

推论：

bin上.=也4,能为常数）hm[〃x）『=月",（加为正整数）

XT/XTXQ

在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极

限。

,3x2+x-l

hm—；----------

例题：求+/一二+3

1ml3/+1=唆+吧公吧1=3+一=3

12

KT14K'+x'一1+3InnAx'4-hrnx-limx+lim34+1-1+37

解答：%T1XTIXTIXTI

例题：求i7/+5/­3

此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以发现此分

式的分子和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？下面我们把它解出来。

197犬+5/一3—9r,537

/+--y

解答：xx

4函数极限的存在准则

准则一：对于点X。的某一邻域内的一切X,X。点本身可以除外（或绝对值大于某一正数

（、\Inng（x）=月Innh（x）=A

的一切X）有g（x）w〃x）w"⑴，且'，XT*。

lim/（x）

那末•存在，且等于A

注：此准则也就是夹逼准则.

准则二：单调有界的函数必有极限.

无穷小量的比较

定义：设。，B都是x7%时的无穷小量，且B在x。的去心领域内不为零，

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lun—=0

a）：如果i"。1，则称a是B的高阶无穷小或P是a的低阶无穷小：

lim-=c0

b）：如果*一*。尸，则称a和。是同阶无穷小：

hm—=1

c）：如果2%?，则称a和B是等价无穷小，记作：asB（a与B等价）

5闭区间上连续函数的性质

闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续，右端点左连续.对于闭区间上

的连续函数有几条重要的性质，下面我们来学习一下：

最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。（在此不作证明）

介值定理在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何

值。即：J⑷=./心）=/，u在a、B之间，则在［a,b］间一定有一个&，使七）="

推论：在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值。

6等价无穷小量和两个重要的极限求极限

lun—lun—=lim—

设as或尸s夕，且夕存在，则B葭

注:这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替,

因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。

.sinax

hm-----

例题:1.求XtanBx

..sinax..axa

lliTl-----=11111—=一

解答：当x-0时，sinaxsax,tanbx^bx,故：tanbxbxb

,tanx-sinx

hm---------

例题：2.求3tan'3x

..tanx-sinxtanAU-cosx)21

lim-----7----=hm-------------=lim--~=—

解答.tan'13x2。tan''3x(3x)354

1-cosx=2sin2—co2(—)2=—

注：22，2

两个重要的极限

lim(1+-)'=e

一：X"/注：其中。为无理数，它的值为：e=2.718281828459045

工注：在此我们对这两个重要极限不加以证明.

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第二章一元函数微分学

导数的四则运算法则

函数的和、差求导法则

函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则

(u±v)r=ur±vfd(u±v)=du±dv

(Cuy=Cu'd(Cu)=Cdu

(uv)f=+03d(uv)=vdu+udv

f

ffJu']vdu一udv

fw]uv-uvd\-2

IMV

函数的和差求导法则

法则：两个可导函数的和（差）的导数等于这两个函数的导数的和（差）.用公式可写为:

（u±vy=u'±v'o其中u、V为可导函数。

^=—+x5+7,

例题：已知.云，求丁

_/=+（”+（7/=-1婷+5x4+o=-士+5尸

解答：X/

函数的积商求导法则

常数与函数的积的求导法则

法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面

去。用公式可写成：（8）'=皿'

例题：已知y=3sinx+4x［求y

解些.y'=（3sin工）'+（4/）'=3（smx）f+4（x2）f=3cosx+42x=3cosx+8x

函数的积的求导法则

法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子

乘第二个因子的导数。用公式可写成：=+

例题：已知/（x）=J^inx,求

=（瓜丫smx+瓜（sinx）r=—Lsinx+瓜cosx

解答：2dx

注：若是三个函数相乘，则先把其中的两个看成一项。

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函数的商的求导法则

法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导

,然、,_u'v-uv'

数的乘积，在除以分母导数的平方。用公式可写成："V2

例题：已知/（x）=tMX,求『

解答：

”、,/sinx.（smx）rcosx-sinx（cosx）rcos2x+sin2x1

=zr===

j（x）—（tsiix,•i,------,）-------------------------------------------------------——T—secx

COSXCOSXCOSXCOSX

复合函数的求导法则

规则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变

dy_dydu

量对自变量的导数。用公式表示为：dx-dudx,其中u为中间变量

的

例题：已知‘nhsmx,求不

dy1、/cosx

—=（InsinX）=------（zsinx）=-------=cotx

解答：dxsinxsinx

基本初等函数的导数公式

基本初等函数的微分公式

由于函数微分的表达式为：dy=f'5dx,

导数公式微分公式

(cy=od(C)=0

(x)'=ld(x)=dx

（二）'=d(xK)=

(sinx)f=cosxd(sinx)=cosxdx

d(e')=/dx

(Inx)r=—d0nx)=—

X

用洛必达法则求未定式极限

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当x-a（或x-8）时，函数/（X）,gS）都趋于零或无穷大，在点a的某个去心

邻域内（或当Ix|>N）时，尸⑶与g'S）都存在，g'（x）¥o,且翠％g'E存在

hin----Inn-----

则：—⑼力=，9#'⑶

这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的洛必达法则

..sinax.acosaxa

lim—.....=lini-------=一

w0

sinbxXT"bcosbxb

2

rax+3

lim-------

例题：求xT9"2+d

解答：此题为未定式中的8型求解问题，利用罗彼塔法则来求解

「ax2+3,2axa

urn-------=hm----=—

xTOci'+dXT02cxc

0底co

另外，若遇到08、CQ-8、之、0°、8°等型，通常是转化为68型

后，在利用法则求解。

用导数判断函数单调性

判定方法：设函数了=/5）在［a,b］上连续，在（a,b）内可导.

a）：如果在（a,b）内/'（幻>0,那末函数了=/6）在［a,b］上单调增加；

b）：如果在果b）内尸（X）V0,那末函数y=、（x）在［a,b］上单调减少.

例题：确定函数/（X）=--x-1的增减区间.

解答：容易确定此函数的定义域为（-8,+8）其导数为：因

此可以判出：当x>0时，故它的单调增区间为（0,+8）；

当x<0时，故它的单调减区间为（-8,0）；

求函数极值

函数极值的定义

设函数/（X）在区间（a,b）内有定义，X。是（a,b）内一点.

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若存在着X。点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x（x。点除外），/（x）＜

均成立，

则说」［近）是函数/（X）的一个极大值；

若存在着设点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x（x°点除外），/a）＞m

均成立，

则说」〔近）是函数的一个极小值.

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。

用方法一求极值的一般步骤是：

a）：求尸（X）；

b）：求J"®。）=0的全部的解一一驻点；

c）：判断了'（X）在驻点两侧的变化规律，即可判断出函数的极值。

例题：求」5）=（x+2＞（x—D'极值点

解答：先求导数

/*（%）=2（x+2）（x-1）3+（X+2）23（x—1）2=（X+2）（x—1）2（5x+4）

再求出驻点：当/1曲）="时，x=-2、1、-4/5

判定函数的极值，如下图所示

X(-8,-2)-2(-2,-4/5)-4/535,1)1(1,+8)

+0—0十0+

扬口71

J无

大小

函数最大值和最小值的求法及其应用

函数的极值是局部的。要求/（x）在g,b］上的最大值、最小值时，可求出开区间（a,b）内全

部的极值点，加上端点侬）的值，从中取得最大值、最小值即为所求。

例题：求函数/（x）=x'-3x+3,在区间一3,3/2］的最大值、最小值。

解答：/（门在此区间处处可导，

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先来求函数的极值/⑶=3--3=0,故*=±1,

再来比较端点与极值点的函数值，取出最大值与最小值即为所求。

因为八D=={3)=-15,〃7)=5,

故函数的最大值为了(-1)=5,函数的最小值为/(-3)=-15o

求平面曲线的切线方程和法线方程

分段函数的导数

隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数

用导数判断函数图形的凹凸性

定义：对区间I的曲线了=/(］)作切线，如果曲线弧在所有切线的下面，则称曲

线在区间】下凹，如果曲线在切线的上面，称曲线在区间I上凹。

曲线凹向的判定定理

定理一：设函数在区间(a,b)上可导，它对应曲线是向上凹(或向下凹)

的充分必要条件是：导数/'(X)在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。

定理二：设函数在区间(a,b)上可导，并且具有一阶导数和二阶导数；

那末：若在(a,b)内，则¥=/(工)在［a,b］对应的曲线是下凹的；

若在(a,b)内，尸⑶<0,则-=在［a,b］对应的曲线是上凹的;

例题：判断函数111*的凹向解答：我们根据定理二来判定。

11

因为XX,所以在函数V-1nx的定义域(0,+8)内，》<0,

故函数所对应的曲线时下凹的。

求函数图形的拐点

拐点的定义连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点。

拐定的判定方法如果》在区间(a,b)内具有二阶导数，我们可按下列步骤来

判定V=的拐点。

(1)：求人⑶;(2)：令/"3)=0,解出此方程在区间(a,b)内实根;

(3)：对于(2)中解出的每一个实根x0,检查了“(%)在X。左、右两侧邻近的符号，若符

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号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点。

2

43=-24x=36工（工-一）

例题：求曲线歹2二'A"+1的拐点。解答：由3,

令/=0,得x=0,2/3

判断y"在0,2/3左、右两侧邻近的符号，可知此两点皆是曲线的拐点。

以及水平和铅直渐近线

第三章一元函数积分学

不定积分的基本公式

1.\kdx^kx+C(%是常数)

xn+1

2.rfxrtdx=--+C("-1)

J〃+1

3.[―=In|x|+C

Jx

cdx〃

4.---------=arctanx+C

J1+x2

f