数学-河南省焦作市博爱一中2023-2024学年高三（上）12月月考

焦作市博爱一中2023-2024学年高三（上）12月月考

数学

考生注意：

1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，

并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需要改动，用橡皮檎干净后，再涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答

案写在答题卡上。写在试卷上无效。

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知命题,命题qH/eR,x^-ax0-a<-3,若夕是g成立的必要不充分

条件，则区间。可以为（）

A.（-oo,-4）_（0,+co）B.（-<»,-6][2,+8）

C.（-6,2）D.[-4,0]

11__L

2.设a==°=仁12,则a"”的大小关系正确的是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

3.已知且sin2acos/?=2cos2a（l+sin/?）,则下列结论正确的

是（）

jrjr

A.2a-0=3B.2夕+/7=5

C.e+,=5D.=5

4.已知向量a=（l,2）"=（—左2,1）,MR,a"的夹角为。，若存在实数"使得

Wcos。-西”>0,则勿的取值范围是（）

A.^-―,+℃^B.（0,+co）C.D,

22

5.已知双曲线C:。-夕=1（。〉0/〉0）的左焦点为耳，直线>=履（左>0）与双曲线C

交于R0两点，且NPKQ=女，尸耳•耳。=4,则当心+与取得最小值时，双曲线

32a

。的离心率为()

A.3B.6C.2D.41

6.已知点A(m,3),B(2m,m+4),C(〃?+l,2),D(1,O),且直线4?与直线切平行，则

实数力的值为()

A.1B.0C.0或2D.0或1

7.如图,正六边形A4CQE］耳的边长为2,取正六边形A/CQE；4各边的中点

4,生，。2,2,后2,4，作第二个正六边形A?B2c2D2E2F2；然后再取正六边形

A?B2c2D2E26各边的中点A3,鸟，C3,。3,4,工，作第三个正六边形A3B3c3D3E3耳；依

此方法一直继续下去……，则第2022个正方形的面积为()

e

A.a>b>cB.0a>bC.b>a>cD.a>c>b

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.若存在实数a,b,。满足等式9/+16b=81-24/折，9a?-168=8c,则c的值

可能为()

10.甲，乙两楼相距20m,从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60。，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为

30。，则下列说法正确的有（）

A.甲楼的高度为20®B.甲楼的高度为10国

C.乙楼的高度为竺如mD.乙楼的高度为10鬲

3

n.在如图所示的空间直角坐标系中，AB。-A4G2是棱长为1的正方体，则（）

A.平面的一个法向量为（0,1,0）B.平面4。。的一个法向量为（1,1,1）

C.平面4cA的一个法向量为（1,1,1）D.平面的一个法向量为（0,1,1）

12.直线x+ay-a=o是曲线丁=皿的切线，则实数a的值可以是（）

X

A.3JiB.JiC,-D.-

23

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始

10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x（分）与水

14.在平面直角坐标系xOy中，角0是以。为顶点，Ox轴为始边，若角0的终边过点

（3,T）,则sin,+£|的值等于.

15.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米

依垣内角，下周八尺,高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米

（如图,米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺，问米

堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺,圆周率约为3,

估算出堆放的米约有斛.(精确到个位)

16.在空间直角坐标系中，已知Q4=(3,2,l),05=(1,0,5),OC=(—1,2,—1),点〃为线段

四的中点，则=.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知函数/(x)=sin]]-dsinx-6'cos2x.

(1)求/(x)的最小正周期和最大值；

(2)讨论了⑺在[工生]上的单调性.

18.(12分)已知各项均为正数的数列｛见｝满足2后=4+1,其中S”是数列｛g｝的前

n项和.

⑴求数列｛叫的通项公式；

-1＜

(2)若对任意nGN+,且当〃22时，总有了不+—7+—7----1-7；7九恒成立,求实

数4的取值范围.

19.（12分）如图，四棱锥p—ABCD的底面为正方形，po_L平面加0PD=AD=2，M

是侧面PBC上一点.

⑴过点Af作一个截面a，使得力与6。都与a平行.作出a与四棱锥尸—ABCD表面

的交线，并证明；

⑵设=43。+工3「，其中若阳与平面就力所成角的正弦值为姮，求4

225

的值.

20.（12分）如图，设夕是圆尤2+y2=25上的动点，点。是点夕在X轴上的投影，M

4

为加上的一点，^.\MD\=-\PD\.

（1）当点刀在圆上运动时，求点"的轨迹。的方程;

（2）求过点（3,0）且斜率为|■的直线被曲线。截得的线段的长度.

21.（12分）新高考实行“3+1+2”模式，其中“3”为语文，数学，外语这3门必选科

目，“1”由考生在物理，历史2门首选科目中选择1门，“2”由考生在政治，地理，化学,

生物这4门再选科目中选择2门.已知武汉大学临床医学类招生选科要求是首选科目为

物理,再选科目为化学,生物至少1门.

（1）从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合武汉大学临床医学类招生选

科要求的概率；

（2）假设甲，乙，丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的,求这三人中恰好有一

人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率.

22.（12分）已知函数〃x）=alnx-2。『（a〉。）.

（1）若函数/（九）在区间（0,+8）上为增函数，求a的取值范围；

—

/0、、八z*、丁口目A/2A/1A/3—A/H+1—\/H11

（2）设〃wN,证明：—---尸+」=----T=++,T=<—ln（n+l）.

V2+V1V3+V2VH+1+VH4'7

数学参考答案

一、单项选择题

1.答案：A

解析：命题q：mx()eR,Xg—axQ—a<—3,则x；—ax。-a+3<0,

所以△=/—4(—。+3)20,解得a4—6或aN2

又夕是g成立的必要不充分条件，所以［2,+co)UD,

所以区间。可以为(-0T),(0,+8).

2.答案：C

111

函Y跖数y=炉是增函数，§2>二2，...([2gVj>1(-21>3

:.a>b,^.1>a>b

又仁]2=d>1,即

综上可得，c>a>b,

故选:C.

3.答案：A

解析：有sin26zcos/?=2cos26z(l+sin)3),

得2sinacosacos尸=2cos2a(1+sin/?),sinccos/?-coscsin/?=cosa,

由于a,■卜所以口一/?=3-夕,

2a-B=%,故选A.

4.答案：C

角军析：Wcos0-y/5m>0,则加<\b\cos0,a=(1,2),

贝1J忖=^l2+22=非,

咚巴警”=—F+2,,2,

故加<

'a-b'2

由题意可知，m<

5

V/max

故选:C.

5.答案：D

解析：不妨设夕位于第一象限，双曲线。的右焦点为工，连接尸K，F2Q,

。为P。,耳月中点，.•.四边形为平行四边形，」.况二耳。，/甲风=3；

设归耳|=w，|PF,|=w(m,w>0),则7〃一〃=2a,

JT1

=mn9

由PFJ•片0=4得：PFi-PF2=mncos~解得：加〃=8；

在△。耳心中，闺鸟「=/2+/2加〃cos三=(m—n)2+mn=4a2+8=4c2

b2=c2—a2=29

2

lfl+^-=^L+4>2J——=2(当且仅当。2=2时取等号)，

2a22a2飞2a2

.••当L/+《取得最小值时，双曲线。的离心率e==&•

2a2Va2

故选：D.

6.答案：D

解析：方法一：当机=0时，直线N8与直线切的斜率都不存在，且不重合，此时直线

N8与直线5平行；当mwO时，"B=S，心工由5=工，解得m=1,且

mmmm

两直线不重合.综上，加的值为0或I.

方法二：直线4?的一个方向向量为A8=(m,〃2+1),直线5的一个方向向量为

。。=（m,2）,因为直线N8与直线切平行，所以A3//DC,所以AB=2DC（Xw0）,即

（加,加+1）=（/1加,2/1）,所以4—'解得机=0或1,且直线46与5不重合.

m+l=22,

7.答案：C

解析：由题知第〃个正六边形的面积组成一个等比数列{%},

其中q=6百，q=：,所以a“=6G[J，

,3、2021

故。2022=66义1小，

故选：C.

8.答案：B

解析：a=1+tan（-0.2）,A=l+ln0.8,c=e”，

IJllj-c=1+In0.8-e-02，令/（x）=1+Inx-ex-1,xe（0,l）,

则/，（x）=--exl在无e（0,1）上递减,则/（%）>/（I）=0,

所以/（可在X£（0,l）上递增，则〃x）<〃l）=0,即

则6z-c=l+tan（-0.2）-e-02,令g（x）=l+tanx-e”,%£（0,l）,

贝！Jg（九）=—\---e"在xe（0,1）上递减，贝!Jg'（x）vg'（0）=0,

COSX-

所以g（尤）在尤e（0,1）上递减,则g（x）<g（0）=0,即a<c,

故选:B

二、多项选择题

9.答案：ACD

解析：由式9。4+166=81-24/万，可得（3/+4历=81,

3a2+4>Jb=9,则3/=9-4^/^,4^/F=9—3t?2,

所以9a2=27-12扬，16扬=36-12],

又9a2—16扬=8c,则c=%「T66,

8

21a2-3627-28#

..c—，c—，

88

a2>0,4b>0,<c<—,

28

则c的值可能为-？，.

288

故选：ACD.

10.答案：AC

解析：解：如图所示，/XABC中，AC=20〃z,NB4c=90。,

AB^AC-tan60°=20^m,BC=40m,△BCD中，

ZBCD=3Q°,BC=4Qm,ZCBD=3Q°,ZD=120°,

由正弦定理得一^^=.2,

sin120sinZCBD

一40x14073

所以CD=G=—7根故选：AC.

~2

n.答案：AC

解析：由题意，知A(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),0(0,1,0),耳(1,0,1),Q(1,1,1),

D1(0,1,1).AD=(0,1,0),AD_L平面AB"。,故A正确；

CD=(-1,0,0),5.(1,1,1)•(-:,0,0)=-1^0,.•.(1,1,1)不是平面耳C。的法向量，故B

不正确；

5^=(0,1,-1),CD1=(-1,0,1),(Ll,l).(0,LT)=0,(1,1,1)(-1,0,1)=0,又

Beco1=c,.•.(1,1,1)是平面4c2的一个法向量，故C正确；

BQ=(0,1,1),且(0,l,l>(0,Ll)=2w0,.•.(0,1,1)不是平面A3G。的法向量，故D不

正确.

12.答案：AB

解析：设切点为。伍,先),.,直线x+ay-a=0恒过定点(0,1),

sin九°

,xcosx-sinx1.

y=------------------,/.x0_x0cosx0-sinx0,

X5X：

sinx0-x0=x0cosx0-sinx0,/.2sin/二%（1+cosx。）,

x0wO,...可取/=（2^-l）7c（^eZ）,

sinx0]

由导数的几何意义知，x0_sinx0-x0_1,

x0XQa

疝［（24_1）兀］-（24-1）冗_1-（201）j1

［（24-1）班一/［（24-1）兀］2（201）兀a

所以a=(2左一1)兀，左eZ

二当左=1时,a=兀；当左=2,。=3兀，故人,8正确,C,D不正确.故选：AB.

三、填空题

2%,0<%<10

13.答案:y=\l50

-x+—,10<%<40

133

解析：当0Wx<10时，直线段过点0(0,0),4(10,20),

kOA——=2,此时方程为y=2x.

30-201

当10WxW40时，直线段过点4（10,20）,6（40,30）,k

AB40-10-3

.•.止匕时方程为y—20=g(x—10).即安氐+三.

2%,0<%<10

故答案为:y=\150

-X+—,10<x<40

133

14.答案：--/——5/2

1010

解析：6的终边过点（3,T）,贝iJsinO=-cos6=|,

sin1：4V23x/272

------X----------1-----X---------------------

525210

故答案为：-京.

15.答案：22

解析：根据可设四分之一圆锥的底面圆半径为r,

即工*2〃=8,可得厂=电尺；

471

根据锥体的体积公式可得四分之一圆锥的为丫=l*［兀严*5=当立方尺;

343兀

又1斛米的体积约为1.6立方尺,所以共当x工士22斛.

3711.6

故答案为：22.

16.答案：A/26

解析：因为。4=（3,2,1）,05=0,0,5）,点〃为线段4?的中点,

所以OM=g（0A+03）=（2,l,3）,

所以CM=-OC=（3,-1,4）,

所以=#+（—1）2+42=726，

故答案为：底.

四、解答题

17.（10分）答案：（1）最小正周期为兀,最大值为1-立

2

（2）在口，型］单调递增，在［学,单调递减

612J\_123_

解析：(1)/(x)=sin-xjsinx-A/3COS2X

=sinxcosx-j3cos2x

1.c仄1+cos2x

=­sin2尤一，3------------

22

=sinf2x-—,

I3j2

则/(x)的最小正周期为T9=R,

当2x-1=3+2ht,keZ,即x=1+E,左wZ时，/(x)取得最大值为1-；

(2)当时，2元一三£［0,兀］,

_63J3L」

则当2x-0金,即/工时，/(“为增函数；

当2x-色p7l时，即时，“X)为减函数，

・•./(%)在忆回单调递增，在户，女］单调递减.

v71612J\_123J

18.(12分)答案：(1)%=2〃—1

⑵［1,+00).

解析：⑴2后=4+1,.21空］

当”=1时，Si=q=(Wj，解得4=1.

当〃22时,g=S.—Sa=(铝j—J,

即(4+%T)(%-%-2)=0,

%+1w0,•，.an—an_x—2=0,

」.数列｛g｝是以1为首项,2为公差的等差数列,

/.an=2及一1.

(2)因为。“=2〃-1,所以S“="(1+；"_11=*

1

当〃22时,1_1_ipn

n2-1(n-l)(n+l)2\n—\n+\)

1111

--------F------------1--------------1-------F

41

11

—+—

42

11

—+—

42

2>1,

二.实数4的取值范围为［1,+oo)•

19.(12分)答案：(1)答案和证明见解析

⑵

4

解析：(1)过点〃作比的平行线，分别交故必于点区区

过E作孙的平行线,交四于点N,过N作优1的平行线交切于点Q,

则截面跖0V为所求截面a，证明如下：

因为PAHEN，PA.截面a,石Nu截面a，所以K4//截面a，

因为3C//NQ,截面a,NQu截面a，所以〃截面a.

(2)因为0口，平面/阅9,为，£>Cu平面四。所以PDLZM，PD±DC

且ZMLDC，所以以。为坐标原点，DA>DC>为x，-2轴建系如图，

则。(0,0,0),C(0,2,0),3(2,2,0),P(0,0,2)

所以3乙=(—2,0,0),BP=(—2,—2,2),DC=(0,2,0)

所以=ABC+-BP=(-22,0,0)+(-1,-1,1)=(-22-1,-1,1),

2

又因为DM=(1—24,1,1),所以〃(1—22,1,1),

设平面JO的法向量为机=(%y,z)，

匚厂IDCm=2y=0人

所以<令x=l,y=0,z=2A—1

DM-m=(1-2A)x+y+z=0

所以加=(1,0,22—1)，

设期与平面的力所成角为。，

,।BP-m|22-2|_V15

贝!!sin0=cos<BP,m>\=---n—

11BP\\mMJ422—4x+25

整理得8万+24-1=0,解得X=-g(舍)，2

22

20.(12分)答案：(1)—+^-=1

2516

解析：(1)设点〃的坐标是(x,y),点P的坐标是，,

因为尸是圆公+>2=25上的动点,

|、25,

所以V+

22

所以点〃的轨迹，的方程是争rL

44

⑵过点(3,0)且斜率k=-的直线Z:y=-(x-3),

设直线/与曲线C交于点A(X],yJ,B(x2,y2),

将直线/与曲线c的方程联立，消去人得卷+公匚=1，

化简得光之—3x-8=0,

解得工3-ax.3+V41

解付芯——，x2——,

所以|AB|=J1+左2忖—引=《,

即截得的线段的长度是色.

5

21.（12分）答案：（1）—

12

（2）至245

576

解析：（1）用a,6分别表示“选择物理”，“选择历史”，用c,de,/•分别表示选择

“选择化学”，“选择生物”，“选择政治”，“选择地理”，则所有选课组合的样本空

间为O={acd,ace,ode,adf,aef,bed,bee,bef,bde,bdf,bef],则n（Q）=12,

设〃为选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求，

贝1]M={acd,ace,acf,ade,adf},n（M）=5,

所以选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率为P（M）=型皿=-