教案函数定义域和值域

函数定义域和值域解法归纳教学目标通过不同的生活实例帮助学生建立函数概念的背景,理解函数是描述两个变量之间的依赖关系的重要数学模型,从而正确理解函数的概念。能用集合与对应的语言来刻画函数,了解构成函数的三个要素。3、通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动,培养抽象概括能力。4、通过创设实际例子的情景,让学生接近现实生活,关注社会实际;培养学生的语言表达能力,团结协作精神。二、教学重难点重点:体会函数是描述两个变量之间的依赖关系的重要数学模型,从集合的观点正确理解函数的概念。难点:函数概念及对符号y=(x)意义的理解。三、根底知识1、函数的定义域和值域：〔1〕概念：略〔2〕函数的定义域的常用求法：①分式的分母不等于零；②偶次方根的被开方数大于等于零；③对数的真数大于零；④指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；⑤三角函数正切函数中；余切函数中；⑥如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。2、求函数的解析式的常用求法：〔1〕、定义法；〔2〕、换元法；〔3〕、待定系数法；〔4〕、函数方程法；〔5〕、参数法；〔6〕、配方法3、求函数值域的常用方法：〔1〕、换元法；〔2〕、配方法；〔3〕、判别式法；〔4〕、几何法；〔5〕、不等式法；〔6〕、单调性法；7、直接法4、求函数最值得常用方法：〔1〕、配方法；〔2〕、换元法；〔3〕、不等式法；〔4〕、几何法；〔5〕、单调性法5、函数单调性的常用结论：〔1〕、假设均为某区间上的增〔减〕函数，那么在这个区间上也为增〔减〕函数〔2〕、假设为增〔减〕函数，那么为减〔增〕函数〔3〕、假设与的单调性相同，那么是增函数；假设与的单调性不同，那么是减函数。〔4〕、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。〔5〕、常用函数的单调性解答：比拟大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。6、函数奇偶性的常用结论：〔1〕、如果一个奇函数在处有定义，那么，如果一个函数既是奇函数又是偶函数，那么〔反之不成立〕〔2〕、两个奇〔偶〕函数之和〔差〕为奇〔偶〕函数；之积〔商〕为偶函数。〔3〕、一个奇函数与一个偶函数的积〔商〕为奇函数。〔4〕、两个函数和复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。〔5〕、假设函数的定义域关于原点对称，那么可以表示为，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。四、典型例题〔一〕、一种特殊的对应：映射994133221130456090112233149123123456开平方求正弦求平方乘以2〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕1．对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有一个〔或几个〕元素与此相对应。2．对应的形式：一对多〔如①〕、多对一〔如③〕、一对一〔如②、④〕3．映射的概念〔定义〕：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。4．注意映射是有方向性的。5．符号：f：AB集合A到集合B的映射。6．讲解：象与原象定义。再举例：1A={1,2,3,4}B={3,4,5,6,7,8,9}法那么：乘2加12A=N+B={0,1}法那么：B中的元素x除以2得的余数3A=ZB=N*法那么：求绝对值不是映射〔A4A={0,1,2,4}B={0,1,4,9,64}法那么：f：ab=(a1)2是映射一一映射观察上面的例图〔2〕得出两个特点：1对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象〔单射〕2集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象〔满射〕即集合B中的每一个元素都有原象。从映射的观点定义函数〔近代定义〕：1函数实际上就是集合A到集合B的一个映射f：AB这里A,B非空。2AB：值域，象的集合〔C〕其中CBf：对应法那么xAyB3函数符号：y=f(x)——y是x的函数，简记f(x)函数的三要素：对应法那么、定义域、值域只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。例：判断以下各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？1．解：不是同一函数，定义域不同2。解：不是同一函数，定义域不同3。解：不是同一函数，值域不同4．解：是同一函数5．解：不是同一函数，定义域、值域都不同〔二〕、关于复合函数设f(x)=2x3g(x)=x2+2那么称f[g(x)]〔或g[f(x)]f[g(x)]=2(x2+2)3=2x2+1g[f(x)]=(2x3)2+2=4x212x+11例：：f(x)=x2x+3求：f()f(x+1)解：f()=()2+3f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+3〔三〕函数定义域、值域、解析式的求解方法1.函数定义域的求法一、函数的定义域1．函数定义域的求解方法求函数的定义域主要是通过解不等式〔组〕或方程来获得．一般地，我们约定：如果不加说明，所谓函数的定义域就是自变量使函数解析式有意义的实数的集合．〔1〕假设是整式，那么定义域为全体实数．〔2〕假设是分式，那么定义域为使分母不为零的全体实数． 〔3〕假设是偶次根式，那么定义域为使被开方式为非负的全体实数．〔4〕假设为复合函数，那么定义域由复合的各根本的定义域所组成的不等式组确定．如：的定义域为，那么复合函数的定义域应由不等式≤≤解出．〔5〕由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定．复合函数的定义域。如：函数的定义域为〔1，3〕，那么函数的定义域。函数的定义域为,函数的定义域为,那么函数的定义域为，解不等式，最后结果才是3.这里最容易犯错的地方在这里：函数的定义域为(1,3),求函数的定义域；或者说，函数的定义域为(3,4),那么函数的定义域为______?2.函数值域的求法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧.〔1〕、直接观察法对于一些比拟简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。例求函数的值域〔2〕、配方法配方法是求二次函数值域最根本的方法之一。例、求函数的值域。〔3〕、根判别式法对二次函数或者分式函数〔分子或分母中有一个是二次〕都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例求函数值域。,分母不等于0,即5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。10.倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数的值域多种方法综合运用例求函数的定义域．分析：一般说来，如果函数由解析式给出，那么其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各局部都有意义的公共局部的集合．解：要使函数有意义，必须有即解得≤，且．故原函数的定义域为≤，且．评注：用函数通过有限次加、减、乘、除四那么运算及有限次复合构造出新函数，一般列不等式〔组〕求函数的定义域，这时考虑问题要全面，要把所有制约自变量取值的条件都找出来．例求函数的值域．解：令，那么，∴函数值域为．评注：换元的目的是将含有较复杂成分的函数表达式化简为常见、简单的表达式．换元多用于处理可化简为二次函数的问题．需要注意的是，在换元后新变量的定义范围．〔5〕利用函数的单调性例求的值域．解：∵，∴的值域为评注：形如的函数的值域问题，均可使用配方法求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的方法外，还常利用反函数、最值法、数形结合等，但要注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．五、加强训练一、选择题〔〕A．增函数B．既不是增函数又不是减函数C．减函数D．既是增函数又是减函数〔〕A．(1)和(2)B．(2)和(3)C．(3)和(4) D．(1)和(4)3．假设y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，那么有〔〕4．如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是〔〕A．a≥－3B．a≤－3C．a≤5 D．a≥35．函数y＝3x－2x2＋1的单调递增区间是〔〕二．填空题6．集合那么集合=7．50名学生做的物理、化学两种实验，物理实验做的正确得有40人，化学实验做的正确的有31人，两种实验都做错的有4人，那么这两种实验都做对的有人.8、函数的值域是；函数的值域是；函数的值域是。9、数的值域是，那么f(x)的定义域为___________10、的值域为，函数的值域是