2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 培优01 二次函数含参数最值问题 含解析

培优专题Ol二次函数含参数最值问题

【题型目录】

题型一：定轴动区间问题

题型二：定区间动轴问题

题型三：含绝对值二次函数问题

题型四：定义域为闲,〃],值域为k，%ZT求参数问题

题型五：二次函数值域包含性问题

【典型例题】

题型一：定轴动区间问题

【例1】已知二次函数满足/。)=0^+法+°(。片0),满足/(x+l)~√(X)=2x-l,且/(0)=0.

(1)求/(x)的解析式;

(2)当xe[f,r+2](∕eR)时，求函数〃x)的最小值g(f)(用[表示).

【答案】(I"(X)=X2-2X

t2-2t,t≥↑

⑵g(f)=∙τ,-y<ι

t2+2t,t<-∖

【分析】(1)由题意可得c=0,再代入I(x+D-∕(x)=2χ-l至IJf(X)=OX2+加(ακθ),化简可

求出。力，从而可求出〃x)的解析式.

(2)求出抛物线的对称轴，然后分f≥l"+2≤l和t<l<f+l三种情况求解函数的最小值.

【详解】(1)因为二次函数f(X)=依)+版+c(α≠O)，且满足/(O)=0,/(x+l)-∕(x)=2xT,

(2a=2

所以C=O,6t(x+l)7^÷fo(x+l)-∞^-hx=2x-l^>2ax+a+h=2x-∖,所以J十卜ɪ,得

P=I

[b=-2,

所以/(x)=χ2-2x.

(2)/(x)=幺-2X是图象的对称轴为直线X=1,且开口向上的二次函数.

当t≥l时,/(x)=χ2-2X在x∈[f,f+2](f∈R)上单调递增,则/(χL=y(r)=∕-2∕;

当f+2≤l即f≤T时，/(x)=x2-2x在xwp,f+2](f∈R)上单调递减,则

〃XL)={+2)=(/+2)2-2(/+2)=产+27；

2

当f<lc+l,即-l<r<l时，/(x)min=/(1)=I-2(1)=-1;

t2-2t,t≥∖

综上所述g(f)hT,-i<f<i.

t2+2t,t≤-l

【例2】已知定义在R上的函数/(x),满足/(2-x)=f-X-6.

⑴求/(χ)的解析式.

「25

(2)若"x)在区间［0,向上的值域为一1,-4,写出实数加的取值范围(不必写过程).

⑶若/(x)在区间上,，+2］上的最小值为6,求实数f的值.

3

【答案】(l)∕(x)=χ2-3x-4:(2)≈≤>n≤3;⑶t=Y或f=5.

【分析】(1)利用换元法即得；

(2)由题可得f(χ)=(X-IJ-等，可得函数的最小值/(力=-个，结合条件进而即得;

(3)分类讨论结合二次函数的性质即得.

(1)

Β.*/(2-X)=X2-X-6,

令〃=2-X,则％=2-〃，

/(W)=(2-M)2-(2-W)-6=4-4W+W2-2+M-6=W2-3w-4,

所以/(x)=f_3x_4；

V∕(χ)=χ2-3x+^-^-4=fx-∣25

T

3

••・当时,(∣>-τ

当F(X)=T时，-4=X2-3X-4.

解得：X=O或x=3,

「25

•・・，(村在区间［0,向上的值域为-彳,-4

3

-≤tn≤3↑

2

∖∙/(x)=x2-3x-4,

3

对称轴为X=；，

当f+2<∣时，则£<-；,函数在在J+2］上单调递减，

当x=f+2时，函数的最小值/(f+2)=(f+2)2-3(f+2)-4=6,

解得，=-4或f=3(舍)；

313

当f≤二≤f+2时，则--<t<-.

222

Q7S

则此时，当X=1时，函数的最小值”x)=-^W6,不符合题意；

当空|时，函数在［f,f+2］上单调递增，

当x=f时，/(z)=∕2-3r-4=6,

解得：？=-2或£=5,

・./>3

.，>5，

，f=-2(舍)，故f=5；

综上：r=Y或r=5.

【例3】对于函数/(χ),若存在XoeR,使得了(∙⅛)=Λ0成立，则称X(I为J")的不动点，已

知函数/(X)=加+3+2)x+4的两个不动点分别是-2和1.

(1)求α,b的值及F(X)的表达式；

(2)当函数/(X)的定义域是上J+1］时，求函数/(X)的最大值g(t).

【答案】⑴［：=一］/(x)=-2√-x+4

［⅛=-3

-It2-5r+l,r≤--

4

/∖335,1

⑵g(3T丁W

心

-2r-z+4√>——1

【分析】(1)根据不动点可列方程求解db,

(2)分类讨论定义域与对称轴的位置关系，结合二次函数的单调性即可求解.

(1)

/(-2)=-24〃-2(〃+2)+4=-2

依题意得［卜，,即

I)=Io+h+2+4=1

/./(ʃ)=-2x2-x+4.

①当区间卬+1］在对称轴XT左侧时，即f+l≤j也即f≤q时，/(X)在［小1］单调

递增，则最大值为"r+l)=-2∕-5r+l;

②当对称轴X=T在h+l］内时，即f<q<t+l也即时，/(X)的最大值为

4^⅛τ∙

③当［解+1］在X=-；右侧时，即时，/(χ)在仙+1］单调递减，则最大值为

/^)=-2r→+4.

-2r-5t+l,t<--

4

335,1

所以g(f)=∙一,——<t≤——

844

-It2-t+4,t>——

4

【例4】已知函数/(χ)为二次函数，不等式f(x)>O的解集是(1,5),且/(χ)在区间上

的最小值为-12.

(1)求F(X)的解析式;

(2)设函数/3在［∕√+l］上的最大值为g(∕),求g(f)的表达式.

【答案】⑴/(x)=4+6x-5

一/+4f∕≤2

⑵g(f)=<4,2<f<3

—产+61—5,t≥3

【分析】(1)根据题意，设/(x)="(xT)(x-5),可得函数的对称轴χ=3,再根据函数在［-1,4］

上的最小值，求出“，可得函数/(X)数的表达式；

(2)分/+L,3时、f..3时和2<f<3时三种情况，分别讨论函数的单调性，可得相应情况下

函数的最大值，最后综合可得g(r)的表达式.

(1)

解：因为不等式/(X)>0的解集是(1,5),所以"x)=0的两根为I和5,且函数开口向下,

故可设"x)=α(x-l)(x-5)(α<0),所以函数的对称轴为X=等=3,所以当X4―1,4］时,

/(x)mM=F(T)=I%=T2,解得a=—1,故/(x)=TXT)(X—5),BR/(x)=-x2+6x-5

(2)

解：因为/(x)=-χ2+6x-5=-(x-3)-+4,

当t+l≤3时，即£42时，/(x)在卜"+1］上单调递增，所以

g(f)=f(f+l)=τ2+4/，

当r<3<r+l时，即2<t<3时，〃力在口,3］上单调递增，在(3,f+l］上单调递减，所以

g")"(3)=4:

当t≥3时，/(χ)在仙+1］上单调递减，所以g(r)=∕(r)=τ2+6r-5；

-t2+4t,t≤2

综合以上得g(∕)=,4,2<f<3

—t~+C>t—5,t≥3

题型二：定区间动轴问题

【例1】已知函数/(x)=-/+，HX

(1)若函数/(χ)在［-1,0］上单调递减，求实数，"的取值范围；

⑵若当x>l时，f(x)<4恒成立，求实数切的取值范围；

⑶是否存在实数%使得/(x)在［2,3］上的值域恰好是［2,3］?若存在，求出实数〃?的值；

若不存在，说明理由.

【答案】(l)m≤-2；(2乂-8,2+2石)；(3)存在，m=6.

【分析】(1)根据对.称轴和区间端点的相对位置即可求得机的取值范围.

(2)分类讨论当x>l时函数的最大值小于4恒成立即可求得"?的取值范围.

(3)分类讨论得函数的值域结合已知条件求得加的值.

【详解】(I)函数/(X)图象开口向下且对称轴是尤=£,要使/S)在［-L0］上单调递减，应

m

满足一≤-l,解得机≤-2∙

2

IYl

(2)函数/(χ)图象的对称轴是X=］.

当3≤1时，/(x)<4恒成立，故"1)=一1<4,所以机≤2;

当今>1时，/(x)<4恒成立，故-手+g-zn<4n∕√-4m-16<0：

所以2<m<2+2下

综上所述：加的取值范围(7,2+2后)

ITl

(3)当一≤2,即加≤4时，/*)在23］上递减,

2

W⑵=3,

若存在实数〃?，使/*)在⑵3J上的值域是［2,3］,则1/(3)=2,

-4+2m-m=3,

此时m无解.

-9+3m-m-2,

m92-4+2w-∕n=2,

当一≥3,即m≥6时，/⑶在⑵3］上递增，则-9+3时m=3,解得zw=6∙

21/(3)=3,

当2<f<3,即4<m<6时，f(x)在［2,3］上先递增，再递减，所以/(χ)在x=：处取得最

22

大值，则ʤ［=-15)+加费-机=3,解得力=-2或6,舍去.

综上可得，存在实数5=6,使得/(χ)在［2,3］上的值域恰好是［2,3］.

【例2】已知二次函数/(X)=加+瓜+c的图象过点(0,3),且不等式a√+次+c≤o的解集

为{x∣lMxM3}.

⑴求F(X)的解析式:

⑵若g(x)=∕(x)-(2-4)x在区间上有最小值2,求实数f的值.

【答案】(1)“X)=X2-4x+3；⑵±1

【分析】(1)根据题意得/(0)=c=3,乂由一元二次不等式的解可知，1和3是方程

以2+bχ+3=0的两根，利用根与系数的关系即可求参数，写出解析式；(2)由二次函数的

开口及对称轴，结合其在闭区间上的最小值，讨论/-1、T<r<2、仑2三种情况下求符合

条件的r值即可.

(1)由题意可得:/(0)=c=3

；不等式武+瓜+350的解集为{x∣lMxM3},则Or?+法+3=0的两根为1,3,且a>0

故/(x)=f-4x+3

(2)由(I)可得g(x)=/(X)-⑵-4)x=Y-2a+3的对称轴为X=f

当f≤-l时,则g(x)在［-1,2］上单调递增

g(x)Ng(-l)=2∕+4=2,则r=一1

当T<f<2时,则g(x)在［-W匕单调递减，在(。2］上单调递增

；•g(x)Ng(f)=3-/=2,则/=1或r=_］(舍去)

当f≥2时，则g(x)在上单调递减

.∙∙g(x)≥g(2)=7-4f=2,则r=?(舍去)

综上所述：实数f的值为±1.

【例3】已知函数/(x)=f+0r+b.

(1)若函数/(X)在―)上是增函数，求实数α的取值范围;

⑵若不等式f(*)≤0的解集为{x∣0≤x≤2},求Mb的值;

(3)若b=1时，求Xw［0,3］时/(χ)的最小值g(α).

l,α>O

2

【答案】⑴［-2,+∞)；(2))=-2,⅛=0；(3)g(α)=T——,-6<a<0

4

10+34,g≤-6

【分析】(I)根据函数F(X)的对称轴为X=-：,且在—)上是增函数，可得-3≤1,由

22

此求得。的范围；

(2)由题意得0,2是方程的两个实数根，利用一元二次方程根与系数的关系，求出4,b的

值；

(3)根据/S)的对称轴和区间的关系分类讨论，根据函数的单调性求得g(a).

(1)；函数Ax)=/+,α+b的对称轴为x=—∙∣,目"(X)在上是增函数，

:≤1,解得2,

2

，实数〃的取值范围是［-2,W).

(2)若不等式/(x)≤0的解集为{x∣0≤x≤2},

则0,2是方程/+如+人=o的两个实数根，

.∫0+2=-a.ja=-2

'*［0×2≈⅛，'［b=0'

(3)若6=1,贝IJy(X)=X2+αr+l,对称轴为X=-］,

当-3≤0,即时，函数/(X)在到［0,3］单调递增，

2

贝Uf(X)*=/(0)=1，

⅛0<--<3,即一6<α<0时，

2

函数/(χ)在(θ,-∙∣)单调递减，在单调递增，

z\222

则“HmM=F(同吟-、+1=1号，

当-3≥3,即a≤-6时，函数/(x)在［0,3］单调递减，

2

则∕C<L="3)=10+34,

l,tz≥O

2

综上，g(α)=(l---,-6<a<0.

4

10+3α,α≤-6

【例4】已知函数/(x)=%2一次+3,b∈R.

⑴若函数””的图象经过点(4,3),求实数。的值；

(2)在(1)条件下，求不等式/(x)<0的解集；

⑶当xe［-l,2］时，函数y=∕(x)的最小值为1,求当xe［-l,2］时，函数y=∕(x)的最大值.

【答案】(IW=2；

(2){x∣l<x<3}；

⑶当b≤-l时，/(x)的最大值为13,当-1<8<2时，/(x)最大值为4+2夜.

【分析】(1)由题可得/(4)=3,进而即得；

(2)利用二次不等式的解法即得：

(3)对/(x)的对称轴与区间［-1,2］的关系进行分情况讨论，判断/(x)的单调性，利用单调

性解出6,再求出最大值.

(1)

由题可得“4)=4-86+3=3,

：.b=2；

(2)

由/(x)=x2-4x+3<0,

解得l<x<3,

所以不等式/(%)<0的解集为{刈<x<3};

(3)

因为/(x)=X?-2法+3是开口向上，对称轴为x=b的二次函数，

①若b≤T.则/(x)在［一1,2］f二是增函数，

∙∙.∕ωmin=∕(-D=4+2⅛=ι,

3

解得b=-Q,

•••∕ωmax=∕(2)=7-4⅛=13;

②若方≥2,则/5)在［T2］上是减函数,

.3

・・・fz(x)min=/(2)=7-46=1,解得6=；(舍)；

③若-l<b<2,则/(X)在［-L句上是减函数,在他,2］上是增函数；

2

∙∙∙∕ωmin=∕(⅛)=3-⅛=ι,解得匕=&或匕=_0(舍).

∙∙∙/(x),,uκ=∕(-l)=4+2^=4+2√2；

综上，当时，F(X)的最大值为13,当-IC6<2时，/(χ)最大值为4+2&.

【例5】在①Vx∈［-2,2］,②≡xe［l,3］这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中,

并求解该问题.已知函数〃X)=X2+GΓ+4.

(1)当α=-2时，求函数〃x)在区间［-2,2］上的值域；

⑵若,/U)≥θ,求实数。的取值范围.

【答案】(D［3,12］

(2)答案见解析

【分析】(1)利用二次函数的性质直接求解其值域，

(2)若选条件①，求出抛物线的对称轴，分-54-2,-2<-；<2和-;≥2三种情况求出

222

函数的最小值，使最小值大于等于零，即可求出a的取值范围，若选条件②，则/(x)max>0.

由抛物线的性质可得了(1)20或/(3)≥0,从而可求出”的取值范围.

(1)

当α=-2时，/(X)=X2-2X+4=(X-1)2+3,

.∙.f(x)在［-2J］上单调递减,在［1,2］上单调递增，

••."X：L="1)=3,F(XLX=〃-2)=12，

；・函数”x)在区间［-2,2］上的值域为［3,12］.

(2)

方案一：选条件①.

由题意,得“x)=(x+J+4-.∙

若-］≤-2,即0N4,则函数/(x)在区间［—2,2］上单调递增，

二/(ΛU=/(-2)=8-勿≥0,解得α≤4,

又o≥4,.∙.α=4.

若-2<q<2,即T<α<4,则函数f(x)在区间-2,-∣上单调递减，在区间一小2上

单调递增,

—=/(-3=4-4θ,

解得-4≤α≤4,.∖-4<a<4.

若-］≥2,即ɑ≤-4,则函数/(x)在区间［—2,2］上单调递减，

"(x)mjf(2)=8+20≥0,

解得α≥-4,又α≤Y,.∙.4=-4.

综上所述，实数〃的取值范围为［Y,4］.

方案二：选条件②.

Y3x∈［l,3］,/(χ)≥0,

•••函数/(X)的图象是开口向上的抛物线，最大值只可能在区间端点处取得.

1Q

•••/⑴20或/(3)≥O,解得α≥-5或“≥-∙^,

・・α≥—5.

故实数”的取值范围为［-5,+∞).

题型三：含绝对值二次函数问题

【例1】已知二次函数/(》)=加+笈+<?(4>0,4,6,Ο€2，〃-1)=1,对任意x∈R,

/(x+2)=∕(-x),且/(x)+x≥0恒成立.

(1)求二次函数〃x)的解析式；

⑵若函数g(x)=4∕(x)+2x+∣x-4的最小值为5,求实数2的值.

［答案］(1)/(X)=JX2_4x+J,(2)义=±斗

【分析】(1)根据/(X+2)="—X)得到4«+力=0,根据"x)+x≥0恒成立得到a=c,结

合〃-I)=4-A+c=l,求出。=；力=-；,C=；，求HI二次函数解析式：

(2)结合第一问，将g(x)=4"x)+2x+k->l∣写出分段函数,分;l<T,-g≤2≤g与∕l>g

三种情况，结合函数单调性，最小值为5,列出方程，求出实数;I的值.

【详解】(1)由题意得：f(-i)=a-b+c=l,S.a≠O,

/(x)÷x=αr2+(b+l)x+c≥O恒成立，

(a>0

’又Δ=(⅛+l)2-4QC≤0

将b+1=α+c代入+-4αc≤0中，(α-c)~≤O,

故a=c,从而a—方+c=2a—Z?=1,

由/(x+2)=/(r)得：/(x+2)=β(x÷2)2÷fo(x+2)+c=ar2-bx+c,

整理得(4a+2⅛)x+4a+2⅛=0,故包+2/?=0,

联立2z7-A=l与zkz+2⅛=O,解得：a=-,b=--,

42

故c=q=-,

47

二次函数解析式为f(χ)=:χ2-gχ+%

(2)函数g(x)=4F(X)+2x+∣x-H=X2+l+∣χτ*的最小值为5,

且g(2)=∕2+l,即在端点处分段函数的函数值相等，

当4<-；时，g(x)在X<-；上单调递减，⅛Λ≥-ɪ上单调递增，

13171

故g(x)在X=-1处取得最小值，即-2+(=5,解得：Λ=-^<-p符合要求;

当-;≤2≤;B寸，g(x)在x<∕l上单调递减，在X2,上单调递增，

故g(x)在X=2处取得最小值，即万+1=5,解得：λ=+2,不合题意，舍去；

当4>g时，g(χ)在上单调递减，在χ≥;上单调递增，

故g(x)在X=L处取得最小值，即/1+^=5,解得：2=符合要求；

2442

综上：4=±Y17.

4

【例2】已知函数/(x)=%2+2|%一4，。£R.

⑴若/(x)为偶函数，求a的值；

(2)若函数g(x)="(x)+2的最小值为8,求a的值.

【答案】(1)0,(2)2

【分析】(1)利用偶函数的定义，列出关系式，即可求出”的值；

(2)化简函数为分段函数，通过讨论a的范围，列出关系式求解即可.

【详解】(1)因为於)是偶函数，所以八一x)=∕(x),

22

故x+2∖-χ-a∖=x+2∖x-a∖t

所以∣x+4∣=∣x即x2+2ax+a2=x2-2cιχ-］-a2,化简得40r=0,

因为x∈R,所以α=O.

,、,._7_II_Ia(X+1)—-2。——。+2,尤.α

(2)g(x)=叭zzx)+2=αx+2小-4+2=1

［a(x-ly+2a^-a+2,x<a

①若。=0,则g(x)=2,不合题意；

②若〃<0,则g(x)无最小值，不合题意；

③若0<a≤l,

当x>a时，g(x)在［m+口)上单调递增,g(x)≥g(d)i

当XVa时，g(x)在(―8,4)上单调递减，g(x)>g(a).

所以，g(x)的最小值为g3)=o'+2=8,所以“=探>1,舍去；

④若a>∖,

当x>a时,g(x)在［0,+8)上单调递增，g(x)N(α);

当KVa时,g(x)在(一处1］上单调递减,在(1,〃)内单调递增，所以g(x)≥g(l),

3

因为g(l)<g(α),所以g(x)的最小值为g(D=2α2-α+2=8,所以α=-5(舍去)或α=2,

综上所述，。=2.

【例3】已知函数/(x)=TIX-α∣+l(xeR).

(1)当。=2时，试写出函数以%)=/(尤)-X的单调递增区间；

⑵若函数/3在［1,4］上的最小值是-3,求。的值

【答案】⑴单调递增区间为(|，2)；(2)3或4

【分析】(1)当α=2时，求出g(x)="x)-x=2)利用二次函数的性质确

—X÷X÷1(X≥ZI

定函数的单调区间；

(2)分a<1,1≤"<2,2≤α<4,4≤α<8和"≥8五种情况进行讨论，结合函数的图象

得到对应的最小值，即可得到答案

(1)

x~-2x+l(x<2)

当α=2时，/(Λ-)=-X∣X-2∣+1=-

-+2x+1(X≥2)

x~—3x+I(X<2)

所以g(x)=/(X)-Xh

-x2+X+1(X≥2)

3

当κv2时，y=x2-3x+∖,其图象开口向上，对称轴方程为X=/

所以g(x)在1上单调递减，在(T'2)上.单调递增；

当x≥2时，y=-x2+x+l,其图象开口向下，对称轴方程为x=g,

所以8(》)在[2,+8)上单调递减，

综上可知，g(x)的单调递增区间为(1,2)；

(2)

当a<1时，/(x)=-x(X-4)+l=-1一])+>,

因为]<；，所以/(x)min=∕(4)=4α75=-3,解得〃=3,故舍去:

因为g≤]<l,所以/(x)在[1,句递增，在4]递减,

所以f(x)的最小值在/⑴或"4)中取，

\22A

且“ι)=(ι∖)+^~=2~a,/(4)=-(ciJ〃~+4_

4λ——+-------=4α-l15,

2)4

若/(x)的最小值为/(1)=2—α=-3,解得α=5,故舍去；

若〃x)的最小值为"4)=4a-15=-3,解律%=3,故舍去；

(aY/+4

—卜-1)+-4-M≤x≤4

当2≤α<4时，/(%)=,

(Q4-α2

x<a

k2)4

因为1≤]<2,所以〃x)在∖Λ递减,在Ia递增，在［。,4］递减,

所以〃力的最小值在/图或“4)中取，

若的最小值为/《)=与"=一3,解不

*4=±4,故舍去；

若/(x)的最小值为/(4)=4。-15=—3,解得!α=3,

检验：/^]=∕[∣]=-→-3,故满足；

当4≤α<8时，/(x)=-x(α-x)+l=(x-∙^∙)+,

因为2≤]<4,所以/(χ)而n=/(£)=±^1=-3,因为4≤α<8,解得a=4；

当α≥8时，/(x)=-x(α-x)+l=(x-∙^)+4j,

因为]≥4,所以/Cr).=/(4)=17-4a=-3,解得α=5,故舍去；

综上所述，”的值为3或4

【点睛】关键点睛：这道题的关键在于比较对称轴!■和。与区间[L4]的关系，分成了5种情

况，数形结合，利用二次函数的图象与性质得到对应的最小值

【例4】已知函数/(X)=Xk-4+2.

⑴当α=2时，求“X)的单调增区间；

⑵若加,々€[0,2],使/(Λ2)∣>2,求实数”的取值范围.

【答案】⑴单调递增区间为(-∞,1)和(2,+∞)

(2)(-∞,l)u(2√2,+∞)

【分析】(1)根据已知及分段函数，函数的单调性与单调区间的计算，求出/(x)的单调增

区间；(2)根据已知及二次函数的性质求最值，结合不等式和绝对值不等式的计算求出实数

α的取值范围.

(1)

当α=2时，小)=邛-2|+2=卜二；二„

-X+2x+2,x<2

XN2时，/(X)单调递增，

x<2时，“X)在(-8,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，

所以的单调递增区间为(-8,1)和(2,+8),

3x,,x2e[0,2],使Ifa)->2

所以W)L",

即〃4x—，

①当α≤2时，/(x)=-x2+or+2,对称轴尤=§,

(i)当1∖≤2即2≤α≤4时，/(x)nm=/图=%2,

〃XL.="°)=2,

所以/1)-〃0)=!>2,

所以“>2血或α<-20，

因为2≤α≤4,所以2√∑<q,4，

(ii)当]>2即α>4时，/(x)nιaχ=∕(2)=2α-2,

/(xL=A°)=2'

所以“2)-"0)=助一4>2,

。>3,

因为〃>4,所以α>4,

②当",0时，/(x)=f一分+2,对称轴x=]vθ,

所以f(x)mω="2)=6-2α,

“X：L"(0)=2，

所以f(2f(0)=4-24>2,

a<1,

所以4,0

-X2÷0x+2,0<x<67

③当0<α<2时,f(x)=<

X2-ax+2,a<x<2

因为J(XL.=f(0)=√(2)=2,

/2\2

因为/(⅜∙>"0)=*<1,

所以『(葭)不可能是函数的最大值，

所以"X)皿="2)=6-勿，

所以/(2)-/⑼=4-2α>2,

所以0vα<l,

综上所述；。的取值范围是(-8,1)7(2立,+8).

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了分段函数，函数的单调性与单调区间，函数的最值,

不等式和绝对值不等式的应用，属于较难题，解题的关键是将三士,々曰0,2|,使

|/(玉)-f(w)∣>2,转化为/(X)ΠTO-∕(XLI>2,然后分类利用二次函数的性质求出其最值

即可，考查了分类思想和计算能力

【例5】已知函数"x)=∣x-m∣.

(1)若函数/(x)在［1,2］上单调递增，求实数m的取值范围；

⑵若函数g(x)=4(x)+加在［1,2］的最小值为7,求实数m的值.

【答案】(I)(YO,1］

(2),"=-2或胆=2∖∕3-1

【分析】(1)化为分段函数，结合单调性得到实数，〃的取值范围：(2)化为分段函数，对机

分类讨论，结合最小值为7,求出实数m的值，注意舍去不合要求的值.

(1)

IX­∕γιXzlTl

“x)=∣X-时={'-,即/(X)在(YO,帆)上单调递减，在［肛+∞)上单调递增，若

∖∏l—X,X</7Z

函数/(X)在［1，2］上单调递增，则,”£1,所以实数用的取值范围是(9』：

(2)

22

/、“、2II2X-mx+m,x≥m

g［x)=xf(x)+m''=xx-∕n+w=<ɔ

-X"9+ιm+m~,x<m

①当加£1时,g(x)在［1，2］上单调递增，故g(χL=g⑴=1-6+〃=7,解得：加=-2或3

(舍去);

②当lvm≤2时，g(x)min=g(w)=M=7,解得：m=±√7(舍去)：

③当2<m≤3时，8(同在(1片)上单调递增，在(5,2)上单调递减，且x=∙^更靠近1,所

以g(x)∏⅛=g(2)=加2+2W-4=7,解得：机=2石-1或-2G-I(舍去)；

④当3<m44∏寸，g(x)在(IW)上单调递增，在(5,2)上单调递减，且x=£更靠近2,所

以g(x)m⅛=g(l)=l-'"+裙=7，解得：rn=-2(舍去)或3(舍去)；

2

⑤当机>4时，g(x)在［1,2］上单调递增,j⅛⅛(x)min=g(l)=l-∕n+∕n=7,解得：Tn=-2(舍

去)或3(舍去)；

综上：加=—2或机=2>∕J-1.

题型四：二次函数已知定义域值域求参数问题

【例D已知α,匕是常数，a≠0,f(x)^ax2+bx,/(2)=0,且方程/(x)=X有两个相

等的实数根.

(1)求α,(的值;

(2)是否存在实数出〃(，"〃)，使得〃x)的定义域和值域分别为［町用和［2尼2〃］?若存在,

求出实数〃?，〃的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)α=-g,b=∖

(2)存在，m=-2,n=0

【分析】(1)由"2)=0、加+e-1)X=O有两个相等的实数根可得答案；

(2)假设存在符合条件的〃7,n./(x)≈-i√+x7p得〃≤;,由-元二次函数图象的

特征结合定义域和值域可得答案.

(1)

由/(X)=加+bx,/(2)=0,得4α+2b=0,

又方程/(x)=x,即内、e-1卜=0有两个相等的实数根,

所以(〃-l)2-4q=0,解得6=1,a=-；；

(2)

假设存在符合条件的〃?，〃，

由(1)知，(X)=—X2+x——(X-I)-H■—?—,则彳j2"≤-,BPn≤—,

v722v72224

由一元二次函数图象的特征，

1

m<n<-

m<n≤-4

41f∕π=—2

得(∕(m)=2m,即.--ιn92+m=2m,解得l,

2[〃=0

/(〃)=2〃

12C

——n+n=27?

2

所以存在“=-2,∕1=0,使得函数f(x)在［-2,0］上的值域为［TO］.

【例2】已知函数〃X)=X

i-l,O<x<l

X

(1)当0<“<6,且/(a)=/S)时，求L+J的值；

ab

⑵若存在实数a,0(l<”0),使得函数y=∕(x)的定义域为目时，其值域为卜力］,求

实数〃?的取值范围.

【答案】⑴2；

(2)0<∕π<^∙.

【分析】(1)根据函数/(X)的单调性可知，/(α)=/S)可等价于I-I=I-g,即可解得』+-

abah

的值；

(2)根据函数y=∕(χ)在［α,b］上的单调性，即可确定y=∕(χ)在［。,加上的值域，从而根据

根的分布建立方程组，即可解出”的取值范围.

(1)

由题意得y=∕(χ)在(0,1)上为减函数，在(l,+∞)上为增函数，

由0<a<i>,且O<α<∕j,可得0<a<1<b且L-I=I-J

ab

因此L：=2.

ab

(2)

当α,1∈［l,+8)时,则y=∕(x)在［l,+∞)上为增函数

1

—1=ma

故；

——1=mb

［b

即供b是方程Mx?-X+1=0的两个根

即关于X的方程桁χ2-χ+1=0在［1,+8)上有两个不等的实数根.

Δ>0

g(ι)>o

设g(x)="iχ2—X+1,则,-^->1

2m

nι>0

mo<<-.

m4

【例3】已知函数f(x)=2+}-£，实数α∈R且"w().

(1)设判断函数/(x)在卜&句上的单调性，并说明理由；

(2)设0<帆<〃且α>0时，/(x)的定义域和值域都是PM?］,求〃-〃?的最大值.

【答案】(l)”x)在卜％〃］上单调递增，理由见解析

⑵华

【分析】(I)由定义法直接证明可得;

(2)由题知八〃是方程2+工-」—=X的不相等的两个正数根，然后整理成一元二次方程,

aa~x

由判别式和韦达定理列不等式组求解可得。的范围，再用韦达定理表示出所求，然后可解.

(1)

--λX

设0<%≤x∣<x,≤",则/(x∣)-∕(x2)=—7+^='2~,

a^xtax2a'x}x2

O<m≤xl<x2≤n,.∙.x,x2>O,xl-x2<O,/(xl)</(j⅞),故/(x)在卜”同上单调递增；

(2)

由(1)可得时，f(x)在［，〃,"］上单调递增，/(x)的定义域和值域都是［〃［,〃］,

.∙.f(m)=m,f(n)=n,则见W是方程2+'-/一=X的不相等的两个正数根，

aarx

即α2x2-(2α2+a)x+l=O有两个不相等的正数根，

△=(2/+加2-4/>0

ri2a"+ci八

则〈zn+n=-----——>0解得

a~

∕77∏=ɪ>0

∙∙∙i="s+M—.J号［-5=卜9-(1+争

.∙.α=∣时，最大值为1^；

【例4】已知二次函数/(x)=OX2+fer+c(α也CeR)的图像经过原点O,满足对任意实数X

都有f(3-x)=/U-1),且关于X的方程/(X)=2x有两个相等的实数根.

(1)求函数/(x)的解析式：

⑵是否存在实数办〃(加<〃)，使得/(x)的定义域为［见〃］,值域为［M,"1?若存在，求

出胆，〃的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(Df(X)=r2+2x

(2)存在，m=O,Λ=l

【分析】(1)由题意列方程求解。也C

(2)根据定义域与对称轴关系，讨论/O)值域后求解

(1)

/(X)经过原点，故c=(),

/(x)=2x,即0χ2+S-2)x=0有两个相等的实数根，由△=()知6=2,

/(3-x)=∕(x-l),故/(χ)的对称轴为x=l,即—2=1,a=-↑,

2a

函数/(ɪ)的解析式为F(X)=-/+2x.

(2)

/(x)=-(x-l)2+l≤l,故一1≤“≤1,

故"X)在［〃［,〃］上单调递增，

I-m2+2m=m2f//z=O

由题意得2C，又机<〃，解得

［-n^+2n=n^［«=11

存在，〃=0,〃=1满足题意

【例5】已知函数/(x)=χ2-2x+b的自变量的取值区间为A,若其值域区间也为A,则称A

为f(x)的保值区间.

(1)若6=0,求函数y(x)形如£+a)(teR)的保值区间；

⑵若函数.穴X)的保值区间为［〃?，"］(，〃<〃)，且段)在［/M,网上单调，求实数6的取值范围.

【答案】(1)［-1，+°°)和［3,+8)

⑵［卦同

【分析】(D根据对称轴为标准分类讨论，使其满足定义即可求解；

(2)以对称轴为界分类讨论，依据单调性建立等式，再将问题转化为二次函数或一元二次

方程问题求解.

(1)

当匕=O时，f(x)=x2-2x,其对称轴为X=L

当r≤1时，/(x)∈［-1,Ko),此时，要满足函数段)是形如伍+∞)(∕eR)的保值区间，贝!|f=T,

区间为［T,+∞):

当/>1时，/(x)e［产-2f,+8),定义域为［r,+∞),

此时，要满足函数危)是形如也+Mg/?)的保值区间，则/-2f=f,解得f=3或t=0(舍)，

因此，此时区间为［3,田).

综上可知，函数./(X)形如匕+8)«€/?)的保值区间为［-1,+00)和［3,+8)；

(2)

因为函数加0的定义域、值域都为阿，n］,且Ar)在［，〃，网上单调，

当论］时,函数,/(x)在［,”，〃］上单调递增，

此时平㈤"即收-2m+b",

［/(〃)=〃n^-2n+b=n,

等价于方程x2—31+〃=0在［1,+oo)上有两个不等实根,

Δ=9-4⅛>0,

9

令g(x)=N-3x+b,则有<g⑴=-2+“≥0,解得2≤b<-；

31

当归1时，函数yu)在［m，网上单调递减，

f(ιn)—nIHi2—2m+b=n

、即{2c,两式相减得：(〃?一〃)(加+〃-1)=0，

{f(n)=m［n~-2n+h=tn

即加=〃(舍)或〃?+〃-1=0,也即m=∖-n,由可得;<"≤1,

将m=∖—n代入/—2〃+。=加可得方程n2-n+h-l=O在(g,l］上有解，

即为函数6=—/+"+1在WJ上的值域问题，

因为b=—"-+〃+1=—(〃—彳)2+：在(彳/］二单调递减，所以

2424

综上所述，力的取值范围是U5=)"*9).

44

V2-I

【例6】已知函数〃X)=VU.

⑴求函数y="χ)的值域；

⑵若不等式x2”x)+l≥d+自在x∈［l,2］时恒成立，求实数人的最大值；

⑶设g(x)=f∙∕(x)+l(χeɪ,ɪ,m>n>0,/>0),若函数)，=g(x)的值域为

［2-3m,2-3n∖,求实数f的取值范围.

【答案】⑴(-∞,D

⑵-2

(3)(0,1)

【分析】(I)化简函数得F(X)=I-由χ2>o,可求出>J7<1,从而可求得函

XX

数的值域，

(2)等式χ2"χ)+l≥χ3+h在χe0,2］时恒成立，转化为％≤γ2+χ在XWI,2］时恒成立,

令/I(X)=-V+x=可得见X)在［1,2］上单调递减，从而可求出其最小值，进而

可求得实数A的最大值,

(3)由题意得g(x)min=g(1)=2-3,τz,g(x)nm=g])=2-3”,从而可得〃?，〃是方程

tx2-3x+l-r=0(r>0)的两个不相等的正根，令Q(x)=fY=0«>0),则有

Δ=9-4r(l-0>0

3

—>0,从而可求出实数f的取值范围

^(0)=l-z>0

(1)

由题意得/(X)=1-±∙(XH0),

X

因为χ2>0,所以1>0,则1-∙⅛<1,

XX

所以函数/(X)的值域为(-∞,1)

(2)

因为Xql,2],所以不等式可化为庇≤χ2-i+>x∖

所以幺≤-x?+x,令∕ι(x)=-d+X=—(X-•—ɪ+—,

则∕ι(x)在[1,2]上单调递减,

所以∕7(x)min=奴2)=-4+2=-2,所以&≤-2，

所以实数%的取值范围为(-∞,-2],

所以实数k的最大值为-2

(3)

由题意得g(χ)=-4+f+l,

X

因为f>0,所以g(x)在(，">0,〃>0)上单调递增，

mn

所以g(x)mM=g(∖)=2-3肛g(x)nm=g(∕)=2-3”,

即f(l-机2)+1=2-3∕