四川省绵阳市某校2022-2023学年高二年级下册学期期中考试数学（文）试题

四川省绵阳市南山中学实验学校2022-2023学年高二下学

期期中考试数学（文）试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.命题“±eZ，@+1)240”的否定是()

A.VxgZ>(x+l)2>0B-VxgZ>(x+l)2<0

C.VxeZ-(x+l)2>0D.VxgZ>(x+l)2>0

2.已知i为虚数单位，复数z=（l+2i）-i，则2=（）

A.B.C.D.

-2-i-2+i2+i2-i

3.已知a,b,c,d均为实数，下列不等关系推导不成立的是（）

A.若a>b，则6<aB-若a>b，b>c,则

C若a>b，c>d'贝L+c>b+dD-若…,则此

4.设aeR,则“a>l"是"/>/的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.设函数〃x）的导数为/'⑺，且〃X）=X2+2犷⑴，则/[1）=（）

A.0B.4C._D.2

-Z

6.函数/(x)=21nx_x的单调增区间为()

A.(-oo,2)B.(一)2)C.(o,2)D-(2,+a>)

7.函数/5)=等的图象大致为

试卷第11页，共33页

A.B.C.

8.若函数/白)=卜2+公+2)^在R上既有极大值也有极小值，则实数。的取值范围

()

A-(-2,2)B.(-00,-2)U(2,+00)

C.(^o-2]u[2,+oo)D-[-2,2]

在口,+8)上是单调递增函数，则。的最大值等于

10.已知定义在R上的可导函数/(X)的导函数为了(X)，'满足f(x)<x，且〃2)=1，

则不等式“X)<；x2-1的解集为()

A.(-2,+oo)B.(0,+oo)C.(1,-KC')D.—

11.设则下列不等式成立的是().

A，61na<aln6b\na>a\nb

CD

•aIna<b\nb*tzlna>b\nb

12.两条曲线卜=如2'-足2与>7=胆存在两个公共点,则实数"的取值范围为

X

()

B

A.1n2)-Kln2)(。飞1D.卜6)

试卷第21页，共33页

二、填空题

13.曲线y=21nx在点(i,o)处的切线方程为

14.命题't/eR，满足不等式xj+mXo+dvO”是假命题，则〃?的取值范围为一

XV1OX+V

15.若正实数，,满足上+?=1,则'的最小值为.

4y

16.己知函数/(尤)=/_尤，g(x)=x2-2mx,右对任意weR,存在匕€[1,2]，溺足

/(x,)>g(x2).则实数山的取值范围为—.

三、解答题

17.设命题P：实数x满足(x—a)(x—4a)<0(a>0),命题q：实数、满足3cx<4.

⑴若a=l，且pzxg为真，求实数X的取值范围；

(2)若P是q的必要不充分条件，求实数”的取值范围.

18.已知函数〃x)=x3_3g_l在x=-l处取得极值.

(1)求实数”的值；

(2)当xe[-2,1]时，求函数/*)的最小值.

19.如图一边长为10cm的正方形硬纸板，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后

折起，可以做成一个无盖长方体手工作品.所得作品的体积「(单位：cm?)是关于截

去的小正方形的边长x(单位：cm)的函数.

试卷第31页，共33页

(1)写出体积/关于X的函数表达式〃x)-

(2)截去的小正方形的边长为多少时，作品的体积最大？最大体积是多少？

20.已知函数/(x)=Inx_2axMeR.

(1)当“=1时，求函数/(X)的单调区间；

(2)若函数/“)有两个零点，求〃的取值范围.

21.已知函数/(x)=lnx-ax•

(1)若函数/(x)在定义域上的最大值为1，求实数。的值；

(2)设函数MX)=(X-2)/+/(X),当“却时，"(力功对任意的恒成立,

求满足条件的实数6的最小整数值.

22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线G的方程

为卜=辰。s。"为参数)，直线的极坐标方程为PC°sO+PsmO=l曲线G与

y=sin0

直线C,相交于A、8两点.

(I)求曲线G的普通方程和直线G的直角坐标方程；

试卷第41页，共33页

⑵点M(-l,2)为直线G上一点，求焉+焉的值•

23.已知函数/(x)=|x-a|+|x+l|.

(1)当“=2时，求不等式/(X),,5的解集；

(2)若存在实数x,使/(x\,3成立，求实数。的取值范围.

试卷第51页，共33页

参考答案:

1.D

【分析】该题考查了特称命题及否定形式知识，量词要改变，结论要否定.

【详解】根据特称命题的否定形式得，

“HxeZ,(x+l>40”的否定是：VxeZ，(*+1)2>0，故A,B,C错误.

故选：D.

2.B

【分析】由复数的乘法运算法则求解即可.

【详解】z=(l+2i>i=i+2i2=-2+i，

故选：B.

3.D

【分析】对于ABC,利用不等式的性质即可判断；对于D,举反例判断.

【详解】对于A,利用不等式的对称性易知，若则故A正确；

对于B,利用不等式的传递性易知，若a>/,，b>c'则故B正确；

对于C,利用不等式的可加性易知，若a>”c>d，则a+ob+d，故C正确；

对于D,当a>>时，令cHO，则收2=加2，故D错误.

故选：D.

4.A

【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立

即可.

【详解】求解二次不等式可得：或”0,

据此可知：0>1是的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.

5.C

答案第11页，共22页

【分析】可先求函数的导数，令x=l求出广⑴即可―

【详解】由/(x)=W+2矿⑴n/，(x)=2x+2_T(l)，

令工=1得ra)=2xi+2/n),

解得/'⑴=-2-

故选：C.

6.C

【分析】先求定义域,再对函数求导，令导函数大于零，解出不等式解集即可・

【详解】解:由题知〃x)=21nx-x，定义域为(0,+8)，

所以人力=三2_1=幺9-，r，

XX

令/华匕』(go，解得0<x<2>

所以/(X)的单调增区间为:(0,2).

故选:C

7.D

【详解】因为/(-外=酗0=史匹=-/(x)，所以函数“刈为奇函数，其图象关于原点成

-x-X

中心对称，排除答案A、B,当X-0,时，l^^cosx-^l,所以照一+00,排除

XX

C,故选D.

8.B

【分析】求出函数的导函数/〈X)，由分析可得y=f+(a+2)x+a+2<0有解，利用

A>0即可求得实数。的取值范围.

答案第21页，共22页

【详解】由/(x)=，+ar+2卜e*，

可得/''(X)=(2x+a〉e*+(x?+ox+2)-e*=[x?+(a+2)x+a+21e*，

e，>0恒成立，y=x2+(a+2)x+q+2为开口向上的抛物线，

若函数/(力=卜2+"+2>1在R既有极大值也有极小值，

贝ijy=n2+(4+2)、+&+2<0有解，所以A=(q+2)2—4(q+2)>0,

解得a<-2或a>2，

故选：B

9.B

【分析】由y(x)=/一如在口，史》)上是单调增函数，得到在[1,+<®)上，/，(x"o恒

成立，从而解得任3,故。的最大值为3.

【详解】解：••/(X)=f-ax在口，+oo)上是单调增函数

二/，3=3》2-心0在口，+8)上恒成立.

即aW3f,VxG[l,+8)时，3/N3恒成立，

，好3,的最大值是3

故选：B.

10.D

【分析】设g(x)=/(x)-ga则g'(x)=/'(x)-x,根据条件可得g(x)在R上单调递减，不

等式./•(*)<可化为g(x)<g⑵，根据且⑴的单调性可得答案.

【详解】设g(x)=〃x)-gx2,则g'(x)=/'(x)-x

答案第31页，共22页

由条件,（X）<X，所以g，（x）=/"）-X<0，所以g（x）在A上单调递减.

由"2）=1,得g（2）=〃2）-；x22=l-2=-l

不等式/（均<3/一1,即〃x）-；x2<_],也即是g（x）<g⑵，解得*>2

所以不等式/（X）<|x2-l的解集为（2，+00）

故选：D

【点睛】本题考查构造函数，利用单调性解不等式，属于中档题.

11.A

【分析】构造〃x）=¥（x>0）,求导，可得〃x）在（°迷）上是增函数，所以

代入/（X），化简即可.

【详解】令〃x）=/（x>0）,则/（力=号廿，于是/（力在（°，e）上是增函数，

因为°<"2,所以/（“）<〃"，即皿〈她，所以bln""",

ab

故选：A.

【点睛】本题考查函数的构造，利用导函数判断函数的单调性，及单调性的应用，综合性

较强，难点在于根据答案所给形式，进行合理构造，属中档题.

12.C

【分析】由题可得"x2'=xln2+lnx有两个不等正根，令f=『2'>0,即。=邛_有两个

不等正根，然后利用导数研究函数的性质利用数形结合即得.

答案第41页，共22页

【详解】由题可知上有两个不等正根，

x

即ax2，=xln2+lnx有两个不等正根，

令f=x,2*>0，贝Ulnf=lnx+xln2，

又f'=2、+x♦2,•In2>0，Z=x2在(0,+a))上单调递增，

所以“=?■有两个不等正根，

设〃(/)=乎,/>0,则=

由>0可得fe(O,e)，M。单调递增，由<0可得fe(e,+oo),/;(f)单调递减，

且〃(e)--,

e

i/y=ct

作出函数"。=詈n和'的大致图象，

由图象可知当时,有两个正根,

即时，两条曲线了="'2'-比2与夕二个存在两个公共点

故选：C.

【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

答案第51页，共22页

(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解；

(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；

(3)转化为两熟悉的函数图象的问题.

13.y=2x-2

【分析】求导/'(x)=2,可得斜率％=/々)=2,进而得出切线的点斜式方程•

X

【详解】由k"力=2叫得小)=2,

X

则曲线y=21nx在点(1,0)处的切线的斜率为％=/'(1)=2，

则所求切线方程为y-0=2(x-l)，即y=2x-2.

【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率;

②写出切线的点斜式方程；③化简整理.

14-[-4,4]

【解析】根据命题“mx°eR，满足不等式xj+MCo+dvO”是假命题，转化为VxeR，不

等式产+加工+420，恒成立，利用判别式法求解•

【详解】因为命题“3x°eR，满足不等式$2+M。+4<0”是假命题，

所以VxwR，不等式V+/nx+4N0，恒成立，

则△=%2-1640，

解得~447M44'

所以加的取值范围为[-4,4]，

故答案为：[-4,4]

答案第61页，共22页

15.16

【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件.

【详解】由题设，x+y=(x+»j_L+2］=io+t+巨210+2代=16，

y)xyvy

当且仅当t=之，即X=4，'=12时等号成立.

xy

所以X+y的最小值为16.

故答案为：16

16.［0,+8)

【分析】首先对/(X)进行求导，利用导数研究函数/(X)的最值问题，根据题意对任意

X|WR，存在x,使/(芭)“双三)，只要/(x)的最小值大于等于g(x)在指定区间上有

解.

【详解】由/(x)=e*-x，得r(x)=e"-l,

当xe(-l,0)时，/,(x)<0'当xe(0,l)时，/*前《0，

/.〃x)在(-1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

•••/(%,="0)=1

g(x)〈l在［1，2］上有解，x2-2mx<1<=>2m>x-」在【I’?上有解,

X

函数一」在1'2］上单调增，.』,=1」=0,2""°，〃?*°.

X1

故答案为：［0,+8)

【点睛】不等恒成立与能成立的等价转换：

答案第71页，共22页

任意X]eA，存在々，使/(xJ“g(X2)o/(xL士g(xL

任意再任意々eB，^/(Jc1)-g(x2)<=>/(x)mta=g(x)mu

存在x,eA>存在々e5，使/(3)”由三)o/(x)mM。g(x)min

I?-(1)(3,4)

⑵[1,3]

【分析】(1)根据题意，求得p：xe(l,4)，结合。与0都是真命题，即可求解；

(2)根据题意，求得p：xe(a,4a)，结合P是0必要不充分条件，得到(3,4)0(a,4a)，即

可求解.

【详解】(1)解：当”=1时,不等式(x-l)(x-4)<0，解得1cx<4，

即命题p:xw(l,4)，且q:xe(3,4)

因为2人9为真，所以P与q都是真命题，所以xe(3,4)，

即实数x的取值范围是(3,4)•

(2)解：由不等式(x-a)(x-4a)<0(。>0),解得a<x<4a，可得p:xe(a,4a)，

又由g:x«3,4)，且P是q的必要不充分条件，可得(3,4)O(a,4a)

所以|“交14a幺，即实数”的取值范围是口同・

[4a>4'一一

18.(1)1；(2)_3，

【分析】(1)求导，根据极值的定义可以求出实数a的值；

答案第81页，共22页

(2)求导，求出xe[-2,l]时的极值，比较极值和〃-2)、/⑴之间的大小的关系，最后求

出函数的最小值.

【详解】(1)y(x)=x3-3ar-l/(x)=3x2-3a,函数/(》)=/-30¥-1在》=-1处取

得极值，所以有/(-i)=o=>3(-l)2-3a=0=>tz=l；

(2)由(1)可知：/(x)=x'-3x-l=>/'(X)=3x2-3=3(x+l)(x-1)-

当xe(-2,-l)时，/(x)>0，函数/(x)单调递增，当xe(-l,l)时，f\x)<()>函数/(x)单

调递减，故函数在x=-l处取得极大值，因此/(_I)=(_I)3_3X(T)-1=1，

/(-2)=(-2)3-3X(-2)-1=-3)/(l)=l3-3xl-l=-3>故函数/(x)的最小值为-3・

【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.

2

19.(1)^=/(X)=(10-2X).X)xe(O,5).(2)小正方形的边长为9cm时，作品的体

3

积最大，最大体积是理cm?.

27

【解析】(1)根据长方体的体积公式可得答案；

(2)利用导数求/(X)单调区间及极值可得答案.

【详解】⑴由题意可得Jz=/(x)=(10-2x)2."xe(O,5>

(2)/,(X)=4(3X2-20X+25)=4(3X-5)(X-5))

令/'(x)=0得x=2,金，

3

答案第91页，共22页

—

J+0

J单调递增极大值单调递减

••・X争，仆）的最大值为噌卜翳

截去的小正方形的边长为2。”时，作品的体积最大，最大体积是型”

327v'

【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：

第一步：审题一一弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步：建模一一将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；

第三步：求模一一求解数学模型，得到数学结论；

第四步：还原一一将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；

第五步：反思回顾一一对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的

合理性.

20.（1）单调增区间（0,£|；减区间（g,+8

【分析】（1）求函数/（X）的导函数，由,＜|皿9求函数的单调递增区间，由r（x）＜o求

函数的单调递减区间；

（2）由〃x）=°可得。=宇，则直线"与函数g（x）=@±的图象有两个交点，利用导

/XX

数分析函数g（x）的单调性与极值，数形结合可得出实数。的取值范围.

【详解】（1）当a=l时,/（x）=lnx-2x＞该函数的定义域为（0,+8），

答案第101页，共22页

/'3=^一2=1一2%

x

令/‘(上0可得xj列表如下:

X

2G+"

J取值为正0取值为负

J单调递增极大值单调递减

所以，函数/(X)在(o,；j上单调递增，在6,+oo)上单调递减；

(2)由〃x)=0,可得.=野，则直线'="与函数g(x)=£；的图象有两个交点,

函数g(x)=??的定义域为®-),g，(x)=与詈，

由g'(x)=o，可得x=e,列表如下：

X(O，e)e(e,+oo)

0

g取值为正取值为负

g单调递增极大值单调递减

所以，函数g(”的极大值为g(e)=《，

且当x>l时，g(x)>0，

当Xf+co时，和函数y=inx相比，一次函数呈爆炸性增长，所以y(x)70.

答案第111页，共22页

且/'(X)<o，/'(x)T0，

又/⑴=0,

iy=aiY

当时，直线与函数g(x)=^n的图象有两个交点，

因此，实数”的取值范围是(0,51

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常

化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用：二是函数的零点、不等式

证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

21.(1)…(2)-3，

【分析】(1)先对函数y=求导，对实数4分a>0和“40两种情况讨论，利用导数

分析函数y=/(x)在定义域上的单调性，进而可求最大值，由此可求出实数a的值；

(2)由已知整理可得，'"x-2)e、+lnx-ax对任意的恒成立，结合“21.x>0,

可知(x-2)e'+lnx-ar4(x-2)e'+lnx-x,故只需>e'+lnx-x对任意的、

答案第121页，共22页

恒成立，构造函数g(x)=(x_2)e，+lnx_x，利用导数求出函数y=g(x)的最大值的取值

范围，由此可求得满足条件的实数6的最小整数值.

【详解】(1)由题意，函数y=的定义域为电+8),/，(x)=5-a,

当时，r(x)=i-a>o,函数y=/a)在区间(°，+8)上单调递增，

此时，函数y=/(x)在定义域上无最大值；

当"0时，令/0=5=0,得x=g,

由/制&,得xe(0,J，由/‘(')<。，得TA)，

此时，函数丫=/(”的单调递增区间为(o」)，单调减区间为(L+8).

所以函数=/(x)极人他=/(]=ln：-l=lna4，

即a=e4为所求；

(2)由“x)=(x-2)e'+lnx-",因为〃(》)口对任意的恒成立，

即S(x-2)e»+lnx-«x,当“却时，对任意的彳©生1)恒成立，

a>1>x>0,/.(x-2)ev+\nx-ax<(x-2)ex+\nx-x9

只需人(x-2)e、+lnx-x对任意的xe(')恒成立即可.

答案第131页，共22页

构造函数g(x)=(x-2)e、+lnx-x,==(xT)卜一口，

・「心1),,1<°,且，(x)=e*—单调递增，

•.•(；卜，-2<0''⑴="1>°,一一定存在唯一的/使得“，)=°,

即x0=-lnx。，

%

且当g<x<x.时，，(x)<°,即g'(x)>°；当/<X<1时，f(x)>0,即g'(x)<o.

所以，函数卜g(x)在区间(；,七)上单调递增，在区间(X。/)上单调递减，

•••g(x)max=g(%)=(X。-2)e®+InX。-X。=1-2(X。+工］e(Y,-3)，

因此，6的最小整数值为一3.

【点睛】本题考查了利用导数求解函数的最值，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒

成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

22.⑴£亭小；G：­°

⑵逑

7

【分析】(1)根据参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化公式化简求值

即可；

(2)根据直线参数方程的几何意义求解即可.

答案第141页，共22页

【详解】（1）解：因为曲线£的方程为卜=&cos。（'为参数），

[y=sin0

所以，消去参数，得曲线G的普通方程为工+）,2=1；

2

因为直线C2的极坐标方程为pcos0+psin0=1，

所以,用x=pcos。j=/?sin。代换得直线G的直角坐标方程为工+y-1=0,

所以，曲线G的普通方程为《+,=],直线G的直角坐标方程为x+y一1=°

2

（2）解：由直线C2的直角坐标方程为x+y-l=0，

所以，直线&的斜率为T,倾斜角为空，

4

因