第46讲：导数的应用

第46讲：导数的应用【考纲要求】1、了解函数单调性和导数的关系:能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调性区间（其中多项式函数一般不超过三次）2、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭期间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）二、求函数的极值的一般步骤先求定义域SKIPIF1<0,再求导，再解方程SKIPIF1<0（注意和SKIPIF1<0求交集），最后列表确定极值。一般地，函数在SKIPIF1<0点SKIPIF1<0连续时，如果SKIPIF1<0附近左侧SKIPIF1<0>0，右侧SKIPIF1<0<0，那么SKIPIF1<0是极大值。一般地，函数在SKIPIF1<0点SKIPIF1<0连续时，如果SKIPIF1<0附近左侧SKIPIF1<0<0，右侧SKIPIF1<0>0，那么SKIPIF1<0是极小值。应用一求函数的单调性解题步骤求函数的定义域SKIPIF1<0→求导SKIPIF1<0→解不等式SKIPIF1<0＞SKIPIF1<00得解集SKIPIF1<0→求SKIPIF1<0,得函数的单调递增（减）区间。例1．已知函数f(x)=SKIPIF1<0,求导函数SKIPIF1<0,并确定f(x)的单调区间.当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的变化情况如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0所以，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减．当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减．当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递减．学应用二求函数的极值解题步骤先求定义域SKIPIF1<0,再求导，再解方程SKIPIF1<0（注意和SKIPIF1<0求交集），最后列表确定极值。例2已知函数,其中（1）当满足什么条件时,取得极值?（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.当时,x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f’(x)＋0－0＋f(x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x1,x2处分别取得极大值和极小值.当时,x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f’(x)－0＋0－f(x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x1,x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时,取得极值.(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立,所以设,,令得或(舍去),当时,,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时,;当时,（Ⅰ）当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；（Ⅱ）当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的极大值和极小值；（Ⅲ）当SKIPIF1<0时，证明存在SKIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立．已知函数SKIPIF1<0.（Ⅰ）求SKIPIF1<0的最小值；（Ⅱ）若对所有SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围.学SKIPIF1<0恒成立.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的增函数，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.【方法点评】（1）如果是开区间SKIPIF1<0，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。（2）分离参数法是处理参数问题常用的方法，注意灵活运用。【变式演练3】已知函数f(x)=SKIPIF1<0(Ⅰ)当SKIPIF1<0时,求SKIPIF1<0的最大值;(Ⅱ)设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立?若存在,求SKIPIF1<0的取值范围;若不存在,请说明理由.应用四证明不等式解题步骤一般先要构造函数，再利用导数研究函数的单调性、最值和极值等来解答。例4．求证下列不等式（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒成立（2）原式SKIPIF1<0令SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（3）令SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0应用五解应用题解题步骤（1）读题和审题，主要是读懂那些字母和数字的含义。（2）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系SKIPIF1<0（注意确定函数的定义域）；（3）求函数的导数SKIPIF1<0，解方程SKIPIF1<0；（4）如果函数的定义域是闭区间，可以比较函数在区间端点和使SKIPIF1<0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；如果函数的定义域不是闭区间，SKIPIF1<0又只有一个解，则该函数就在此点取得函数的最大（小）值，但是要进行必要的单调性说明。例5为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=SKIPIF1<0若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式。（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去）.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的最小值点，对应的最小值为SKIPIF1<0。当隔热层修建SKIPIF1<0厚时，总费用达到最小值为70万元。【点评】（1）本题主要考察函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（2）理解函数f（x）的含义并求出函数的表达式是此题的关键点。【变式演练5】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米。（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升2、（2012高考真题广东理21）.（本小题满分14分）设，集合，，。（1）求集合（用区间表示）（2）求函数在内的极值点。当时，，，所以此时，当时，，所以此时，（2），3.【2012高考真题安徽理19】（本小题满分13分）设SKIPIF1<0。（=1\*ROMANI）求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值；（=2\*ROMANII）设曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0；求SKIPIF1<0的值。【解析】（=1\*ROMANI）设SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0，=1\*GB3①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，得：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0。=2\*GB3②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0。（=2\*ROMANII）SKIPIF1<0，由题意得：SKIPIF1<0。4、（2012高考真题福建理20）（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；（Ⅱ）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。（Ⅰ）由题意得：得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为①当时，当且仅当时，在上单调递增只有一个根②当时，得：，又存在两个数使，得：又存在使，与条件不符。③当时，同理可证，与条件不符从上得：当时，存在唯一的点使该点处的切线与曲线只有一个公共点5.【2012高考真题新课标理21】（本小题满分12分）已知函数SKIPIF1<0满足满足SKIPIF1<0；（1）求SKIPIF1<0的解析式及单调区间；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.且单调递增区间为SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0得SKIPIF1<0=1\*GB3①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0矛盾=2\*GB3②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0得：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<06.【2012高考真题浙江理22】(本小题满分14分)已知a＞0，bSKIPIF1<0R，函数SKIPIF1<0．(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，(ⅰ)函数SKIPIF1<0的最大值为|2a－b|﹢a；(ⅱ)SKIPIF1<0＋|2a－b|﹢a≥0；(Ⅱ)若﹣1≤SKIPIF1<0≤1对xSKIPIF1<0[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．当b≤0时，SKIPIF1<0＞0在0≤x≤1上恒成立，此时SKIPIF1<0的最大值为：SKIPIF1<0＝|2a－b|﹢a；当b＞0时，SKIPIF1<0在0≤x≤1上的正负性不能判断，此时SKIPIF1<0的最大值为：SKIPIF1<0＝|2a－b|﹢a；综上所述：函数SKIPIF1<0在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a；(ⅱ)要证SKIPIF1<0＋|2a－b|﹢a≥0，即证SKIPIF1<0＝﹣SKIPIF1<0≤|2a－b|﹢a．亦即证SKIPIF1<0在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，∵SKIPIF1<0，∴令SKIPIF1<0．当b≤0时，SKIPIF1<0＜0在0≤x≤1上恒成立，此时SKIPIF1<0的最大值为：SKIPIF1<0＝|2a－b|﹢a；当b＜0时，SKIPIF1<0在0≤x≤1上的正负性不能判断，SKIPIF1<0SKIPIF1<0≤|2a－b|﹢a取b为纵轴，a为横轴．则可行域为：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，目标函数为z＝a＋b．作图如下：由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有SKIPIF1<0．∴所求a＋b的取值范围为：SKIPIF1<0．7、（2012高考真题山东理22）（本小题满分13分）已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设，其中是的导函数．证明：对任意，．（22）解：（Ⅰ），依题意，为所求.（Ⅱ）此时记，，所以在，单减，又，所以，当时，，，单增；当时，，，单减.所以，增区间为（0，1）；减区间为（1，.所以，，即综①、②知，【反馈训练】已知函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0．（Ⅰ）求函数SKIPIF1<0的单调区间；学科网（Ⅱ）若以函数SKIPIF1<0图像上任意一点SKIPIF1<0为切点的切线的斜率SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的最小值；2、设SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的单调区间.3、已知函数.设，求函数的极值；(2)若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.4、已知函数f(x)=SKIPIF1<0x2+lnx.（I）求函数f(x)在[1，e]上的最大、最小值；（II）求证：在区间[1，+∞SKIPIF1<0上，函数f(x)的图象在函数g(x)=SKIPIF1<0x3的图象的下方；（III）求证：[SKIPIF1<0(x)]n－SKIPIF1<0(xn)≥2n－2（n∈N*）.5、设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。(1)求a的值，并讨论f（x）的单调性；(2)证明：当 6、某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时，仅对SKIPIF1<0有SKIPIF1<0,对其余的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上也是增函数。当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，w.w.w.zxxk.c.o.m方程SKIPIF1<0有两个不同的实根SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0_0+SKIPIF1<0单调递增SKIPIF1<0极大单调递减SKIPIF1<0极小单调递增此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,在SKIPIF1<0是上单调递减,在SKIPIF1<0上单调递增.【变式演练2详细解析】（Ⅰ）解：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程是SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．（Ⅱ）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，以下分两种情况讨论．（1）若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0变化时，SKIPIF1<0的正负如下表：因此，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（2）若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0变化时，SKIPIF1<0的正负如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（Ⅲ）证明：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由（Ⅱ）知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，要使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0只要SKIPIF1<0即SKIPIF1<0①设SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0．要使①式恒成立，必须SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．所以，在区间SKIPIF1<0上存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立．【变式演练3详细解析】(Ⅰ)当-2≤SKIPIF1<0<SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0=0得x1=SKIPIF1<0显然-1≤x1<SKIPIF1<0,SKIPIF1<0<x2≤2，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0=－SKIPIF1<0当SKIPIF1<0≤x≤x2时，SKIPIF1<0≥0，SKIPIF1<0单调递增；当x2<x≤2时，SKIPIF1<0<0，SKIPIF1<0单调递减，∴SKIPIF1<0max=SKIPIF1<0(x2)=SKIPIF1<0=-SKIPIF1<0(Ⅱ)答:存在SKIPIF1<0符合条件因为SKIPIF1<0，所以1+SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故存在SKIPIF1<0符合条件。故知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内是减函数，在SKIPIF1<0内是增函数，所以，在SKIPIF1<0处取得极小值SKIPIF1<0．（Ⅱ）证明：由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0的极小值SKIPIF1<0．于是由上表知，对一切SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0．从而当SKIPIF1<0时，恒有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调增加．所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故当SKIPIF1<0时，恒有SKIPIF1<0．【变式演练5详细解析】（1）若千米/小时，每小时耗油量为升/小时.共耗油升.所以，从甲地到乙地要耗油17.5升.（2）设当汽车以千米/小时的速度匀速行驶时耗油量最少，，耗油量为S升.则，，令，解得，.列表：单调减极小值11.25单调增所以，当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，为11.25升.【反馈训练详细解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0。∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<02、【解析】：SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0.SKIPIF1<0（i）当SKIPIF1<0时，对所有SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递增.（ii）当SKIPIF1<0时，对SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0在（0，1）内单调递增，又知函数SKIPIF1<0在x=1处连续，因此，函数SKIPIF1<0在（0，+SKIPIF1<0）内单调递增（iii）当SKIPIF