2024年湖南省长沙市望城区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年湖南省长沙市望城区中考数学一模试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列实数是无理数的是（）A． B． C．28 D．3.142．（3分）如图所示是第19届杭州亚运会的运动图标，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．（xy）2＝xy2 B．x2•x3＝x6 C．（x2）3＝x5 D．x5÷x3＝x24．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3，4，7 B．6，7，12 C．6，7，14 D．3，4，85．（3分）著名的数学苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（）A．0.218×109 B．2.18×108 C．2.18×109 D．218×1066．（3分）如图，AB∥DE，点B，C，若∠BCE＝55°，∠E＝25°（）A．55° B．30° C．25° D．20°7．（3分）射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员成绩（单位：环）（）A．2 B．8 C．8.5 D．98．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（）A． B． C． D．9．（3分）在一次函数y＝（2m+2）x+4中，y随x的增大而增大（）A．0 B．﹣1 C．﹣1.5 D．﹣210．（3分）不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，卡片上诗的作者都是李白的概率是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：a2﹣＝．12．（3分）若一组数据3，4，3，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为．13．（3分）已知：如图所示，边长为6的等边△ABC，以BC边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A点坐标为．14．（3分）如图，P是反比例函数的图象上任意一点，垂足为M，若△POM的面积等于4．15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10cm，CD＝8cm，连接OCcm．16．（3分）为了测量一个圆形铁环的半径，小华采用了如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的直角三角板和一个刻度尺，进而求得铁环的半径，若测得AB＝10cm．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题，每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25小题每小题6分，共72分）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：（﹣2ab+3a2）﹣2b2﹣（a2﹣2ab），其中a＝1，b＝﹣2．19．（6分）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC＝15km，停靠站A、B之间的距离为AB＝25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处（1）请判断△ABC的形状？（2）求修建的公路CD的长．20．（8分）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了“书香校园”的读书活动，活动中（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成两幅不完整的统计图．（1）这次调查中，一共调查了名学生；（2）在扇形统计图中，“D”部分所对应的圆心角的度数为度；并补全条形统计图．（3）若全校有4800名学生，请估计喜欢B（科技类）的学生有多少名？21．（8分）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE交于点O．（1）求证：△COD≌△BOE；（2）若CD＝2，AE＝5，求AC的长．22．（9分）为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买2个足球和1个篮球共需210元（1）足球和篮球的单价各多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，且足球和篮球的总费用不超过7200元23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90o，D是AB上一点，CD＝BC，过点D作DF⊥AC于点F（1）求证：四边形DBCE是平行四边形．（2）若BD＝6，，求DE的长．24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结MA交⊙O于点F，连结DF交AB于点G，BD，CF．（1）求证：△MAD∽△DAF．（2）若AD＝2BE，求tan∠AFD的值．（3）在（2）的条件下，设tan∠M＝x，①求y关于x的函数表达式；②若E为BG的中点，求的值．25．（10分）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，则称点N为图形M的“梦之点”．（1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在点N1（1，1），N2（2，2），N3（3，3）中，是矩形ABCD“梦之点”的是；（2）如图②，已知点A，B是抛物线，点C是抛物线的顶点．连接AC，AB，判断△ABC的形状并说明理由．（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，是否存在点P、Q，使得以AB为对角线，求出P点坐标；若不存在

2024年湖南省长沙市望城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列实数是无理数的是（）A． B． C．28 D．3.14【解答】解：A．是分数，不符合题意；B．是无理数；C．28是整数，不符合题意；D．4.14是有限小数，不符合题意．故选：B．2．（3分）如图所示是第19届杭州亚运会的运动图标，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形．故选：A．3．（3分）下列计算正确的是（）A．（xy）2＝xy2 B．x2•x3＝x6 C．（x2）3＝x5 D．x5÷x3＝x2【解答】解：（xy）2＝x2y8，故选项A不合题意；x2•x3＝x2，故选项B不合题意；（x2）3＝x5，故选项C不合题意；x5÷x3＝x8，正确，故选项D符合题意．故选：D．4．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3，4，7 B．6，7，12 C．6，7，14 D．3，4，8【解答】解：A、∵3+4＝5，本选项不符合题意；B、∵6+7＞12，本选项符合题意；C、∵2+7＜14，本选项不符合题意；D、∵3+4＜8，本选项不符合题意；故选：B．5．（3分）著名的数学苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（）A．0.218×109 B．2.18×108 C．2.18×109 D．218×106【解答】解：218000000＝2.18×108．故选：B．6．（3分）如图，AB∥DE，点B，C，若∠BCE＝55°，∠E＝25°（）A．55° B．30° C．25° D．20°【解答】解：∵∠BCE＝55°，∠E＝25°，∴∠D＝∠BCE﹣∠E＝55°﹣25°＝30°，∵AB∥DE，∴∠B＝∠D，∴∠B＝30°，故选：B．7．（3分）射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员成绩（单位：环）（）A．2 B．8 C．8.5 D．9【解答】解：由条形统计图可得该队员10次射击成绩（单位：环）为：6，7，5，8，9，6，9，9，10，∴该队员成绩（单位：环）的中位数为（5+9）÷2＝2．故选：D．8．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（）A． B． C． D．【解答】解：，解不等式①得x＞﹣1，解不等式②得x≤2，∴不等式组的解集为﹣4＜x≤2，表示在数轴上如图：故选：B．9．（3分）在一次函数y＝（2m+2）x+4中，y随x的增大而增大（）A．0 B．﹣1 C．﹣1.5 D．﹣2【解答】解：∵y随x的增大而增大，∴2m+2＞7，∴m＞﹣1．故选：A．10．（3分）不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，卡片上诗的作者都是李白的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：把分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗的卡片分别记为A、B、C，画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中卡片上诗的作者都是李白的结果有2种、BA，∴卡片上诗的作者都是李白的概率是＝，故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：a2﹣＝（a+）（a﹣）．【解答】解：a2﹣＝（a+）．故答案为：（a+）（a﹣）．12．（3分）若一组数据3，4，3，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为4．【解答】解：将数据3，4，6，6，7排序后处在第2位的数是4．故答案为：4．13．（3分）已知：如图所示，边长为6的等边△ABC，以BC边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A点坐标为（3，3）．【解答】解：过A作AD⊥BC，∵BC＝6，等边三角形ABC，∴AD＝3，∴点A的坐标为（3，3），故答案为：（3，3）14．（3分）如图，P是反比例函数的图象上任意一点，垂足为M，若△POM的面积等于4﹣8．【解答】解：根据题意可知：S△PMO＝|k|＝6．又∵反比例函数的图象位于第二象限，∴k＜0，∴k＝﹣8．故答案为：﹣8．15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10cm，CD＝8cm，连接OC2cm．【解答】解：∵弦CD⊥AB，CD＝8cm，∴CE＝CD＝4cm，在Rt△OEC中，OC＝，∴OE＝＝4cm，∴BE＝OB﹣OE＝2（cm），故答案为：2．16．（3分）为了测量一个圆形铁环的半径，小华采用了如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的直角三角板和一个刻度尺，进而求得铁环的半径，若测得AB＝10cm10cm．【解答】解：如图所示：连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴OB⊥AB，即∠OBA＝90°，又AC为圆O的切线，∴OC⊥AC，即∠OCA＝90°，在Rt△ADE中，∠E＝30°，∴∠EAD＝60°，∠BAC＝120°，∵AC及AB为圆O的切线，∴OA为∠BOC的平分线，则∠BAO＝∠OAC，可得∠BOA＝∠COA，又∠OBA＝∠OCA＝90°，∴∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝60°，在Rt△OBA中，∠OBA＝90°，AB＝10cm，∴tan60°＝，即＝，则圆的半径OB＝10cm．故答案为：10cm三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题，每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25小题每小题6分，共72分）17．（6分）计算：．【解答】解：原式＝+2+6﹣＝3．18．（6分）先化简，再求值：（﹣2ab+3a2）﹣2b2﹣（a2﹣2ab），其中a＝1，b＝﹣2．【解答】解：（﹣2ab+3a6）﹣2b2﹣（a3﹣2ab）＝﹣2ab+5a2﹣2b4﹣a2+2ab＝2a2﹣2b4；当a＝1，b＝﹣2时，原式＝5×12﹣4×（﹣2）2＝2﹣8＝﹣6．19．（6分）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC＝15km，停靠站A、B之间的距离为AB＝25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处（1）请判断△ABC的形状？（2）求修建的公路CD的长．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形．∵AC＝15km，BC＝20km，152+202＝253，∴AC2+BC2＝AB8，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形．（2）∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AB•CD＝，∴CD＝＝＝12（km）．答：修建的公路CD的长是12km．20．（8分）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了“书香校园”的读书活动，活动中（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成两幅不完整的统计图．（1）这次调查中，一共调查了200名学生；（2）在扇形统计图中，“D”部分所对应的圆心角的度数为54度；并补全条形统计图．（3）若全校有4800名学生，请估计喜欢B（科技类）的学生有多少名？【解答】解：（1）40÷20%＝200（名），故答案为：200；（2）D所占百分比为×100%＝15%，扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为：360°×15%＝54°，C的人数是：200×30%＝60（名），补图如下：故答案为：54；（3）4800×＝1680（名），答：估计喜欢B（科技类）的学生有1680名．21．（8分）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE交于点O．（1）求证：△COD≌△BOE；（2）若CD＝2，AE＝5，求AC的长．【解答】（1）证明：在△COD和△BOE中，，∴△COD≌△BOE（AAS）；（2）解：∵△COD≌△BOE，∴OC＝OB，OD＝OE，∴OC+OE＝OB+OD，即CE＝BD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（AAS），∴AE＝AD＝5，∵CD＝2，∴AC＝AD+CD＝6．22．（9分）为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买2个足球和1个篮球共需210元（1）足球和篮球的单价各多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，且足球和篮球的总费用不超过7200元【解答】解：设足球的单价为x元、篮球的单价为y元，根据题意可得：，解得：，答：足球的单价60x元、篮球的单价为90元，（2）设学校最多可以购买m个篮球，则买（100﹣m）个足球，90m+60（100﹣m）≤7200，解得：m≤40，∴学校最多可以购买40个篮球，．23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90o，D是AB上一点，CD＝BC，过点D作DF⊥AC于点F（1）求证：四边形DBCE是平行四边形．（2）若BD＝6，，求DE的长．【解答】（1）证明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝90°，∵∠C＝90o，∴∠DFA＝∠C，∴BC∥DF，∵CE∥AB，∴四边形BDCE是平行四边形；（2）解：∵CE∥AB，∴∠A＝∠ACE，∵四边形BDCE是平行四边形，∴CE＝BD＝6，∵，∴，∴EF＝8，设CD＝DE＝BC＝x，则DF＝x﹣2，∵CD2﹣DF4＝CE2﹣EF2，∴x6﹣（x﹣2）2＝32，解得x＝6，∴DE＝9．24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结MA交⊙O于点F，连结DF交AB于点G，BD，CF．（1）求证：△MAD∽△DAF．（2）若AD＝2BE，求tan∠AFD的值．（3）在（2）的条件下，设tan∠M＝x，①求y关于x的函数表达式；②若E为BG的中点，求的值．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴，∴∠AFD＝∠ADC，∵∠FAD＝∠DAM，∴△MAD∽△DAF；（2）解：∵AD＝2BE，∴设BE＝a，则AD＝8a．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵CD⊥AB，∴△AED∽△ADB，∴．∴，∴AB＝8a．∴AE＝AB﹣BE＝4a，∴DE＝＝2a．∴tan∠ADC＝＝2．由（1）知：∠AFD＝∠ADC，∴tan∠AFD＝tan∠ADC＝2；（3）解：①过点G作GH⊥AD于点H，如图，则tan∠ADF＝．由（1）知：△MAD∽△DAF，∴∠M＝∠ADF，∵tan∠M＝x，∴tan∠ADF＝＝x，∴GH＝xHD．∵tan∠EAD＝，∴tan∠AFD＝＝．设GH＝m，则AH＝2m，∴AG＝＝m．∴xHD＝m，∴HD＝．∵GH⊥AD，AD⊥BD，∴GH∥BD，∴，∴y＝4x．②过点A作AK⊥DF于点K，过点C作CN⊥DF于点N，∵E为BG的中点，DE⊥BG，∴DE垂直平分BG，BE＝EG＝a，∴AG＝AB﹣BE＝EG＝3a，DG＝＝a．∵AB是⊙