湖北省襄阳市枣阳光武高级中学2022-2023学年高二数学理上学期期末试卷含解析

湖北省襄阳市枣阳光武高级中学2022-2023学年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象大致为（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】由解析式判断图像可通过定义域，奇偶性与特殊值用排除法求解。【详解】，所以函数是偶函数，图像关于轴对称，故排除C,D，所以排除B故选A.【点睛】由解析式判断函数图像的一般方法1、求定义域2、判断奇偶性3、取特殊值4,、求导，判断增减性2.已知△ABC是边长为a的正三角形，那么△ABC平面直观图△A′B′C′的面积为（

）(A)

（B）

(C)

(D)参考答案：A考点：平面图形直观图的画法规则及运用.3.在定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据奇偶性与单调性判断选择.【详解】在定义域内是奇函数,但不是减函数，在区间和上都是减函数在定义域内是奇函数,但不是减函数，在区间和上都是减函数在定义域内既是奇函数又是减函数在定义域内不是奇函数（因为），综上选C.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（

）． A． B． C． D．参考答案：A作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段轴，所以在原图形中对应的线段平行于轴且长度不变，点和在原图形中对应的点和的纵坐标是的倍，则，所以．故选．5.过点P(-,1),Q(0,m)的直线的倾斜角的范围为[，]，则m值的范围为（

）A.m2

B.-2

C.m或m4

D.m0或m2.参考答案：C略6.在直角三角形ABC中，AB＝4，AC＝2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是

(

）A．1

B．－1

C．

D．－参考答案：D7.不等式对于一切实数都成立，则

（）

A

B

C

D

或参考答案：B略8.设向量，均为单位向量，且||，则与的夹角为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．都是奇数

B．都是偶数C．中至少有两个偶数

D．中至少有两个偶数或都是奇数参考答案：D略10.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为(

)A． B．2 C． D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列等式：①cos2a=2-1;②cos4a=8-8+1;③cos6a=32-48+18-1;④cos8a=128-256+160-32+1;⑤cos10a=m-1280+1120+n+p-1.可以推测，m–n+p=

.。参考答案：962略12.若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a=．参考答案：3考点：基本不等式．专题：计算题．分析：将f（x）=x+化成x﹣2++2，使x﹣2＞0，然后利用基本不等式可求出最小值，注意等号成立的条件，可求出a的值．解答：解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．∵x=a处取最小值，∴a=3故答案为：3点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，注意“一正、二定、三相等”，属于基础题．13.过点（﹣2，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的方程为

．参考答案：2x+y+1=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线x﹣2y+1=0垂直的直线方程为2x+y+c=0，再把点（﹣2，3）代入，即可求出c值，得到所求方程．【解答】解：∵所求直线方程与直线x﹣2y+1=0垂直，∴设方程为2x+y+c=0∵直线过点（﹣2，3），∴﹣4+3+c=0，∴c=1∴所求直线方程为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．14.动点P到点（3，0）的距离比它到直线x=﹣2的距离大1，则点P的轨迹方程为．参考答案：y2=12x【考点】抛物线的标准方程．【分析】根据题意，得到点P到点（3，0）的距离等于它到直线x=﹣3的距离，由抛物线的定义可得P的轨迹是以（3，0）为焦点、x=﹣3为准线的抛物线，由抛物线的标准方程与基本概念，即可算出点P的轨迹方程．【解答】解：∵动点P到点（3，0）的距离比它到直线x=﹣2的距离大1，∴将直线x=﹣2向左平移1个单位，得到直线x=﹣3，可得点P到点（3，0）的距离等于它到直线x=﹣3的距离．因此，点P的轨迹是以（3，0）为焦点、x=﹣3为准线的抛物线，设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），可得=3，得2p=12∴抛物线的方程为y2=12x，即为点P的轨迹方程．故答案为：y2=12x15.．已知x,y取值如下表：从散点图中可以看出y与x线性相关，且回归方程为＝0.95x+a，则a＝＿＿＿参考答案：略16.已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=1200，则AB与平面ADC所成角的正弦值为

参考答案：17.过点作一直线与椭圆相交于两点，若点恰好为弦的中点，则所在直线的方程为

；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.观察下列等式：；；；；，…………(1)猜想第个等式；(2)用数学归纳法证明你的猜想.参考答案：(1).(2)证明：(i)当时，等式显然成立.(ii)假设时等式成立，即，即.那么当时，左边，右边.所以当时，等式也成立.综上所述，等式对任意都成立.19.（本小题满分12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（1）求回归直线方程=bx+a，其中b=-20，a=-b；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）。参考答案：（1），，

……4分∴b=-20，a=-b；∴a=80+20×8.5=250

∴回归直线方程=-20x+250。

……6分（2）设工厂获得的利润为L元，则L=x（-20x+250）-4（-20x+250）=

……9分当且仅当时，取得最大值。∴该产品的单价应定为元，工厂获得的利润最大。

……12分20.如图，已知椭圆C：与双曲线有相同的焦点，且椭圆C过点P（2，1），若直线l与直线OP平行且与椭圆C相交于点A，B．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求三角形OAB面积的最大值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由双曲线的性质求出c=，得出a2=b2+c2=b2+6，将P（1，2）代入椭圆方程求得a和b，即得椭圆C的标准方程；（Ⅱ）根据题意，设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，根据基本不等式的性质，即可求得△OAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线﹣=1的焦点为（±，0），即椭圆标准方程中c=，a2=b2+c2=b2+6，将P（2，1）代入椭圆方程+=1中，得+=1，解得：b2=2，a2=8，∴椭圆C的标准方程为+=1；（Ⅱ）由直线l平行于OP，且kOP=，设直线l的方程为y=x+m，由，消去y得x2+2mx+2m2﹣4=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣2m，x1+x2=2m2﹣4，由l与椭圆C有不同的两点，则△＞0，即△=4m2﹣4（2m2﹣4）＞0，解得﹣2＜m＜2，且m≠0，又|AB|=?=?=?，点O到直线l的距离为d==，∴△OAB的面积为S=?d?丨AB丨=|m|?=≤=2，当且仅当m2=4﹣m2，即m=±时取等号，此时△OAB的面积最大，且最大值为2．21.已知椭圆C：的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离和为6.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线：与椭圆C交于A,B两点，点P(0,1)，且，求直线的方程.参考答案：解：（1）由已知，解得，所以…（2分）

故椭圆C的方程为……………（3分）（2）设，则中点为由

得，则（5分）直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得……（6分）而所以E点坐标为……………………（8分）∵

∴,∴，……………（10分）解得：，满足，直线方程为或……………（12分）

22.(本小题12分（1）小问5分，（2）小问7分)M是椭圆T：上任意一点，F是椭圆T的右焦点，A为左顶点，B为上顶点，O为坐标原点，如下图所示，已知的最大值为，最小值为.（1）求椭圆T的标准方程；（2）求的面积的最大值.若点N满足，称点N为格点.问椭圆T内部是否存在格点G，使得的面积？若存在，求出G的坐标；若不存在，请说明理由.(提示：点在椭圆T内部).参考答案：（1）由椭圆性质可知，其中，因为，故则，解之得

…………4分故椭圆T的方程为 …………5分

（2）由题知直线AB的方程为，设直线与椭圆T相切于x轴下方的点（如上图所示），则的面积为的面积的最大值.此时，直线AB与直线距离为，而

…………8分而，令，则设直线