河南省焦作市师专附属中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

河南省焦作市师专附属中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线和⊙O∶没有交点，则过的直线与椭圆的交点个数（）A．至多一个

B．2个

C．1个

D．0个参考答案：B2.参考答案：B3.使不等式+>1+成立的正整数a的最大值是（

）（A）13

（B）12

（C）11

（D）10参考答案：B4.设X是一个离散型随机变量，其分布列为X01P则q的值为（

）A．1

B．

C．

D．参考答案：C5.从焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上取一点A（x0，y0）（x0＞）作其准线的垂线，垂足为B．若|AF|=4，B到直线AF的距离为，则此抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=6x参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】设B到直线AF的距离为BC=，求出cos∠BAF=，设F到AB的距离为AD，则|AD|=|AF|cos∠BAF=3，即可得出结论．【解答】解：设B到直线AF的距离为BC=，由|AF|=|AB|=4，可得sin∠BAF=，∴cos∠BAF=，设F到AB的距离为AD，则|AD|=|AF|cos∠BAF=3，∴p+|AD|=4，∴p=1，∴此抛物线的方程为y2=2x．故选A．6.椭圆2x2+3y2=6的焦距是(

)A．2 B．2（﹣） C．2 D．2（+）参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把椭圆的方程化为标准形式，求出a、b、c的值，可得焦距2c的值．【解答】解：椭圆2x2+3y2=6可化为，∴c==1，∴椭圆2x2+3y2=6的焦距是2c=2，故选：A．【点评】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题．7.已知点A（l，2）在函数f（x）=ax3的图象上，则过点A的曲线C：y=f（x）的切线方程是（）A．6x﹣y﹣4=0 B．x﹣4y+7=0C．6x﹣y﹣4=0或x﹣4y+7=0 D．6x﹣y﹣4=0或3x﹣2y+1=0参考答案：D【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由A在曲线上，求出a，再求导数，设出切点，求出切线的斜率，再由两点的斜率公式，得到方程，解出切点的横坐标，得到斜率，再由点斜式方程，即可得到切线方程．【解答】解：由于点A（l，2）在函数f（x）=ax3的图象上，则a=2，即y=2x3，y′=6x2，设切点为（m，2m3），则切线的斜率为k=6m2，由两点的斜率公式得，=6m2，即有2m2﹣m﹣1=0，解得m=1或﹣，则切线的斜率为k=6或k=6×=，则过点A的曲线C：y=f（x）的切线方程是：y﹣2=6（x﹣1）或y﹣2=（x﹣1），即6x﹣y﹣4=0或3x﹣2y+1=0．故选D．【点评】本题考查导数的应用：求切线的方程，注意考虑切点，同时考查直线方程的形式，考查运算能力，属于易错题．8.双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（） A．2 B． C．3 D．2参考答案：D【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论． 【解答】解：由题得：其焦点坐标为（±4，0）．渐近线方程为y=±x 所以焦点到其渐近线的距离d==2． 故选：D． 【点评】本题给出双曲线的方程，求它的焦点到渐近线的距离．着重考查了点到直线的距离公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题． 9.已知正四面体棱长为4，则此正四面体外接球的表面积为（）A．36π B．48π C．64π D．72π参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【分析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为4，正方体的对角线长为4，∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴外接球的表面积的值为=48π．故选B．【点评】本题考查球的内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力，属于基础题．10.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=（）2 B．f（x）=（x﹣1）0，g（x）=1C．f（x），g（x）=x+1 D．f（x）=，g（t）=|t|参考答案：D【考点】32：判断两个函数是否为同一函数．【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可得到结果．【解答】解：f（x）=，g（x）=（）2，函数的定义域不相同，不是相同函数；f（x）=（x﹣1）0，g（x）=1，函数的定义域不相同，不是相同函数；f（x），g（x）=x+1，函数的定义域不相同，不是相同函数；f（x）=，g（t）=|t|，函数的定义域相同，对应法则相同，是相同函数．故选：D．【点评】本题考查函数是否是相同函数的判断，注意函数的定义域以及对应法则是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数（e为自然对数的底数），则在点处的切线方程为＿.参考答案：

12.函数的单调增区间是

参考答案：13.已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}为等比数列，满足a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，若对于每一个正整数n，均有an=a1+logabn，则常数a=．参考答案：【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由题意列式求得d，q的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求，代入an=a1+logabn，求解即可得到a值．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，∵a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，∴，解得d=6，q=9，∴an=3+6（n﹣1）=6n﹣3，，代入an=a1+logabn得，，即loga9=6，∴．故答案为：．14.如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P，用A表示事件“点P恰好取自由曲线与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，B表示事件“点P恰好取自阴影部分内”，则P（B|A）=．参考答案：【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】阴影部分由函数y=x与围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，阴影部分由函数y=x与围成，其面积为（﹣x）dx=（）=，A表示事件“点P恰好取自曲线与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，面积为+=，则P（B|A）等于=．故答案为．【点评】本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．15.已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则______.

参考答案：4:试题分析：先画出草图，比较容易求出,再利用三角函数求出4即可考点：直线与圆的位置关系，弦长的计算16.二进制数化为十进制数是

．参考答案：86

17.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C：psin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为，直线l与曲线C分别交于M、N．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则实数a的值为．参考答案：提示：设点M对应的参数为，点N对应的参数为，则有，即直线参数方程代入到抛物线普通方程，得，有，代入得a=1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校为“中学数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，某校有900名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(30,150]内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线；（2）从初赛得分在区间(110,150]的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(110,130]与(130,150]各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出4人参加全市座谈交流，设X表示得分在(110,130]中参加全市座谈交流的人数，学校打算给这4人一定的物质奖励，若该生分数在(110,130]给予500元奖励，若该生分数在(130,150]给予800元奖励，用Y表示学校发的奖金数额，求Y的分布列和数学期望．参考答案：（1）本次考试复赛资格最低分数线应划为100分；（2）5人，2人；（3）元.【分析】（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线，即是求考试成绩中位数，只需满足中位数两侧的频率之和均为0.5即可；（2）先确定得分在区间与的频率之比，即可求解；（3）先确定的可能取值，再求出其对应的概率，即可求出分布列和期望.【详解】（1）由题意知的频率为：，的频率为：所以分数在的频率为：，从而分数在的，假设该最低分数线为由题意得解得．故本次考试复赛资格最低分数线应划为100分．（2）在区间与，，在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间与各抽取5人，2人，结果是5人，2人．（3）的可能取值为2，3，4，则：，从而Y的分布列为Y260023002000(元)．【点睛】本题主要考查频率分布直方图求中位数，以及分层抽样和超几何分布等问题，熟记相关概念，即可求解，属于常考题型.19.（1）若命题“?x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，求实数a的取值范围；（2）设p：|4x﹣3|≤1，命题q：x2﹣（2m+1）x+m（m+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑．【分析】（1）根据特称命题为假命题，转化为命题的否定为真命题，利用判别式△进行求解即可．（2）根据绝对值的性质和十字相乘法分别求出命题p和q，再根据￢p是￢q的必要而不充分条件，可以推出p?q，再根据子集的性质进行求解；【解答】解：（1）若命题“?x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，即命题“?x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”为真命题，则判别式△=9a2﹣4×2×9≤0，则a2≤8，即﹣2≤a≤2，即实数a的取值范围是[﹣2，2]．（2）∵p：|4x﹣3|≤1；p：﹣1≤4x﹣3≤1，解得≤x≤1，由x2﹣（2m+1）x+m（m+1）≤0得m≤x≤m+1，若￢p是￢q的必要而不充分条件，则￢q?￢p，￢p推不出￢q，可得p?q，q推不出p，∴解得0≤m≤，验证m=0和m=满足题意，∴实数m的取值范围为：m∈[0，]．【点评】本题考查充分条件必要条件的应用以及命题真假性的判断和应用，本题求解中涉及到了一元二次方程有根的条件，及集合间的包含关系，有一定的综合性．20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AP=AB=，点E是棱PB的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PBC；（Ⅱ）若AD=1，求二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB．又PA=AB，从而AE⊥PB．由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，由此能证明AE⊥平面PBC．（Ⅱ）由BC⊥平面PAB，AD⊥AE．取CE的中点F，连结DF，连结BF，则∠BFD为所求的二面角的平面角，由此能求出二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图1，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB．又PA=AB，故△PAB为等腰直角三角形，而点E是棱PB的中点，所以AE⊥PB．由题意知BC⊥AB，又AB是PB在面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE．因为AE⊥PB，AE⊥BC，所以AE⊥平面PBC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE．在Rt△PAB中，PA=AB=，AE=PB==1．从而在Rt△DAE中，DE==．在Rt△CBE中，CE==，又CD=，所以△CED为等边三角形，取CE的中点F，连结DF，则DF⊥CE，∵BE=BC=1，且BC⊥BE，则△EBC为等腰直角三角形，连结BF，则BF⊥CE，所以∠BFD为所求的二面角的平面角，连结BD，在△BFD中，DF=CD=，BF=，BD==，所以cos∠BFD==﹣，∴二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值为﹣．【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21.（本题满分12分）设f(x)=x3+

求函数f(x)的单调区间及其极值;参考答案：解：（1）解得

…………(4分)+0--0+↗极大值↙↙极小值↗

…………(8分)和单调减区间为和

…………….(10分)极大值为，极小值为……………(12分)略