2022-2023学年安徽合肥市华泰高中数学高一第二学期期末调研模拟试题（含解析）

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B

铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1.设等差数列{%}的前〃项和为S“，若公差d=3,4=8,则5。的值为（）

A.65B.62C.59D.56

2.已知集合用={0,1,2,3,4},N={x|（x—2）（%-5）＜0},则MN=（）

A.{3,4}B.{2,3,4,5}C.{2,3,4}D.{3,4,5}

3.如图，在平行四边形ABC。中，下列结论中错误的是（）

A.AB=DCB.AD+AB=ACC.AB-AD=BDD.AD+CB=0

4.已知角a的终边过点(技-2),则sin(o—3;r)=()

A石R2石「22

A.------B.-----C.D.一

3533

5.等差数列{%}的前〃项和为S3=9,S6=36,则%=()

A.21B.15C.12D.9

6.设集合U={小于7的正整数},A={1,2,5},B={x|x2-7x+10<0,xe2V},

贝!|Ac(Cu5)=()

A.{1}B.{2}C.{152}D.{1,2,5)

7.若aVb,则下列不等式中正确的是（)

1-1

A.a2<b2B.-<-C.a2+b2>2ahD.ac2<bc2

ab

8.在AABC中，已知NA4c=90，43=6,若D点在斜边8。上，CD=2DB,

则的值为（）•

A.6B.12C.24D.48

9.一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是（）

A.恰有一次击中B.三次都没击中

C.三次都击中D.至多击中一次

10.已知。+/?<0,且Z?>0,那么a,b,一a,-b的大小关系是（）

A.-h<a<b<—aB.-b<a<—a<h

C.a<—b<—a<bD.a<—b<b<—a

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.向边长为2的正方形内随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶

点A的距离不大于1的区域内（图中阴影区域），由此可估计%的近似值为.（保

留四位有效数字）

则a与2a+〃的夹角的余弦值为

13.在高一某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一盒子内装有6张大小和形状完

全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、

信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成

语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为.

14.已知｛4｝为等差数列,q+%+%=105,。2+%+4=99,｛a,J前”项和S”取得

最大值时n的值为.

15.已知数列仅“｝的前4项依次为：，试写出数列｛a,,｝的一个通项

公式4=•

16.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100

个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的;是较小的两

份之和，则最小一份的量为

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.如图所示，ABC是正三角形，AE和8都垂直于平面ABC,且

AE—AB=2a,CD=a,尸是3E的中点，求证:

(1)DF平面ABC；

(2)AF±BD.

18.已知函数/(x)=sin(3x+o)(0<e<;r),其图象的一个对称中心是1一1,()),

TT

将/(X)的图象向左平移§个单位长度后得到函数g(x)的图象.

(1)求函数g(x)的解析式；

(2)若对任意M,工2e[°，H，当占<七时，都有./1(%)-/(%)<g(x,)-g(x2),求

实数，的最大值；

7C

(3)若对任意实数兄丁=8(皿)(。>0)在a,a+-上与直线y=4的交点个数不少

于6个且不多于10个，求实数。的取值范围.

19.某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：

第一种，每天支付48元，没有奖金；

第二种，每天的底薪30元，另有奖金.第一天奖金2元，以后每天支付的薪酬中奖金比

前一天的奖金多2元；

第三种，每天无底薪，只有奖金.第一天奖金0.4元，以后每天支付的奖金是前一天的

奖金的1.5倍.

(1)工作〃天(〃e[0,61],〃eN*),记三种付费方式薪酬总金额依次为A,,、纥、C,,,

写出A,,、纥、C"关于”的表达式；

(2)该学生在暑假期间共工作20天，他会选择哪种付酬方式？

20.ZVU3C三个内角A,B,C对应的三条边长分别是a,b,c,且满足csinA=#>acosC.

(1)求角。的大小；

(2)若b=2,c-V7>求。.

21.设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3,1,2名运动员参加某次比赛，甲协会运

动员编号分别为4,4,4,乙协会编号为4,丙协会编号分别为4,4,若从这

6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.

(1)用所给编号列出所有可能抽取的结果；

(2)求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率；

(3)求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1、A

【解析】

先求出生，再利用等差数列的性质和求和公式可求Bo.

【详解】

%=4一d=5,所以1=阳"；&)=5(%+%)=65，

故选A.

【点睛】

一般地，如果｛q｝为等差数列，S“为其前〃项和，则有性质：

(1)若加,〃,p,qeN*,m+〃="+4,贝!J；

⑵=,〃且S2,T=(2〃T%；

(3)S“=An2+Bn且｛手;为等差数列；

(4)Sn,S2n-S,„S3n-S2n,为等差数列.

2、A

【解析】

首先求得集合N,根据交集定义求得结果.

【详解】

N={x|(x—2)(x—5)<0}={x[2<x<5}.•."0"={3,4}

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.

3、C

【解析】

根据向量的定义及运算法则一一分析选项正误即可.

【详解】

在平行四边形ABC。中,显然有AB=,A。+C8=0,故A,D正确;

根据向量的平行四边形法贝%可知AD+AB=AC,故B正确;

根据向量的三角形法,AB-AD=£)8,故C错误;

故选:C.

【点睛】

本题考查平面向量的基本定义和运算法则，属于基础题.

4、D

【解析】

2

首先根据三角函数的定义，求得sina=-之后应用三角函数的诱导公式，化简求

得结果.

【详解】

22

由已知得sina=一§,贝！Jsin（a-3万）=-sina=—.

故选D

【点睛】

该题考查的是有关三角函数的化简求值问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，诱导

公式，属于简单题目.

5、B

【解析】

3〃1+3d=9

依题意有《国+15d=36'解得为*=2,所以■』+7d=15.

6、A

【解析】

因为。={l,2,3,4,5,6},3={x|2WxW5,xeN}={2,3,4,5},所以Q/={1,6},又

因为A={1,2,5},4c(Q/)={l},故选A.

1、C

【解析】

利用特殊值对错误选项进行排除，然后证明正确的不等式.

【详解】

取。=-11=l,c=o代入验证可知，A、D选项错误；取"=1,6=2代入验证可知，B

选项错误.对于C选项，由于〃b,所以(a—人)2>0,即

a123+b2-2ab>0,a2+b2>lab成立.

故选:C

【点睛】

本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.

8、C

【解析】

试题分析：因为，CD=2DB,ZBAC=90，所以

——-----------1----1一—2—2

ABAD=AB(AB+BD)=AB(AB+-BC)=AB[AB+-(AC-AB)]=-AB+

12.22,

-ABAC=-AB=-X62=24,故选C.

333

考点：1、平面向量的加减运算；2、平面向量的数量积运算.

9,D

【解析】

根据判断的原则：“至少有«个”的对立是“至多有n-1个”.

【详解】

根据判断的原则：“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”，

故选D.

【点睛】

至多至少的对立事件问题，可以采用集合的补集思想进行转化.如“至少有“个”则对应

ax>nn,其补集应为1”.

10、D

【解析】

直接用作差法比较它们的大小得解.

【详解】

(—a)—h———(a+Z?)>0,—a>Z?；

b—(-/?)=2b>0,:.b>—b；

—b—a=—(a+h)>0,—b>a.

故a<-b<b<-a.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了作差法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属

于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、3.1

【解析】

根据已知条件求出满足条件的正方形A3CD的面积，及到顶点A的距离不大于1的区

域(图中阴影区域)的面积比值等于频率即可求出答案.

【详解】

TT

依题意得，正方形的面积s正方形=4,阴影部分的面积I，

故落在到正方形的顶点A的距离不大于1的区域内(图中阴影区域)的概率

n

p=a」，

416

随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A的距离不大于1的区域

内(图中阴影区域)的频率为：黑;，

10000

即有：〃=靠=1^篝‘解得："=3.1488,故答案为3.1.

【点睛】

几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个

“几何度量''只与“大小”有关，而与形状和位置无关.解决的步骤均为：求出满足条件A

的基本事件对应的“几何度量"N(A),再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,

最后根据「=也”求解.利用频率约等于概率，即可求解。

N

12、旦

2

【解析】

由ad.(a-b)得」为=；,结合条件，即可求出|20+可，口的值，代入求夹角公式,

即可求解.

【详解】

由a_!_("―/?)得=；j2a+,=yj4a，+4a-b+b)=百

a-(2a+b)2a2+a-bG

a与2a+8的夹角的余弦值为cos<a,2a+b>=—।-----=--i-----=—.

同24+可r|4|2a+qr2

【点睛】

本题考查数量积的定义，公式的应用，求夹角公式的应用，计算量较大，属基础题.

2

13->—

5

【解析】

先列举出总的基本事件，在找出其中有2个成语有相同的字的基本事件个数，进而可得

中奖率.

【详解】

解：先观察成语中的相同的字，用字母来代替这些字，气一A,风一5,马一C,信一。,

河一E,意一户，用ABF,B,CF,CD,AE,DE分别表示成语意气风发、风平浪静、

心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，

则从盒内随机抽取2张卡片有

(ABF,6),(ABF,CF),(ABF,CD),(ABF,AE),

(ABF,DE),(^,CF),(B,O)),(B,A£),(/?,DE),(CF,CD),(CF,A£),(CF,£)E),

(CD,AE),(CD,DE),(AE,DE)共15个基本事件，

其中有相同字的有

(ABF,8),(ABF,CF),(ABF,AE),℃),(8,。马,(AE,。七)共6个基本事

件，

该游戏的中奖率为P=^=],

2

故答案为：

【点睛】

本题考查古典概型的概率问题，关键是要将符合条件的基本事件列出，是基础题.

14、20

【解析】

先由条件求出q,d,算出S“，然后利用二次函数的知识求出即可

【详解】

设｛&｝的公差为。，由题意得

q+%+%=%+4+2d+4+4d=105

即q+2d=35,①

%+包+4=q+d+4+3d+q+5d=99

即4+3d=33,②

由①②联立得q=39,d=-2

L2

所以S“=39〃+--?-x(-2)=-n+40n=-(n-20)'+400

故当〃=20时，S.取得最大值400

故答案为：20

【点睛】

等差数列的S“是关于〃的二次函数，但要注意〃只能取正整数.

【解析】

首先写出分子的通项公式，再写出分母的通项公式，合并即可.

【详解】

2,4,6,8,的通项公式为2〃，

3,5,7,9,的通项公式为2〃+1,

正负交替的通项公式为(-1)向，

所以数列伍〃｝的通项公式%=(-1)向-~-

2〃+1

2n

故答案为：(-1严c,

【点睛】

本题主要考查根据数列中的项求出通项公式，找到数列中每一项的规律为解题的关键,

属于简单题.

16、—

3

【解析】

设此等差数列为{an},公差为d,贝！|5%+=4x5d=100,

2

(33+34+35)xy=ai+a2,即(3q+9d)x；=+d,解得ai=g,d=^.最小一份

为ai,

故答案为二.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17、(1)见解析.(2)见解析.

【解析】

(1)先取的中点G,连接FG,CG,根据线面平行的判定定理，即可证明结论

成立；

(2)根据线面垂直的判定定理先证明河，平面3。尸，再由线面垂直的性质，即可

得到AfJ_8D.

【详解】

(D取的中点G,连接FG,CG,可得EGAE,且

2

CD_L平面ABC,他_1平面43。，，。£)〃4£.

又CD=LAE,:.FGCD,且R7=CD,

2

二四边形CDFG是平行四边形，

。/〃。6.又：以；0：平面48。，DF二平面A8C,

.•.D底〃平面ABC.

(2)在应△ABE中，AE=2a,AB=2a,F为BE的中点,

:.AF±BE.

_ABC是正三角形，G为A3的中点,

:.CG±AB,:.DF1AB.

-6，平面43。，；.四边形。对是矩形，，。/_1尺3,

又FGA3=G,平面ABE.

又"1匚平面43£\，£)尸_1_47.

BEDF=F,AF,平面就>尸.

又Q&)u平面6。尸，.•.AF_LB£>.

【点睛】

本题主要考查线面平行以及线面垂直,熟记线面平行与垂线的判定定理以及性质定理即

可，属于常考题型.

27r冗40

18、(1)g(x)=sin(3xd---)；(2)-；(3)8<<y<——.

363

【解析】

(1)根据正弦函数的对称性，可得函数f(x)的解析式，再由函数图象的平移变换法则,

可得函数g(x)的解析式；

(2)将不等式进行转化，得到函数/(x)-g(x)在[0,。上为增函数，结合函数的单调

性进行求解即可；

(3)求出y=g(ox)的解析式，结合交点个数转化为周期关系进行求解即可.

【详解】

(1)因为函数./i(x)=sin(3x+o)(0<e<;r),其图象的一个对称中心是(一1,0),

所以有

=0=>sin[3(-^-)+勿=0=>9—5=k7T(keZ)(0<°v").••夕=鼻，

IT

/(x)的图象向左平移瓦个单位长度后得到函数g(x)的图象.所以

g（X）=sin[3（x+^）+yl=sin（3x+夸）

(2)由/(百)一/(々)<8(七)一8(X2)=>/(内)-8(为)</(9)-8(%2),构造新

函数为〃(x)=/(x)-g(x)=sin3x,由题意可知：任意玉,马右。〃，当为<々时，

都有/(不)一/(与)<8(玉)一g(%2)，说明函数〃(％)=sin3x在xe[O,<|上是单调递

增函数，而〃(x)=sin3x的单调递增区间为：

7T__7T_,.7C2k兀7C2k7T_x_

----F2k兀<3x<—F2k兀(kGZ)二^----1-----<x<—I-----(k£Z),而

226363

xe[O,r],

所以单调递增区间为：因此实数f的最大值为：?；

66

27727r

(3)y=g｛(ox)=sin(369%+—),其最小正周期T=——,

3369

71TT

而区间a,a+—的长度为一，

L4J4

1TT7T

直线y=-：的交点个数不少于6个且不多于10个，则3T<~,且5T>一，

244

40

解得：8<cy<—.

3

【点睛】

本题考查了正弦型函数的对称性和图象变换，考查了正弦型函数的单调性，考查了已知

两函数图象的交点个数求参数问题，考查了数学运算能力.

4「(3Y

19、(1)A,,=48〃，B„=n2+3ln,C„=---1；(2)第三种，理由见解析.

【解析】

(1)三种支付方式每天支付的金额依次为数列｛an｝、｛5｝、｛c„｝,可知数列｛4｝为

常数数列，数列｛包｝是以32为首项，以2为公差的等差数列，数列｛%｝是以0.4为首

3

项，以,为公比的等比数列，利用等差数列和等比数列求和公式可计算出A,,、纥、C“

关于〃的表达式；

(2)利用(1)中的结论，计算出A2。、为°、C20的值，比较大小后可得出结论.

【详解】

(1)设三种支付方式每天支付的金额依次为数列｛4｝、｛勿｝、｛c,,｝,

它们的前〃项和分别为4、纥、cn,

第一种付酬方式每天所付金额组成数列｛4｝为常数列，且为=48,所以4=48〃；

第二种付酬方式每天所付金额组成数列｛2｝是以32为首项，以2为公差的等差数列，

所以8=32〃+-^——^x2=n2+31n；

“2

第三种付酬方式每天所付金额组成数列｛%｝是以0.4为首项，以-为公比的等比数列,

2

2

(2)由(1)知，当〃=20时，40=48x20=960,B20=20+31x20=1020,

473丫°1

Go=q-"2659,则4()</<Go。

因此，该学生在暑假期间共工作20天，选第三种付酬方式较好.

【点睛】

本题考查等差数列和等比数列的应用，涉及等差数列和等比数列求和公式的应用，考查

计算能力，属于中等题.

TT

20、(1)C=—(2)a=3

3

【解析】

⑴由正弦定理及csinA=J^acosC，得tanC=J^，因为()<。<"，所以C=§；

⑵由余弦定理c2=a2+b2-2abeosC，解得。

【详解】

⑴由正弦定理二二一二

sinAsine

得csinA=asinC,

由已知得asinC=