盘锦市重点中学2024届数学高二年级上册期末经典试题含解析

盘锦市重点中学2024届数学高二上期末经典试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.椭圆三+二=1的长轴长为（）

164

A.2B.4

C.6D.8

2.在ABC中，=AB=AC=2,尸为ABC所在平面上任意一点，则+的最小值为（）

1

A.1B.——

2

C.-1D.-2

3.若函数（e+1）%+eln%+〃恰好有3个不同的零点，则。的取值范围是（）

9d,+co)B.[v,e+]芦+8

4.过点4（3,3）且垂直于直线4x+2y-7=0的直线方程为

A.y=51+2B.y——2x+7

1513

C.y——xH—D.y——xH—

2222

5.已知抛物线9=2加（。＞0）的焦点为R,A为抛物线上一点，。为坐标原点，且Q4+»=（2,2）,则。=（）

A.4B.2

C.72D.2A/2

6.金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体.若某金

刚石的棱长为2,则它的体积为（）

7.已知数列｛4｝为递增等比数列，为+。4=9，。2。=8,则数列｛为｝的前2019项和S2oi9=()

A.22019B.22018-1

C.22019-1D.22020-1

8.直线年+3y—3=0的倾斜角为()

A.-300B.300

C.1200D.150°

y2

9.已知正方形ABC。的四个顶点都在椭圆E:「+l(a>6〉0）上，若£的焦点F在正方形ABC。的外面，则

a柠

£的离心率的取值范围是。

'2J

2〕

、2')

10.甲、乙两名射击运动员进行比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,则两人各射击一次恰有一人中靶的

概率为（）

A.0.26B.0.28

C.0.72D.0.98

11.已知实数a,b满足a<b,则下列不等式中恒成立的是（）

11

A.a2<b1B.—>-

ab

C.\a\<\b\D.2a<2h

2

12.若数列的通项公式为a,=丁：，则该数列的第5项为()

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知抛物线。：丁2=22%(°>0)的焦点为尸，过歹的直线/交抛物线C于A8两点，且1ABl口=6,则p的值为

14.已知点M(2,3),N(-3,1),则线段MN的垂直平分线的一般式方程为.

15.下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为14,

乙组数据的平均数为16,则％+y的值为

甲组乙组

908

x21歹58

7424

16.已知4-2,0),3(4,0),在直线/:4光+3y+机=0上存在点P,使丛上依，则机的最大值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知点”(2,-1),直线/:ax—3y+3=0,圆C:x?+9+2x—4y+3=0.

(1)若连接点”与圆心。的直线与直线/垂直，求实数。的值；

(2)若直线/与圆C相交于A,3两点，且弦A3的长为生叵，求实数。的值

10

18.(12分)已知等差数列｛4｝的前“项和为S,,S3=12且%=8.

(1)求数列｛凡｝的通项公式及S,；

(2)设2=不，求数列｛2｝的前"项和I.

19.(12分)设全集U=R,集合A=｛x|lWxW5｝,集合B=｛x|2-a<xWl+2a｝,其中“CR.

(1)若“xGA”是的充分条件，求。的取值范围；

(2)若“xCA”是的必要条件，求a的取值范围.

20.(12分)已知函数/(x)=a(e*-ex)(aK0)

(1)讨论“力的单调性：

(2)若/(x)>x+l对尤e[2,+oo)恒成立，求。的取值范围

21.(12分)求适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴经过点尸卜20,0),Q(0,下);

(2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0)

22.(10分)如图，四棱锥P-ABC。中，上4,平面ABC。、底面ABC。为菱形，E为PD的中点.

(1)证明：尸3//平面AEC；

(2)设PA=l,/a4D=120°,菱形ABC。的面积为2百，求二面角O—AE—C的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】由椭圆方程可直接求得.

【详解】由椭圆方程知：a=4,.•.长轴长为2a=8.

故选：D.

2、C

【解析】以A3,AC为建立平面直角坐标系，设P(x,y),把向量的数量积用坐标表示后可得最小值

【详解】如图，以A3,AC为九,y建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(2,0),C(0,2),设P(x,y),

PA=(-x,-y),PB=(2-x,_y),PC=(—x,2—y),PB+PC(2-2x,2-2y),

PA-^PB+PC)=-x(2-2x)-y(2-2y)=2x2-2x+2y2-2y=2(x-1)2+2(y-1)2-1,

.•.当％=3,丁=3时，丛・(尸3+00)取得最小值一1

故选：C

【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示

3、D

【解析】分析可知，直线与函数g(x)=；V一(e+l)x+elnx的图象有3个交点，利用导数分析函数g(x)的

单调性与极值，数形结合可求得实数。的取值范围.

【详解】令/(无)=0,可得一一(e+l)x+elnx,构造函数g(x)=gx?-(e+l)x+elnx,其中x>0,

由题意可知，直线y=-。与函数g(x)的图象有3个交点,

gM)=x_(e+l)+±=(x-eg=1),由g，⑴=o,可得％=1或％=e,列表如下:

JCJC

X(0,1)1(Le)e(e,+8)

+0—0+

g(x)增极大值减极小值增

所以，g(x)极大值=g6=-e,g(x)极小值=g(e)=-#,

作出直线尸一。与函数g(x)的图象如下图所示:

1111

由图可知，当—e9<—ci<------e时，即当—Fe<〃<—e9时，

2222

直线y=-。与函数g⑺的图象有3个交点，即函数/(%)有3个零点.

故选：D.

4、D

113

【解析】过点4(3,3)且垂直于直线4x+2y—7=0的直线斜率为不，代入过的点得到y=—九+彳.

222

故答案为D.

5、B

【解析】依题意可得设A®，%),根据。4+。9=(2,2)可得x0=2-g%=2,根据A为抛物线上一

点，可得p=2.

【详解】依题意可得歹[究,o],设

由。4+»=(2,2)得(%,%)+§,0)=(2,2),

所以玉)+々=2,%=2,所以%=2—y0=2,

因为A为抛物线上一点，所以2?=2p(2—^),解得。=2.

故选：B.

【点睛】本题考查了平面向量加法的坐标运算，考查了求抛物线方程，属于基础题.

6、C

【解析】由几何关系先求出一个正四面体的高，再结合锥体体积公式即可求解正八面体的体积.

【详解】如图，设底面ABC。中心为。，连接CO,E。，由几何关系知,

ICO\=A/2,|EO\=J|EC『_|OCf=,2-(可=0,则正八面体体积为

7、C

【解析】根据数列｛4｝为递增的等比数列，。1+。4=9,4-。3=8,利用“4,4”法求得q,q,再代入等比数列的前〃

项和公式求解.

【详解】因为数列｛4｝为递增等比数列，

所以%+%二％+q/=9,%=a；•=8,

解得：q=l,q=2,

i_92019

所以

故选:C

【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

8、D

【解析】由直线斜率概念可写出倾斜角的正切值，进而可求出倾斜角.

【详解】因为直线氐+3y—3=0的斜率为卜=1皿01=-g，所以倾斜角a=150°.故选D

【点睛】本题主要考查直线的倾斜角，由斜率的概念，即可求出结果.

9、C

【解析】如图由题可得进而可得/+€—1>。，即求.

a+b

22

【详解】如图根据对称性，点O在直线y=x上，可设。(x,x),x>0,则［+0=1,

ab

可得Z?2<ac，

：.c1+ac-a1>0，即f+e-i,。，又e<l

解得咛！<e<l.

故选：C.

10、A

【解析】依据独立事件同时发生的概率即可求得甲乙两人各射击一次恰有一人中靶的概率.

【详解】记甲中靶为事件4,乙中靶为事件片

贝！|尸(4)=0.8,尸(Z)=0.2,尸(3)=0.9,尸(耳)=0.1

甲乙两人各射击一次恰有一人中靶，包含甲中乙不中和甲不中乙中两种情况，

则甲乙两人各射击一次恰有一人中靶的概率为

P(A)-P(豆)+P3P(A)=0.8x0.1+0.9x0.2=0.26

故选：A

11、D

【解析】利用特殊值排除错误选项，利用函数单调性证明正确选项.

【详解】。=一1,匕=1时，a<b,但/=廿，所以A选项错误.

。=-18=1时，a<b,但工<工，所以B选项错误.

ab

。=一13=1时，a<b,但同=网，所以C选项错误.

>=2‘在R上递增，所以a<bo2〃<2J即D选项正确.

故选：D

12、C

【解析】直接根据通项公式，求。5；

2I

【详解】3一二百，

故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3

【解析】根据抛物线焦点弦性质求解，或联立/与抛物线方程，表示出求其最值即可.

【详解】已知/色,0）,设x=+4（%,yj,B（x2,y2）,

p

x=my-\——0-

则2=>y-2pmy-p9=0,

y~=2px

2

VA>0,所以％+%=2pm,yry2=-p，

；•|AB|=Ji+疗J%_%|=Ji++y2y—4%%=2M1+加）..2p，当且仅当帆=0时，取

/.2p=6=>p=3.

故答案为：3.

14、10x+4y—3=0

【解析】由中点坐标公式和斜率公式可得MN的中点和直线斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得

直线方程，化为一般式即可

【详解】由中点坐标公式可得N的中点为（-,，2）,

2

3-12

可得直线MN的斜率为k=---=-,

L一（一力3

由垂直关系可得其垂直平分线的斜率为k'=--,

2

故可得所求直线的方程为：y-2=-|x（x+1）,

化为一般式可得10x+4y-3=0

故答案为：10x+4y-3=0

15、9

【解析】阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为14可得无=4,

,8+24+15+18+10+y,_

乙组的平均t数：---------------------=16,解得：y=5,

贝！1：%+丁=4+5=9

点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的

数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据

16、11

【解析】设尸点坐标，根据条件知PAP3=0,由向量的坐标运算可得P点位于圆(x-+/=9上，再根据尸存

在于直线/：4x+3y+加=0上，可知直线和圆有交点，因此列出相应的不等式，求得机范围，可得机的最大值.

【详解】设尸(x,y)，则PA=(—2—x,—”PB=(4—x,—y),

由题意可知PAP3=0,

所以(x+2)(x—4)+y"=0>即(x—I)?+y~=9,

即满足条件Q4，依的点尸在圆(X—1)2+y2=9上，

又根据题意P点存在于直线4x+3y+m=0上，

则直线4x+3y+m=0与圆(x—1)2+丁=9有交点，

故有圆心(1,0)到直线4x+3y+m=0的距离小于等于圆的半径，

即।5W3,解得—19WmWn,

则m的最大值为11,

故答案为：U.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)3(2)实数。的值为1和9

【解析】(1)由直线垂直，斜率乘积为-1可得。值；

(2)求出加以到直线/的距离，由勾股定理求弦长，从而可得参数值

【小问1详解】

)Z7

圆C:(尤+1)2+(y—2)=2,/.C(—L2),:.kMC=—\,=—,

I_LMC>—'(-1)——1>；.a=3

【小问2详解】

圆C半径为0,设圆心C到直线A3的距离为d,

化简得：«2-10a+9=0>解得：。=1或。=9

所以实数。的值为1和9.

18、(1)an=2n,Sn=/i(ra+l)

n

⑵Tn=

H+1

【解析】（D设等差数列｛4｝的公差为2,根据已知条件可得出关于％、d的方程组，解出这两个量的值，利用等差

数列的通项公式可求得数列｛4｝的通项公式，利用等差数列前n项和公式求出S"；

（2）求得用=工-——,利用裂项相消法即可求得

nn+1

【小问1详解】

,、[a.=a,+3d=8

设等差数列｛«„｝的公差为d,由js=3q+3d=12，解得％=d=2，

所以a”=al+{n-i)d=2〃,

故数列｛«„｝的通项公式an=In,Sn=­2；2"）=“（“十。；

【小问2详解】

由⑴可得

,11_1_1

所以a=不

+n〃+1

n

所以北=

n+\J〃+1〃+1

19、(1)(2,-H»)

(2)

【解析】(1)由“xeA”是的充分条件，可得A=从而可得关于。的不等式组，解不等式组可得答案;

⑵“xeA”是“xeB”的必要条件，可得然后分6=0和6W0两种情况求解即可

【小问1详解】

由题意得到A=[l,5],

由“xCA”是“xWB”的充分条件可得AU5,

2-«<1

则,cu，解得a>2,

1+2。>5

故实数a的取值范围是(2,+8).

【小问2详解】

由“xCA”是“xWB”的必要条件可得3UA,

当3=0时，2-a>l+2a,即时，满足题意,

3

当5/0时，即a》,时，贝卜1<2-«

31+2tz<5

解得工WaWl.

3

综上aWL

故实数a的取值范围是(-8』.

20、(1)答案不唯一，具体见解析

(2),+8

【解析】(1)求导得/'(x)=a(e'—e),在分。〉0,。<。两种情况讨论求解即可;

V*1

(2)根据题意将问题转化为。>—「对％e[2,+”)恒成立，进而构造函数，求解函数最值即可.

eex

【小问1详解】

解：函数的定义域为7?,/,(x)=«(e'-e)

当a>0时,令/'(力>0,得x>l,令r(x)<0,得光<1；

当a<0时，令/'(%)>0,得x<1,令/'(1)<0,得X>1

综上，当a>0时，/(尤)在(-8,1)上单调递减，在(L+8)上单调递增;

当a<0时，/(力在(-8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减

【小问2详解】

解：由⑴知，函数8(力=6"—0；在[2,+8)上单调递增，

则g(x)>g(2)=e(e-2)>0,

JV+1

所以/(x)>x+l对尤G[2,+8)恒成立等价于a>-....对xe[2,+8)恒成立

eex

i、e-xe*

设函r数+则"(x)=(e-x广

设p(x)=e—xe*(x22),则p'(x)=—(x+l)e*<0,则0(%)在[2,+8)上单调递减,

所以Mx)〈M2)=e—2e2<0,贝!|〃(x)<0,

所以h(x)在[2,”)上单调递减，

3

所以无=无(

(x)1mx2)=^3^;

故,即。的取值范围是(一1,+8]

e2-2ele2-2e)

22

21、(1)L+匕=1；

85

2

尤2y尤2

(2)一+_/=1或匕+—=1.

9819

【解析】(1)由已知可得4=2攻，b=B且焦点在X轴上，进而可得椭圆的标准方程；

(2)由已知可得。=3,b=l,此时焦点在x轴上，或。=9,6=3,此时焦点在丁轴上，进而可得椭圆的标准方程;

【小问1详解】

解：椭圆经过点尸(-2&,0),Q(0,拓)，

a=272-b=5且焦点在x轴上，

22

椭圆的标准方程为土+匕=1.

85

【小问2详解】

解：长轴长是短轴长的3倍，且经过点尸(3,0),

当P点在长轴上时，a=3,b=l,此时焦点在工轴上,

此时椭圆的标准方程为—+V=1；

9

当尸点在短轴上时，〃=9,b=3,此时焦点在>轴上,

22

此时椭圆的标准方程上+乙=1.

981

2

龙2