全国大联考2023届高三下学期3月联考数学试卷（含答案）

全国大联考2023届高三下学期3月联考数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、若全集U=Z,集合A={x∣χ2-5χ+4N0,χ∈z},则α,A中元素的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

2、已知复数z=l-i,则」7—三=（）

z

31

A.-l--iB.-1——iC-.1——1ɪ•DΛ+-i

2222

3、ZvWC中，A。为BC边上的高，且AT>=3,则AB在A。方向上的投影向量的模

为（）

A.9B.6C.3D.1

f,χ≥O

《的解集为（）

4、已知函数f（x）=.X八，则方程/（%）=

----,x<0

A-X

第B∙H4}c∙H11}D∙⅛I}

5、已知/是函数/（x）=tanx-2的一个零点，贝IJSin2Λ0的值为（）

6、如果一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为2,4,4,那么该三

棱锥外接球的表面积是（）

A.12πB.8√6πC.24πD.40π

7、数列{0,,}满足4=100,4=200，且0足一%=[1+（T）"]X5（〃GN"）,则该数列前

31项的和S31=（）

A.5550B.5650C.5760D.5900

8、已知α=l.O3un,b=LOl103,C=LO*,则α,b,C的大小关系是（）

∖.c<b<aB,c<a<bC,b<c<aD,a<c<b

二、多项选择题

9、若直线］:znX-y—3+1=0,圆C:（x-2）?+）?=4,则（）

A.直线/与圆C必相交

B.当机=1时，直线/与圆C相交于A,B两点，则4C4B的面积为2

C.直线/与圆C相交的最短弦长为2√Σ

D.圆C上至少存在4个点到直线/的距离为行

10、如图，正方体ABCO-A瓦G。的棱长为2,M为棱A〃的中点，N为线段AM的

中点，点尸是线段AC上不与端点A重合的动点，则()

A.A,M,C1,M四点共面

B.三棱锥P-DAIG的体积为定值

C.平面4VP_L平面BBQQ

DJlA,N,P三点的平面截该正方体所得截面的面积为定值

11、已知函数/(x)=COS8(tυ>0,8>0),则()

A.若函数/(X)的图象关于直线X=］对称，则3的值可能为3

B.若关于龙的方程/(》)=8在［0,汨上恰有四个实根，则。的取值范围为*同

C.若函数/(x)的图象向右平移W个单位长度，再向下平移B个单位长度，得到的函数

g(x)为奇函数，则ω的最小值是1

D.若函数/(x)在区间设,空］上单调，则l≤o≤2

_44_

12、若函数g(x)为函数/'*)的导函数，且对于任意实数小,函数值/(5)，/'(%),

g(x0)均为递增的等差数列，则()

A.函数y=∕(x)可能为奇函数B.函数y=/(x)存在最大值

C.函数y=f∖x)存在最小值D.函数y=/(%)有且仅有一个零点

三、填空题

13、一亍J的展开式中含d项的系数为.(用数字作答)

14、直线y=G(x-l)与抛物线V=4x相交于A,B两点,且A在第一象限，尸是抛物

线的焦点，则空ɪ=___________.

∖BF∖

，2

15、已知椭圆C：r+r=l(α>∕j>O)的面积为πɑ。，点AO,zn)(m>O)在椭圆

ah

r2

E：r+y2=ig>i)上，点A关于光轴，y轴，原点的对称点分别为B,C,D,记四边

a

q

形ABoC的面积为S,则2的取值范围为.

τta

16、函数y=2d-3X2-12X在点匕(i-2,y)(i=1,2,3,4)处的切线为,则这四条切线所

围成的封闭图形的面积为.

四、解答题

17、已知数列｛4｝满足%=4+2"("∈N*),且4=2.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设d=Iog2an,求数列｛α,,•》“｝的前n项和Tn.

18、在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=-.

3

(1)若三=上，判断的形状；

aa+h

(2)求——1——的最大值.

tanA+tanC

19、如图，四棱台ABC。-4B∣C∣A的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，

AA=2,且AAJ•底面ABC。，点P,。分别在棱。。，BC上,PQ〃平面AB&A，

点M在棱AAl上，PM//AD.

⑴证明：PQHBM；

(2)若平面PDQ与平面AQD所成的锐二面角的余弦值为笔,求三棱锥A-QOP的

体积.

20、2022年12月18日，第二十二届男足世界杯决赛在梅西率领的阿根廷队与姆巴佩

率领的法国队之间展开，法国队在上半场落后两球的情况下，下半场连进两球，2比2

战平进入加时赛，加时赛两队各进一球(比分3:3)再次战平，在随后的点球大战中，阿

根廷队发挥出色，最终赢得了比赛的胜利，时隔36年再次成功夺得世界杯冠军，梅西

如愿以偿，成功捧起大力神杯.

(1)法国队与阿根廷队实力相当，在比赛前很难预测谁胜谁负.赛前有3人对比赛最终结

果进行了预测，假设每人预测正确的概率均为L,求预测正确的人数X的分布列和期

2

望；

(2)足球的传接配合非常重要，传接球训练也是平常训练的重要项目，梅西和其他4名

队友在某次传接球的训练中，假设球从梅西脚下开始，等可能地随机传向另外4人中

的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4人中的1人，如此不停地传下

去，假设传出的球都能接住，记第〃次传球之前球在梅西脚下的概率为乙，求乙.

21、已知曲线E上任意一点。到定点F(E,())的距离与Q到定直线，"：x=?叵的距

~14

离之比为巫.

3

⑴求曲线E的轨迹方程；

⑵斜率为人在＞q的直线/交曲线E于B,C两点，线段BC的中点为点M在光

轴下方，直线。M交曲线E于点M交直线X=-I于点。，且满足

IoNI2=|0。IloMl(O为原点).求证：直线/过定点.

22、设函数/(X)=彳,g(x)=-∙

eX

(1)分别求f(χ)与g(x)的最大值；

(2)若直线y=m与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点A(%l,m),

B(X0,m)，C[x1,m),其中玉＜工0＜尤2，证明：X[，X0,Z成等比数列.

参考答案

1、答案：A

解析：集合&A=｛2,3｝,有2个元素.故选A.

2、答案：B

1-11I

解析：一ɔ—Z=------(1+i)=一i—(1+i)=—1—i.故选B.

z2-2i22

3、答案：C

解析：AB在方向上的投影向量的模为IABllCoSN5A。I=IAoI=3.故选C.

4、答案：A

解析：当x≥()时，/(x)=Y=;,解得x=g或X=(舍去)，当x<0时，

/(X)=F=L，解得X=L舍去)，故解集为.故选A.

ɪ^~X4512J

5、答案：D

解析：因为/是函数/(x)=tanx-2的一个零点，所以tanΛo-2=O,即tanx0=2,故

CoSX(INO,则Sin2x0=2smx°∙cosx°=仝4=±故选D

sinx0+cosx0l+tan-x05

6、答案：C

ab=4

解析：由题意可知三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为mb,c,则<αc=8,解

be=8

得曲c=16,a=2,h=2,c=4,设该三棱锥外接球的半径为H,则

(2R)2=〃+〃+¢2=24,所以S=4π∕?2=24π.故选C.

7、答案：B

解析：因为4=100,4=200,a,*-α,,=[l+(-D"]x5("∈N*),所以当〃为奇数

时，a,.=%,,即数列｛%｝的奇数项为每项都是IOO的常数列；当〃为偶数时

an+2-an=↑0,即数列｛可｝的偶数项是首项为200,公差为10的等差数列.所以

∣5×14

S31=16X100+15X200+—^—×10=5650.⅛½B.

8、答案：C

X

1z∩∩iʌ--------------lπ(x÷0.01)

解析：构造“x)=m(x+U3),Xe(O,+∞),则尸(X)=X+°∙°1,--------，构造

XX

u(x)=——----ln(x+0.01),则uf(x)=——竺ɪ~~∑---------------=---------------<0,故u(x)在

Λ+0.01(x+0.01)2x+0.01(x÷0.01)2

11

(0,+∞)内单调递减，m(√^-().01)=^~P∙ο-1=1——-7=>0,故/'(X)=冬>0对

√e22100√e%2

任意XG(O0.01)恒成立，则/(x)在(0,6-0.01)单调递增，因为

(1.02+0.01)2=1.0609<e,所以1.02<6―0.01,故/(1.02)>/(1.01),即

l002

lnL03>lnL02即LolInLo3>L021nl.02,≡PIn1.03'>In1.02',即

1.021.01

l02

β=1.03°'>1.02'∙=c,同理构造g(x),I“*一。.1),x∈(0.01,+∞),则

X

Y

-------------ln(x-0.01)

g,(x)=x~θ'θɪ_;------------，构造U(X)=——--------ln(x-0.01),则

X%-0.01

—0.01

M(X)=-----------=--------------7<0,故V(X)在(0.01,+∞)内单调递减,

(x—0.01)2X-0.01(x-0.01)"

v(e+0.01)=e+001-l=-!—>0,故g'(x)=缚>0对任意XG(O,e+0.01)恒成立，则

eIOOeX

g(x)在(0,e+0∙01)单调递增，故g(LO3)>g(l.O2),即与詈>牛署，即

1.021n1.02>1.03In1.01,B[Jlnl.O2l02>lnl.01,°3,SPc=l.O2l02>l.θΓ°3=/?,则α,b,C

的大小关系是8<c<α.故选C.

9、答案：ABC

解析：由于圆C的圆心坐标为C(2,0),半径r=2,所以圆心到直线的距离

d=-⅛=ɪ-直线/：蛆-y-根+1=0过定点M(1,1),对于A,定点M在圆内，所以

yjm2+1

|2|

直线/与圆C必相交，故A正确；对于B,当加=1时，d√2,

√i+T

IABl=2二产—屋=20,所以ACAB的面积为2,故B正确；对于C,当d取最大值

行时，直线/与圆C相交的弦长最短，故最短弦长为一＞2=2近,故C正确；

对于D,当d=√∑时，此时圆C上有2个点到直线/的距离为C,故D错误.故选

ABC.

10、答案:BCD

解析：对于A,由图可得，点A,点C,点G都在平面AACC上，且不在一条直线

上，点似在平面AA1CC外，所以A,M,Cl,C四点不共面，故A错误；对于B,因

为直线AC∕∕Λ1C∣,所以直线AC//平面OAG,由于点P是线段AC上的动点，所以点P

到平面DAG的距离为定值，故三棱锥P-。AG的体积也为定值，故B正确；对于

C,因为直线APL平面BgOQ,APU平面AN尸，所以平面A7VP_L平面66Q。，故

C正确；对于D,取CQ的中点L,连接CL,ML,因为4C//ML,所以平面ACLM为

过A,N,尸三点的平面截该正方体所得的截面，故截面面积为定值，故D正确.故选

BCD.

11、答案：BC

解析：对于A,因为函数/(x)的图象关于直线X=C对称，所以当-二=左汽供eZ),

336

则g=3攵+g(A∈Z),因为勿＞0,则。的值不可能为3,故A错误；对于B,当

ππ

%∈[0,π]时,ωx——∈—,am,----若/(x)=B在xe[0,π]上恰有四个实根，则

666

7兀Jπ9π存刀阳11J14

——≤ωn--<——，解得——≤ω<——,故B正确；对于C,由已知得

26233

g(x)=CoSUXtπτιωπ

=COSωx-——+—,因为函数g(x)为奇函数，所以

636

πωπTl

——+—&π+](A∈Z),即口=3k+l(左eZ),因为切＞0,所以0的最小值是1,故

36

C正确;对于D,当69=2时，/(x)=CoS2x-^∖+B(B>0),因为x∈,所以

44

兀3兀

2x--∈,所以函数/(X)在区间上不单调，故D错误.故选BC.

6334,4

12、答案：CD

解析:设d(x)=f'(x)T(X)>0,则"'(x)=g(x)-/'(X)>0,由题意可知

/(x)+g(x)=2∕'(x),则d'(X)=d(x),即d'(X)-d(x)=O,故

evJz(x)-erJ(x)即即

=0,则存在正实数。满足:3=α,"(x)=α∙e”,

ex

r(x)-∕(x)=α∙e*,故门(/£"叫呼ŋ=—存在实数/,满足：

J(X)=ox+〃,故/(九)=(OX+8)∙e',a>09⅛∈R,故

eA

f'(x)=f(x)+a∙ex=(ax+a+b)∙ex,故当xe1—8,—2-］］时，f'(χ)<0,当

Xel—2—i,+oo］时，f'(x)>O,故/(x)在100,------1］单调递减，在(----l,+oo)单调

递增.对于A,由/(x)的单调性可知，函数y=f(X)不可能为奇函数，故A错误；对于

B,对任意实数》,当x→+∞时，/(x)→∙+8,故函数/(x)没有最大值，故B错误；

对于C,/(X)在X=-g-l时取得最小值，故C正确；对于D,因为函数

a

h

/(x)∙e-x=办+。有且仅有一个零点-士，而e-*>0,故函数y=/(x)有且仅有一个零

a

点-2,故D正确.故选CD.

a

13、答案：-16

解析：通项公式小=C；(«产｛-子)=(-2)AC*√-A∙,4-Z=3=>Z=1,此时，含

χ3的项为(=(-2)∣C53=-2x8χ3=-i6χ3,所以含V项的系数为一16.故答案为-16.

14>答案：3

解析：设A(χ,χ),B(Λ2,y2),联立直线和抛物线的方程得

T,二6(x-D=>3χ2-iθχ+3=O,解得玉=3,x2=~,由于直线过抛物线的焦点「

y2=4x-3

所以些=—2_=3.故答案为3.

∣5F∣P

22

15、答案:fθ,-l

2

X2_1

解析：联立直线y=x和椭圆E的方程得/+V=1=>(«2+1)%2-«2=0,解得

J二X

〃/=£,又因为四边形ABoC为正方形，所以S=Φ√=M,故

6Z2÷14Z2+1

S4。41r+l工1r-r-KlS41412rrIUS∣∕j∕→τr,

—=--j--—r--------->0,由于α>l,所以—=-------<=一,所以—的取7

πππ

兀(矿+1)«+1π∏πfl+lπ2πW

aa

值范围为(o,2).故答案为(o,2'.

Iπj‹TtJ

16、答案：-

4

解析：/(x)=2/一3/一I2x,则/'(X)=一6x—12=6(x-2)(x+l),可知

广(2)=/(-1)=0,故V/,/(0)=八1)=一12,故〃仆所以这四条切线所围成的封

闭图形为平行四边形，设其底为d,高为〃，由y=∕'(-1)=7,%=/(2)=-20,故

〃=|X-％|=27，由％=/(。)=°得4h=T2x,由％=/⑴=一13得

∕√y=-12fx+^,故4=工，则该平行四边形的面积S=d∕=2.故答案为

3∙I12J1244

17、答案：(1)4=2"("GN")

(2)7；,=(H-1)∙2,,+I+2

解析:⑴因为-=见+2",所以α,-α,τ=2"T("≥2),

所以

flaa+afl+

ɑ,,^1=(n~n-∖){n-∖~n-2)+(4-《2)+(⑥-4)=2"∣+‘7+.+2?+2=

2(1-2"T)

--------^=2fl-2,

1-2

所以4=2"5N2),又当〃=1时也适合上式，所以α,,=2"("cN*)∙

(2)因为勿=Iog2an=n,所以α“也=小2",

7；,=1×2+2X22+3×23++n∙2",①

27；,=1X22+2×23+3×24++n∙2"+',②

①-②得：-7；,=2+22+23++2π-n∙2n+1,

故7；=(〃-1).2田+2.

18、答案：(1)Z∖A8C为直角三角形

(2)——i——的最大值为立

tanA+tanC6

解析：⑴因为三=上，所以。2=∕+αc,

aa+b

由余弦定理得：b2=cΓ+c2-2ac×-=a2+c2-ac，

2

BPa2÷ac=a2+c2-ac,所以c=2。，

由正弦定理得：SinC=2sinA,因为B=],所以Sin(A+g)=2sinA,

所以LSinA+^^cosA=2sinA,即COSA=GSinA，

22

即tanA=—,

3

又A∈(O,π),故A=四，得C=三，

62

所以AABC为直角三角形.

12)因为3=彳，所以

tanA+tanCsinAfsinC

cosAcosC

_cosAcosC

sinB

2(2πO

=~~cosAxcos-----1

√3I3

2.(1.

=—j=cosA——CoSA+-SinA

√3(22)

=2ficos2λ+^

同

22/

2(1+cos2A\/3.ʌɔ

4J

=U立sin2A」C..1、

os2A—2

√3∣k22J

所以sin(2A—^]e,1,

当2A—《=]即Sin(2A—弓)=1时，负sin∣2A一(取最大值*,

此时A=二，C=巴，故——1——的最大值为3.

33tanA÷tanC6

19、答案：(1)证明见解析

⑵I

解析：(1)由题意知：PMHAD,且BC//A。，所以PM//BC,

所以M,B,C,P四点共面，

又因为PQ//平面ABBiAi,且平面MBCP平面ABgΛ,=BM,

所以PQ〃BM.

(2)因为AB,AD,AA两两垂直，所以以A为坐标原点，AB,AD,AA所在直线分

别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系，

因为四棱台ABCo-4耳GA的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，AA=2,

所以A(0,0,0),D(0,2,0),D1(0,1,2),设Q(2,f,0),0<t≤2,

所以OQ=(2/-2,0),DD；=(0,-1,2),

设％=(x,y,z)是平面P。。的一个法向量，

则'"°，即[2x+(-2)y=o,

[∕ιl∙PD1=O[-y+2z=0

取“=(2τ,2,l)；

又平面AQO的一个法向量是〃2=(0,0,1)，

所以8sg,a∣=犒=mJ+2*=噜'

解得或「=*(舍去)，此时Q(2,3,O),

22I2J

由(1)知四边形MBQP是平行四边形，所以PM=BQ=

设M(0,0,相)，则P(O,g,m],

因为点P在棱。2上，所以由。P=2Z)R(0<;l≤l),得(0,—；,/«)=2(0,—1,2),

解得从而P(O,D

m=lI2J

…、，I11?

shχx2x2xi

故三棱锥A-Qz)P的体积匕_aIP=匕j0o=-^ADQ∙=--=-∙

2。、答案：⑴分布列见解析；期望为I

IYT1

—+—

⑵U4J5

解析：(1)因为尸=g,X~βf3,∣LX可能的取值为0,1,2,3,

P(X3C怎gpC哨:k=0,1,2,3,

故X的分布列为:

X0123

ɪ33~τ~

P

8888

13

故E(X)=3x]=/

⑵第〃次传球之前球在梅西脚下的概率为《，易得4=1，A=O,

则当〃≥2时，第〃-1次传球之前球在梅西脚下的概率为P„_{,

第八-1次传球之前球不在梅西脚下的概率为1-月I,

故

尸-

”

又因为『渭

所以一:是以3为首项，公比为-L的等比数列,

所以匕―(=

22

21、答案：⑴5-1=1

⑵直线/过定点(-9,0)

解析：(1)设曲线E上任意一点Q(X,y),

由题意知，此华:V=叵,

9√M3

X-----1-4--I

2ɔ

所以曲线E的轨迹方程为5-方=L

(

⑵设B(X],χ),C(Λ2,y2),直线/的方程为y=H+fk>

y=kx+t

联立，2yι,得(5—9公)九2-18依_9/-45=0,

------二1

195

5-9⅛2≠05-9⅛2≠0.18股

因为有两个交点，所以=>V,,，所rc以nM+X,=-------r

Δ>09k2<t2+5-5-9k2

18居+2(5-9巧IS

yi+y2=ψl+x2)+2t=-----ʒ----=F

9kt

即M因为点M在X轴下方,

5-9k2/I

所以一又女〉爻，所以1>0,

5-9E3

所以直线OM的斜率k°M=金，则直线OM的直线方程为y=%

将其代入双曲线E的方程，整理得W=U,

yK—ɔ

81〃+25

所以IoNI2=^+/=1+肃源/

IOlKJ9⅛2-5

将y=S_X代入直线X=-1,解得D(T,_9],

-9kI9k)

9kt_5t_\

又因为M

5-9k2'5-9k2)

所以有1。昨/1)2+0、种IlIi

，81公尸+25广

IOMI=2

∣⅛÷⅛~9/一5

由IoNl2=|。。IIOMI,解得/=±9%,因为%>好