辽宁省鞍山市台安县高级中学2023年高二数学第一学期期末经典试题含解析

辽宁省鞍山市台安县高级中学2023年高二数学第一学期期末经典试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某商场为了解销售活动中某商品销售量》与活动时间x之间的关系，随机统计了某5次销售活动中的商品销售量与

活动时间，并制作了下表：

活动时间X24568

销售量y2540607080

由表中数据可知，销售量y与活动时间X之间具有线性相关关系，算得线性回归方程为y=.+6.25,据此模型预测

当x=7时，y的值为（）

A72.5B.73.5

C.74.5D.75.5

\PF'\

2.已知点厂为抛物线C：>2=4x的焦点，点1,0）,若点尸为抛物线C上的动点，当扁取得最大值时，点尸

'/\PF\

恰好在以F,F为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为O

,1R④

A・B.-----

22

C.V3-1D-V2-1

3.若“x=2”是“川炉-（租+3）无+4=0”的充分不必要条件,则实数机的值为（）

1

A.1B.——

2

1——1

C.一一或1D.—1或一

22

4.若b都为正实数，2a+b=l,则ah的最大值是（）

1

A.2B.-

98

11

C.一D.—

42

5.已知命题P：3x0>0,e而一3%+lWO,则命题P的否定为（）

A.Vx<0,ex-3x+l>0B.Vx>0,ex-3x+l>0

C.Vx>0,，-3x+lW0D.3%>0,ex-3x+l>Q

6.若将一个椭圆绕其中心旋转90。，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”,

下列椭圆中是“对偶椭圆''的是。

2222

。土+匕=1-%----Q1-----=1

6269

7.若函数/（x）=gx2-2x+alnx有两个不同的极值点，则实数。的取值范围是（）

A.a>lB.一IVQVO

C.a<lD.Ovavl

8.下列说法正确的有（）个.

①向量a，b>c>（a，b）c=a仅不一定成立；

②圆G：%?+y?=4与圆C2:炉+,2+6%—4y=0外切

③若从=就，则数》是数〃，c的等比中项.

A.lB.2

C.3D.0

9.经过点P（2,-3）作圆C:（x+l）2+y2=25的弦A5,使点尸为弦A5的中点，则弦AB所在直线的方程为

A.x-y_5=0B.x-j+5=0

C.x+y+5=0D.x+y—5=0

10.若占、/e（O,e）且玉<9，则下列式子一定成立的是（）

C.x1Inxx>x2Inx2D.xrInxx<x2Inx2

11.某制药厂为了检验某种疫苗预防的作用，把1000名使用疫苗的人与另外1000名未使用疫苗的人一年中的记录作

比较，提出假设Ho：“这种疫苗不能起到预防的作用”，利用2x2列联表计算得K2°3.918,经查对临界值表知

尸（片23.841b0.05.则下列结论中，正确的结论是（）

A.若某人未使用该疫苗，则他在一年中有95%的可能性生病

B.这种疫苗预防的有效率为95%

C.在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”

D.有95%的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用

12.若函数〃力=三7,当九wm时，平均变化率为3,则加等于（）

A.非B.2

C.3D.1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知不等式2x+l-ae'20有且只有两个整数解，则实数。的范围为

14.已知抛物线y2=2pM0>0）与直线％交于，E两点，若Rt^DQE（点。为坐标原点）的面积为16,则

11

抛物线的方程为;过焦点歹的直线/与抛物线交于A,5两点，则国+同=

22

15.已知耳、B双曲线鼻-==1（。〉0力〉0）的左、右焦点，A、3为双曲线上关于原点对称的两点，且满足

ab

AFxLBFltNAB",则双曲线的离心率为.

16.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案.通过抽样，

获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）,[0.5,1）,[4,4.5）分成9组，制

成了如图所示的频率分布直方图，则.=

频率

□■■■■--□IL

6

2

g

g

00.511.522.533.544.5月均用水量/吨

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3一3一

17.（12分）（1）已知集合A=1y丁=必一一x+l,xe-,2kB=[x\x+n^>11.P：xeA,夕：xeB,并

'2l_4」J11>

且，是q的充分条件，求实数冽的取值范围

2

（2）已知P：3x^R,md+iwo，q.VxeR,x+mx+l>0,若为假命题，求实数成的取值范围

18.（12分）已知抛物线。的方程为f=8y,点加（0,4）,过点/的直线交抛物线于A6两点

（1）求△043面积的最小值（。为坐标原点）；

11

（2）匚力+女下是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由

\AM\\BM\

19.（12分）已知点4（-2,0）,5（2,0）,设动点尸满足直线这1与尸5的斜率之积为-1，记动点P的轨迹为曲线E

（1）求曲线E的方程；

（2）若动直线/经过点（1,0）,且与曲线E交于C,D（不同于A,B）两点，问：直线AC与30的斜率之比是否为

定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由

20.（12分）已知｛aj是公差不为零的等差数列，4=1,且为,备，为成等比数列.

（I）求数列｛aj的通项；（II）求数列｛2乐｝的前。项和S.

21.（12分）如图，四边形3CG4是某半圆柱的轴截面（过上下底面圆心连线的截面），线段A4是该半圆柱的一条

母线，点。为线A4的中点

（1）证明：AB±AjC；

（2）若A3=AC=1,且点用到平面BCQ的距离为1,求线段8用的长

22.（10分）近年来，由于耕地面积的紧张，化肥的施用量呈增加趋势，一方面，化肥的施用对粮食增产增收起到了

关键作用，另一方面，也成为环境污染，空气污染，土壤污染的重要来源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地

促进粮食增产，减少对周围环境的污染成为需要解决的重要问题.研究粮食产量与化肥施用量的关系，成为解决上述问

题的前提.某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散

点图及一些统计量的值，化肥施用量为x（单位：公斤），粮食亩产量为y（单位：百公斤）.

y/k

10-

8-••

6-.**

4-.•*

2：,

o|24681012141618202224262830*

参考数据：

1010101010101010

登24□a

i=lZ=1Z=1i=l1=1Z=1Z=1i=\

65091.552.51478.630.5151546.5

表中L=lnx,.,z.=In%(i=1,2,-,1O).

（1）根据散点图判断了=。+法与、=。/，哪一个适宜作为粮食亩产量y关于化肥施用量x的回归方程类型（给出判

断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；并预测化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的

值；

（3）经生产技术提高后，该化肥的有效率Z大幅提高，经试验统计得Z大致服从正态分布N（0.54,0.022）,那这种化

肥的有效率超过58%的概率约为多少？

附：①对于一组数据（%匕）。=1,2,3,•,〃），其回归直线/=/“+6的斜率和截距的最小二乘估计分别为

n_

Zuivi一〃而

8=q----------,a=v-Pu；②若随机变量Z:N（生吟,则有P（〃—b<Z<〃+b）〃0.6826,

£u：-riu2

Z=1

P（〃一2b<Z<〃+2b）p0.9544；③取ee2.7.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程，求出〃的值，再将％=7代入回归方程即可得解.

2+4+5+6+8-25+40+60+70+80”

【详解】由表格中的数据可得x=-------------=5,y=-----------------------=55,

55

将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得5b+6.25=55，解得b=9.75，

所以，回归直线方程为y=9.75%+6.25,故当x=7时，y=9.75x7+6.25=74.5.

故选：C.

2、D

\PF'\|PF'\

【解析】过点P引抛物线准线的垂线，交准线于D,根据抛物线的定义可知1―7=,记ZDPF'=ZPF'F=a,

IPFI\PD\

根据题意，当COS6Z最小，即直线尸尸与抛物线相切时满足题意，进而解出此时P的坐标，解得答案即可.

【详解】如图，易知点E'(-1,0)在抛物线C的准线％=-1上，作尸。垂直于准线，且与准线交于点。，记

ZDPF=(z0<a<^,则=

\PF'\\PF'\\PF'\

由抛物线定义可知'向=两=—1.由图可知'当.取得最大值时'"so最小’此时直线用，与抛物线

相切，设切线方程为/：y=左(％+1),代入抛物线方程并化简得:

2

左2三+(2左2—4)x+左2=0,A=(2左2_4『-4/=0一女=±1,方程化为：x-2x+l=0=>x=B代入抛物线

22

方程解得：,=±2,即尸(1,土2),贝！||PE|=|PD|=2,|pF'|=^(1+1)+(±2)=2A/2.

1

于是，椭圆的长轴长2a=2&+2=。=拒+1，半焦距c=l，所以椭圆的离心率e==72-1.

V2+1

故选:D.

3、B

【解析】利用定义法进行判断.

【详解】把x=2代入加2%2一（加+3）%+4=0,得：4m2-2m-2=0»解得：加=-g或m=1.

当加=1时，加2%2_（加+3）%+4=0可化为：/_4x+4=0,解得：1=2,此时“尤=2”是“加2/—（加+3）%+4=0”

的充要条件，应舍去；

当加=一：时，加2%2一（加+3）%+4=0可化为：/_]0%+16=0,解得：尤=2或x=8,此时“％=2”是

“m2X2-（m+3）x+4=0”的充分不必要条件.

皿1

故机=——.

2

故选：B

4、B

【解析】由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.

【详解】因为。，b都为正实数，2a+8=l,

所以a人=224工（也也[=!，

22（2J8

当且仅当2a=b,即4=,力=!时，取最大值」.

428

故选:D

5、B

【解析】根据特称命题的否定变换形式即可得出结果

【详解】命题0：3x0>0,4一3%+1WO,

则命题P的否定为VxNO,ex-3x+l>0

故选：B

6、A

【解析】由题意可得b=c,所给的椭圆中的。，匕的值求出。的值，进而判断所给命题的真假

【详解】解：因为椭圆短的轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，即26=2c,

即Z?二c,

A中，/=]o,h1=5，所以<?2=/—/=5，

故Z?=c,所以A正确；

5中，a2=5fH=3,所以，=片—Z?2=2W3,所以_B不正确；

。中，/=6,b2=2,所以/=4—〃=4。2,所以。不正确；

。中，a2=99b1=6,所以02二P-Z?2=3W6,所以。不正确;

故选：A

7、D

△=4—4。〉0

【解析】计算f\x),然后等价于g(x)=V-2x+a在(0,+oo)由2个不同的实数根，然后计算＜24—4a八

x=---------->0

2

即可.

【详解】f(x)的定义域是(0,+00),

2

外幻=尤-2+0=x-2x+a

xx

若函数/(x)有两个不同的极值点,

则g(x)=x?-2x+a在(0,+oo)由2个不同的实数根,

A=4-4o>0

故,2-74-40八，解得：0<<7<1,

%,=---------->0

12

故选：D.

【点睛】本题考查根据函数极值点个数求参，考查计算能力以及思维转变能力，属基础题.

8、A

【解析】由向量数量积为实数，以及向量共线定理，即可判断①；求出圆心距，即可判断两圆位置关系，从而判断②;

取/,=(),a=0,c=l,即可判断③

【详解】对于①，(。力)。与o共线，a,与0共线，故(a6)c=a任不一定成立，故①正确；

对于②，圆G：必+/=4的圆心为(0,0),半径为2,圆C2：/+/+6x—4y=0可变形为(％+3)2+(,—2)2=13,

故其圆心为(—3,2),半径为而'，则圆心距|CG|=J(O+3]+(O—2)2=屈,由而—2＜如＜9+2,所以

两圆相交，故②错误；

对于③，若^=ac，取b=0,a=0,c=l,则数6不是数的等比中项，故③错误

故选：A

9、A

【解析】由题知尸为弦AB的中点，可得直线AB与过圆心和点P的直线垂直，可求AB的斜率，然后用点斜式求出AB

的方程

-3-0

【详解】由题意知圆的圆心为c(—1,0),%=2—(—1)=j由A5LCP，得KB=1，•••弦A3所在直线的方程

为y+3=x-2,整理得x-y-5=0.选A.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直线的斜率，直线的点斜式方程，属于基础题

10、B

【解析】构造函数〃力=叱，利用函数〃尤)在(o,e)上的单调性可判断AB选项；构造函数g(x)=xlnx,利用

函数g(x)在(O,e)上的单调性可判断CD选项.

【详解】对于AB选项，构造函数/(力=叱，其中0<x<e,则/(力=上?>0,

XX

所以，函数/(%)在(0,e)上单调递增，

InxInx

因为X1、/e(O,e)且玉<%,则/(%)</(%2)，即一~<一工，A错B对；

再次2

对于CD选项，构造函数g(x)=xlnx,其中0<x<e,则g'(x)=l+lnx.

当0<x<'时，g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减，

e

当:<x<e时，g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增，

故函数g(x)=xlnx在(0,e)上不单调，无法确定g(%)与g(尤的大小关系，故CD都错.

故选：B.

11、C

【解析】根据R2的值与临界值的大小关系进行判断.

【详解】；片《3.918,尸(1之3.841)。0.05,

:.在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”，C对，

由已知数据不能确定若某人未使用该疫苗，则他在一年中有95%的可能性生病，A错，

由已知数据不能判断这种疫苗预防的有效率为95%,B错，

由已知数据没有95%的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用,D错，

故选：C.

12、B

【解析】直接利用平均变化率的公式求解.

【详解】解：由题得2=①"他=广1=机+1=3,.•.根=2.

♦犬m—1m—l

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、

【解析】参变分离后研究函数单调性及极值，结合与二相邻的整数点的函数值大小关系求出实数〃的范围.

2

Oy_1_1+1

【详解】2x+l—ae-0整理为：。<一，，即函数g(x)=—^在V=。上方及线上存在两个整数点，

ee

g'(x)=\^，故显然g(x)在］7,g］上单调递增,在上单调递减,且与上相邻的整数点的函数值为:

35

g(-l)=-e,g(O)=l,g(l)=-,g(2)=W，显然有g(—l)<g⑵<g(O)<g⑴，要恰有两个整数点，则为0

ee

和1,此时g⑵<aWg(O),解得：^<a<l,如图

e

故答案为：

14、y2=4x②.1

【解析】利用的面积列方程，化简求得，的值，从而求得抛物线方程.将/的斜率分成存在和不存在两种情

11

况进行分类讨论，结合根与系数关系求得西+同.

【详解】依题意可知。>0,。>0,

x=a

ny=+yj2pa,

y?=2px

a=J2pa

所以41解得p=2,a=4.

—xax,2pax2=16

12

所以抛物线方程为y2=4x.

焦点厂(LO),

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为尤=1,

x=l

产尸土2,^\AF\=\BF\=2,

11

此时丽西=1

当直线/的斜率存在且不为。时，设直线/的方程为丫=履+6,

丁:："消去y并化简得k%2—（2左2+4）X+左2=0,

由＜

、yx

△二（左『

22+4—4左4=16左2+16>0,

设4（%,乂）,凤孙％），

贝!1西+%2=2/2：4,1,

,-k2一

1111

结合抛物线的定义可知-----1-----

%1+1%+1

X+9+2_玉+々+2_[

国+%2+玉工2+1玉+%2+2

2

故答案为：y=4x;1

15、V2

【解析】可得四边形A2B月为矩形,运用三角函数的定义可得，|AK|=2csina,忸周=2ccosa由双曲线的定义

和矩形的性质，可得2c|cosa—sin。|=2。，由离心率公式求解即可.

22

【详解】K、工为双曲线三一去=1（。〉0力〉0）的左、右焦点，1BF,

可得四边形AKB月为矩形，

在放中，卜c,.•.|AB|=2c,

在放ZkABG中，ZABFl=a,可得|AFj|=2csina,忸G|=2ccoso,

.二|忸周一|4工卜||A耳H人川=2c\cosa-sina\=2a,

c11

e——-----------------=--------------------

/.aIcosor-sin6z|rr(,

11v2cosI+I

n(n1

12I4j32

•*•e=V2>

故答案为：0.

【点睛】关键点点睛：得出四边形A乙8月为矩形，利用双曲线的定义解决焦点三角形问题.

3

16、3##—

10

【解析】由频率之和等于1,即矩形面积之和为1可得.

【详解】由题知，0.5x(0.08+0.16+a+0.4+0.52+a+0.12+0.08+0.04)=1

解得a=0.3.

故答案为：0.3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)［一8,-《―j+8)；⑵m>2

7

【解析】(1)由二次函数的性质，求得A={y|；4y42},又由x+i/Nl，求得集合3={x|x21-机2},

176

根据命题，是命题4的充分条件，所以列出不等式，即可求解

(2)依题意知，均为假命题，分别求得实数加的取值范围，即可求解

c33c737

［详解］(1)由y=尤X+I=(x--)+—,—,2,/.y=—,Vmax=2,

24lol_4」min16

Aye，所以集合A=[yl7^<y<2],

16J116J

由九+加三1，得xel—加2,所以集合jg={%|%21一加2},

733

因为命题。是命题夕的充分条件，所以AqB,则1—加2<解得加2—或加V——,

1644

...实数加的取值范围是1一℃,一；3

—,+00

4

（2）依题意知，p,q均为假命题，

当P是假命题时，相小+1〉0恒成立，贝!）有利之。，

当4是假命题时，则有A=M2—42。，mW—2或mN2.

m>0

所以由P，9均为假命题，得即加之2.

m<一2或m>2

【点睛】本题主要考查了复合命题的真假求参数，以及充要条件的应用，其中解答中正确得出集合间的关系，列出不

等式，以及根据复合命题的真假关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题

18、（1）1672；

（2）是，该定值」.

16

【解析】（1）根据弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式进行求解即可;

（2）根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.

【小问1详解】

显然直线AB存在斜率，设直线A3的方程为：y^kx+4,

Y-+4

所以有L=尤2_8丘—32=0,设4（和％）,3区,%）,

1x~=8y--

贝!］有％+%=8k,xxx2=-32,

\AB\=J1+左2.］（芯+々）2_4芯％=J1+/•,64左2+128=8次+产J2+:,

4

原点到直线,=履+4的距离为：rLL_,

J1+左2

△OAB的面积为：S=］x8,J1+左2,52+左2X-J^~^=16A/2+左2,

2y/1+k2

当左=0时，S有最小值，最小值为16&；

【小问2详解】

是定值，理由如下:

由(1)可知：％=/，乃=/,%々=-32,

111

|AM|2\BM^

11

11

-------+--------

工+16三+16

6464

11

+P-

r包+16

2+1664

64

164

+42

2X2+32

163(2J+1)

x2

,64

+42

24X,+32

16(32+X2)

42

X2+32

~16（322+V）

1

"16,

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.

22

19、⑴土+匕=1（%W±2）；⑵直线AC和的斜率之比为定值g

43

【解析】（1）设。（羽丁），依据两点的斜率公式可求得曲线E的方程

⑵设直线/：x=my+l,。（国,弘），。（9，%），联立方程得（3.+4）6玖y—9=0,得出根与系数的关系,

表示直线AC的斜率，直线8。的斜率，并代入计算3,可得其定值.

'2

【详解】解：(1)设。(九》),依题意可得左PA•左PB=—9,所以‘———=一士("±2),

4x+2x24

22

所以曲线E的方程为工+上=1(%W±2)

43

(2)依题意，可设直线/：xmy+1,£>(七,%)，

x=my+1

JTI9

由炉2可得(3疗+4)9+6仅y—9=0,则%26m//，%%=°2/，

一+—=l(x^±2)'73m+43m+4

I43v)

因为直线AC的斜率勺=93，直线3。的斜率&=/彳，因为m%%=1(%+%)，

玉+/%2+/2

313

的NK_%(9—2)_%(m%—1)_myly2-yl[％+%)-X_/+5y2i

卜%(玉+2)%(⑵I+3)姐%+3%*%+%)+3%3

所以直线AC和BD的斜率之比为定值;

20、(I)an-n

(II)S“=2"+i-2

【解析】本试题考查了等差数列与等比数列的概念以及等比数列的前〃项和公式等基本知识

(I)由题设知公差d,。，

由6=1,%%成等比数列得尸宴=罟g，

1l+2d

解得d=l,d=0(舍去)，

故｛4｝的通项=1+(〃-1)义1=九

(II)由(I)知2""=2"，

由等比数列前n项和公式得

S=2+22+23+...+2"=2(1~2=2,,+1-2.

"1-2

点评：本试题题目条件给的比较清晰，直接.只要抓住概念就可以很好的解决

21、(1)证明见解析；(2)V2.

【解析】(1)先证明ABLAC,利用判定定理证明AB_L平面A41clC,从而得到

(2)设BB1=a,利用等体积法，由由《.Bg=%.B期，解出

【详解】(1)证明：由题意可知A4，平面ABC,ABI平面ABC，A、LAB

'：44c所对BC为半圆直径:.NBAC=-.\AB1AC

2

A4和AC是平面MQC内两条相交直线AB，平面MQC

ACu平面A4QCAB±4。

(2)设,BB[=a,

因为AB=AC=1,且ZBAC=e所以§C=JAB2+AC2ujp+f=后,

2

设BB[=CC