中考数学知识点练习真题-全等三角形（解析版）

第十五讲全等三角形

命题点1全等三角形的判定与性质

类型一平移型

1.(2020•黑龙江)如图，RtA48C和Rt△££>F中，NB=ND,在不添加任何辅助线的情

况下，请你添加一个条件,使RtAABC和Rt尸全等.

【答案】AB=ED.

【解答】解：添加的条件是：AB=ED,

理由是：,/在RtAABC和Rt∆EDF中

,ZB=ZD

<AB=ED，

ZA=ZDEF

.∙.Rt∆ABC^Rt∆EDF(ASA),

故答案为：AB=ED.

2.(2020秋♦叶胎县期末)如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD=BE,NC=NF,BC

//EF.

求证：

(1)AABCgDEF;

【解答】证明：（I）,CBC∕/EF,

"CBA=NFED,

`:AD^BE,

.∖AB=DE,

在AABC与中,

'NC=NF

<NCBA=NFED，

AB=DE

：.AABgDEF(AAS)；

（2）；由（1）知，AABgDEF,

：.NA=NEDF,

.,.AC∕∕DF.

3.（2021•新疆）如图，在矩形48Cf）中，点E在边8C上，点F在BC的延长线上，且BE

=CF.

求证：（1）AABE会ADCF；

（2）四边形4EF£）是平行四边形.

【答案】（1）略⑵略

【解答】证明：（1）：四边形4BC。是矩形，

：.AB=CD,∕A8C=NDCB=90°,AD=BC,AD//BC,

；.NABE=NDCF=90°,

在448E和△£）（；尸中，

,AB=DC

-ZABE=ZDCF-

BE=CF

Λ∆AβE^∆DCF（SAS）,

（2）；BE=CF,

.,.BE+EC=CF+EC,

IBC=EF=AD,

又,：ADHBC,

四边形AEED是平行四边形.

类型二轴对称型

4.（2021•成都）如图，四边形ABC。是菱形，点E,F分别在BC,QC边上，添加以下条

件不能判定AABEgZvW）尸的是（)

D

B

E

C

A.BE=DFB.NBAE=NDAFC.AE=ADD.NAEB=NAFD

【答案】C

【解答】解：由四边形A8CD是菱形可得：AB=AD,ZB=ZD,

A、添加BE=QF,可用SAS证明AABE丝△AOF,故不符合题意；

B、添力口N8AE=ND4尸，可用ASA证明AABE畛ZXAD凡故不符合题意；

C、添加AE=AD,不能证明AABE丝ZXAQF,故符合题意；

D、添加乙4EB=/AF。，可用AAS证明AABE丝Z∖ADF,故不符合题意；

故选：C.

5.（2021•福建）如图，在BC中，。是边BC上的点，DELAC,DFLAB,垂足分别为

E,F,且DE=D尸，CE=BF.求证：ZB=ZC.

【答案】略

【解答】证明：'：DELAC,DFLAB,

：.NBFD=NCED=90°,

在aBC尸和△CQE中，

DF=DE

-ZBFD=ZCED-

BF=CE

：.ABD心∕∖CDE(SAS),

.'.ZB=ZC.

6.（2021•杭州）在①AO=4E,@ZABE^ZACD,③FB=Fe这三个条件中选择其中一个，

补充在下面的问题中，并完成问题的解答.

问题：如图，在aABC中，ZABC=ZACB,点。在43边上（不与点A,点B重合）,

点E在AC边上（不与点A,点C重合），连接BE,CD,BE与CO相交于点尸.

若,求证：BE=CD.

DtE

BC

【答案】(I)AD=AE(②NA8E=N4C。或③F8=FC)

【解答】证明：选择条件①的证明为：

∙.∙NABC=NACB,

.∙.AB=AC,

在AABE和AACO中，

rAB=AC

<ZA=ZA-

AE=AD

Λ∆ABE^∆ACD(SAS),

：.BE=CD;

选择条件②的证明为：

"：ZABC^ZACB,

：.AB=AC,

在AABE和AACO中，

fZABE=ZACD

<AB=AC，

ZA=ZA

Λ∆ΛBE^∆ACD(ASA),

：.BE=CD；

选择条件③的证明为：

∙."ZABC^ZACB,

：.AB^AC,

'：FB=FC,

：.NFBC=NFCB,

，ZABC-AFBC=ZACB-NFCB,

即乙42E=ZACD,

i⅞∆ABE和AACD中，

,zABE=ZACD

■AB=AC，

ZA=ZA

Λ∆ABE^∆ACD(ASA),

：.BE=CD.

故答案为①AQ=AE((2)ZABE=ZACD或③FB=FC

7.(2021•永嘉县校级模拟)如图，在四边形ABCO中，AB=AO,AC是NBA。的角平分线.

(1)求证：BCgZXADC;

(2)若NBCD=60°,AC=BC,求NAO8的度数.

【答案】(1)略(2)略

【解答】证明：(1)AC是/84。的角平分线,

ZDAC=ZBAC,

在AABC和△AOC中，

,AB=AD

-NDAC=NBAC,

AC=AC

Λ∆ABC^∆ADC(SAS).

(2)VΔABC^ΔADC,ZBCD=60°,

.∙.NOC4=∕BC4=30°,

'：AC=BC,

：.NCAC=NeW=I8°°-30°二付,

22

V½∆AD0⅛Δ>4B0中

,AD=AB

-ZDAC=ZBAC-

AO=AO

.,.∆ADO^∆AβO(SAS),

NAO。=/Ao8=90",

ΛZADfi=90o-75o=15o.

8.(2021•南京)如图，AC与BO交于点O,OA=OD,NAB0=NDC0,E为BC延长线

上一点，过点E作所〃8,交8。的延长线于点F.

(1)求证AAOB丝Z∖OOC;

(2)若A8=2,BC=3,CE=L求EF的长.

【答案】（1）略（2）略

【解答】（1）证明：在AAOB和4小。C中,

'NABO=NDCO

<ZAOB=ZDOC.

OA=OD

△AOBg△DOC（AAS）；

（2）解：由（I）得：ΛAOB^∆DOC,

AAB=DC=2,

'：BC=3,CE=I,

.∖BE=BC+CE=4,

∖"EF∕∕CD,

：.ABCDsABEF,

•DC=BC,

"EFBE"

即2=旦，

EF4

解得：EF=I.

3

类型三旋转型

考向1共顶点旋转

9.（2021•齐齐哈尔）如图，AC=AD,Nl=N2,要使4A8CZaAEO,应添加的条件

.（只需写出一个条件即可）

【答案】N3=∕E或/C=/。或AB=AE

【解答】解：∙∙∙∕∣=N2,

.,.Z1+ZBAD=Z2+ZBAD,

即N∕MC=NEW,

"：AC=AD,

.∙.当添加∕B=∕E时，可根据“AAS”判断AABC也Z∖4EO;

当添加/C=N。时，可根据“ASA”判断aABC丝ZXAEQ;

当添力口48=AE时，可根据“SAS”^∣JI⅛frΔABC^ΔAED.

故答案为NB=NE或NC=ND或AB=AE.

10.（2021•铜仁市）如图，AB交C。于点O,在AAOC与ABOD中，有下列三个条件：①

OC=OD,②AC=8。，③NA=N艮请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能

作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）.

（1）你选的条件为一、—，结论为—;

（2）证明你的结论.

【答案】①，③，②

【解答】（1）解：由AΛS,选的条件是：①，③，结论是②,

故答案为：①，③，②（答案不唯一）;

（2）证明：在AAOC和ABOO中，

'NA=NB

<ZAOC=ZBOD-

OC=OD

Λ∆AOC^ΔBOD(AAS),

.∙.AC=BO.

11.(2021•宜宾)如图，已知OA=OC,OB=OD,NAoC=NBOD.

求证：∕∖AOB^∕∖COD.

【答案】略

【解答】证明：VZAOC=ZBOD,

：.ZAOC-ZAOD=ZBOD-ZAOD,

即NCOO=NAO8,

在AAOB和ACOO中，

,OA=OC

<ZAOB=ZCOD,

OB=OD

Λ∆AOB^ΔCOD(SAS).

12.(2020•徐州)如图，ACLBC,DC±EC,AC=BC,DC=EC,AE与8。交于点F.

(1)求证：AE=BD-,

(2)求NAFz)的度数.

【解答】解：(1)ACLBC,DCLEC,

,NACB=NOCE=90°,

ZACB+ZBCE^NDCE+NBCE,

：.ZACE=ZBCD,

在AACE和aBCD中,

"AC=BC

<ZACE=ZBCD-

CE=CD

Λ∆ACE^ΔBCD（SAS）,

."E=80；

（2）设8C与AE交于点N,

VZACB=90o,

ΛZA+ZΛ∕VC=90o,

∙.,∆ACE^∆BCD,

ΛZA=ZB,

∙/NANC=NBNF,

：.ZB+ZBNF=NA+NANC=90°,

：.NAFD=NB+NBNF=90°.

13.(2021•黄石)如图，。是aABC的边AB上一点，CF//AB,DF交AC于E点,DE=

EF.

(1)求证：ZXAOE丝Z∖CFE;

(2)若4B=5,CF=4,求8。的长.

【答案】（1）略（2）BD=I

【解答】（1）证明：；C尸〃A8,

；.NADF=/F,NA=NECF.

在AADE和4CFE中，

,ZA=ZECF

<ZADE=ZF-

DE=FE

.,.∕∖ADE^ΔCFE(AAS).

(2)V∕∖ADE^∆CFE,

.∖AD=CF=4.

J.BD=AB-AD=5-4=].

考向2不共顶点旋转

14.(2021•重庆)如图，点8,F,C,E共线，NB=NE,BF=EC,添加一个条件，不能

判断AABC丝Z∖OEF的是()

C.AC=DFD.AC//FD

【答案】C

【解答】解：'JBF=EC,

：.BF+FC=EC+FC,

：.BC=EF,

又•：NB=4E,

二当添加条件AB=QE时，A4BCgZ∖OEF(SAS),故选项A不符合题意；

当添加条件乙4=/。时，A45C∙ZWEF(AAS),故选项8不符合题意；

当添加条件AC=。F时，无法判断aABC丝Z∖OEF,故选项C符合题意；

当添加条件AC〃Fn时，则/ACB=NOFE,故aABC丝ZXDEF(ASA),故选项。不符

合题意；

故选：C.

15.(2021•永州)如图，已知点A,D,C,8在同一条直线上，AD=BC,AE=BF,AE//

BF.

(1)求证：∕∖AEC^∕∖BFD.

(2)判断四边形力Ee尸的形状，并证明.

B

【答案】（1）略（2）四边形OECF是平行四边形.

【解答】（I）证明：YAD=BC,

.'.AD+DC^BC+DC,

.∖AC=BD,

`:AE//BF,

：.NA=N8,

在aAEC和4B∕Z>中，

,AC=BD

<ZA=ZB'

AE=BF

Λ∆ΛEC⅛∆BFD（SAS）.

（2）四边形。ECF是平行四边形，

证明：V∆ΛEC^∆BFD,

ΛZACE=ZBDF,CE=DF,

.∖CE∕∕DF,

：.四边形DECF是平行四边形.

类型四三垂直型

16.（2021•南充）如图，NBAC=90°,AO是NBAC内部一条射线，若AB=AC,BElAD

于点ECFL4。于点F.求证：AF=BE.

【答案】略

【解答】证明：∙.∙∕BAC=90°,

ΛZBAE+ZMC=90o,

'：BElAD,CFYAD,

NBEA=/AfC=90°,

ZBA£+Z£BA=90°,

ΛZEBA=ZMC,

在aAb和48AE中，

rZAFC=ZBEA

,ZFAC=ZEBA，

AC=BA

∆ACF^ABAE(AAS),

.,.AF=BE.

其他类型

17.(2021•陕西)如图，BD//AC,BD=BC,点E在BC上,JiBE=AC.求证：ZD=Z

ABC.

【解答】证明：∙.∙BD"AC,

NACB=NEBD,

在4ABC和aEZ)8中，

,CB=BD

<ZACB=ZEBD-

AC=EB

：.丛ABCq丛EDB(SA5'),

.,.ZABC=ZD.

18.(2020•温州)如图，在AABC和△£>(7£■中，AC=DE,NB=NDCE=90°,点A,C,

。依次在同一直线上，且AB〃£>E.

(1)求证：AABCgADCE.

(2)连接AE,当BC=5,AC=12时，求AE的长.

【答案】（1）略（2）13

【解答】证明：(1)`:AB//DE,

.".ZBAC=ZD,

又丁/8=NQCE=90°,AC=DE,

.∖∕∖ABC^∆DCE(AAS)；

(2)YXABgXDCE,

J.CE=BC=5,

VZACf=90o,

.'.AE-JAC2.后2=[25+144=13・

命题点2全等三角形的实际应用

19∙（2021∙盐城）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图，在N

AOB的两边OA、OB上分别截取。C=OO,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点

C、。重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是/AOB的平分线.这里构造全等三角形

的依据是（）

C.AASD.SSS

【答案】D

【解答】解：在ACOM和ADOM中

,OC=OD

<OM=OM'

MC=MD

所以aCOM名ZkOOM（SSS）,

所以/COM=/OOM,

即OM是NAO8的平分线，

故选：D.

20.（2020•毕节市）如图，在一个宽度为AB长的小巷内，一个梯子的长为α,梯子的底端

位于AB上的点P,将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点C到AB的距离BC

为b,梯子的倾斜角NBPC为45。；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点。处，点。到

AB的距离A。为c,且此时梯子的倾斜角/APD为75°,则AB的长等于（）

A.aB.bC.