河北省张家口市2023届高三三模数学试题（含答案）

河北省张家口市2023届高三三模数学试题

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.已知R为实数集,全集U=R,集合A={x||x_l∣<2},B={x∣x≥l},则电（AB）=（）

A.{x∣-l≤x<2}B.{x∖x≤l∏K%>3}

C.{x∣l≤x<3}D.{Hx<l∏gx>3}

已知i为虚数单位，若（3+ι）S+2ι）为实数,则实数。=（）

2.

1+i

A.-2B.4C.2D.

3.函数/（x）=xe'-2e'+x+e在（Ij（I））处的切线方程为（）

A.y=χB.y=2x-↑

C.y=ex-e+lD.γ=-ex÷e+l

B⅛0<^<Λ<2π,sinΛ=SinxU.则CoS(Xi)=()

4.2l2

_V7

bD.

ʌ-?∙4CY3

5.风筝又称为“纸莺”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相

传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年上

级学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF,D为AB的中点，四边形EFDC为矩形,

且。尸，A8,AC=8C=2,∕AC8=120,当ΛE,BE时，多面体ABCEF的体积为（）

L•----D.y∕β

3

6.已知尸为抛物线Uy2=3X的焦点，过尸的直线/交地物线C于AB两点，若

∖AF∖=λ∖BF∖=λ9贝Iu=（）

A.1B.-C.3D.4

2

7.已知“43C是边长为2的等边三角形，M,N是_45C边上的两个动点，若线段MN将

45C分成面积相等的两部分，则线段MN长度的最小值为（）

A.√3B.—C.√2D.1

2

8.已知函数〃X)=In(e2'+e2)-x,若α=/£,⅛=∕^,c=∕^1则()

A.a>b>cB.h>a>c

C.Oa>bD.c>h>a

二、多选题

9.一组互不相等的样本数据X，W，,乙，其平均数为M，方差为$2,极差为〃2,中位

数为〃，去掉其中的最小值和最大值后,余下数据的平均数为〉,方差为/2,极差为加,

中位数为〃'，则下列选项一定正确的有()

A.n=niB.J=P

C.s2>sf2D.in>m

10.已知S“是数列｛α,,｝的前〃项和，4=8,则下列递推关系中能使5“存在最大值的有

()

A.an+i=-2anB.an+l=an-2

1

C-an↑=a,,~nD.a∖=~

+n+1-凡

关于函数〃X)=卜间+舄寸

11.下列选项正确的有()

A.f(x)为偶函数

B.f(x)在区间e，兀J上单调递增

C.f(x)的最小值为2

D.f(x)在区间(-兀,4π)上有两个零点

22

12.已知尸(玉,乂),。(£,%)是圆V+y2=i上不同的两点，椭圆cS+2=i(">"i)

ab

的右顶点和上顶点分别为A8,直线AP,BQ分别是圆X2+√=1的两条切线，e为椭圆C

的离心率.下列选项正确的有()

A.直线与+*=1与椭圆C相交

CTb~

B.直线侬+与T与圆V+丁=1相交

试卷第2页，共4页

C.若椭圆C的焦距为2,AP,8Q两直线的斜率之积为一也，则e=立

23

D.若”,8。两直线的斜率之积为则ee0,

三、填空题

13.已知向量”,b均为单位向量，alb，向量α+2b与向量20+3的夹角为，，则

COSθ=.

14.(X+∣)(l+2x)5展开式中/的系数是.

四、双空题

15.已知四棱锥P-ABeD的底面A88是边长为2的正方形，PA_L底面A8C。，

PA=4√2,则四棱锥P-ABC。外接球表面积为;若点。是线段AC上的动点,

则∣P0+∣QB∣的最小值为.

五、填空题

16.己知—L=∙⅛t1l,若关于X的方程l+x=4y(α≠0)无解，则实数。的取值范围

e-1X

是•

六、解答题

17.已知数列满足3+卜生+$++$=竽.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵记数列」一I的前〃项和为S,,证明：s,,<l

1¾∙¾÷∣J2

18.在ΛBC中，内角A,8,C的对边分别为a,。,C万+¢2=3ACOSA.

(1)若8=C,α=2,求ΛfiC的面积；

小、生tanAtanA,,..

⑵求--+—的值.

tanBtanC

19.如图，在三棱柱ABe-AgG中，侧面BBGC为菱形,

NCBB∖=60,AB=BC=2,AC=ABl=√2.

(2)求二面角A-AG-Bl的余弦值.

20.甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚

筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.

由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为02

(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为X,求X的分布列和期望；

(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；

(3)若4(i=0,l,,6)表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则4=0,兄=1.

证明：｛%-用(i=0,1,2,•,5)为等比数列.

22

21.已知点P(4,3)为双曲线E：=-与=l(α>0,b>0)上一点，E的左焦点Fi到一条渐

aIr

近线的距离为6.

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)不过点P的直线V=履+，与双曲线E交于A8两点，若直线",PB的斜率和为1,

证明：直线y=丘+，过定点，并求该定点的坐标.

22.已知函数/(x)=/+2CoSX,f'(x)为函数f(x)的导函数.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)已知函数g(x)=∕'(x)-5x+54lnx,存在g(x∣)=g(x2)(x∣≠匕)，证明：ʃi+x2>^.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】根据交集和补集的定义运算可得结果.

【详解】A={x∖-l<x<3}fAr›B={x∖l≤x<3],

Qz(A∣3)={x∣x<l或x≥3}.

故选：D

2.B

【分析】根据复数的除法运算化简复数z,再根据复数的概念可得答案.

【详解】(3+i)S+2i)=3α-2+(6+4)i=[3α-2+(6+α)i](l-i)

1+i1+i(l+i)(l-i)

=34+尸i=2"2+(4∕i.

依题意得4-。=0,得α=4.

故选：B

3.A

【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再根据点斜式可得结果.

【详解】f,M=ev÷xet-2ev+1=(x-l)ev+1,∕r(l)=l,/(D=1,

所以所求切线方程为：y-i=x-1,即y=匕

故选：A

4.B

【分析】利用正弦函数图象的对称性得当X=I，再根据诱导公式和二倍角的余弦公式可

求出结果.

【详解】因为0<玉<x2<2π,sin%]=sinx2=；>0,

所以三；刍=],即±+±=兀，X2=Tt-Xl,

ɪ7

--2

所以cos(x1-¾)=cos(2x1-π)=-cos2x1=(l2sinx1j=-(l-2×-)=——.

故选：B

5.B

【分析】根据题意，先证得ABl平面CD正，在中，利用余弦定理求得A8=2百，

再结合线面垂直判定定理证得CEL平面ABC,得到AeCEj_8C,设CE=m,利用

答案第1页，共18页

AB2=AE2+BE2，求得m=∙J2，结合V=^A-CDfE+VB-CDFE=^A-CDfE>即可求解.

【详解】在ΛBC中，因为AC=BC且Z)为A8的中点，所以Cf)J_A8,

又因为DZ7LAB,且OFlCD=D,。尸,8U平面CDEɛ,所以AB工平面。3尸£,

在，ABC中，因为AC=BC=2且NACB=I20,

所以A)=AC2+BC2-2AC.BCCOSNACB=4+4-2X2X2X(-；)=12,

所以AB=26，且C£)=1,

因为四边形CDFE为矩形，可得DFLCD,

又因为O∕71,A8,AB`8=。且AB,COu平面ABC,所以£>尸平面ABC,

因为CE〃DF,所以CE_L平面ABC,

又因为AC,8Cu平面ABC,所以CE,AC,CELBC,

设CE="，在直角A4CE中，可得AE?=AC?+>=4+1,

在直角BCE中，可得8E2=5C2+M=4+∕√,

因为A£_LBE,所以AB?=4炉+8炉，即12=4+病+=4+加，解得ZH=也，

所以多面体ABCE尸的体积为：

Vv+v2

=A-CDFEB-CDFE-Kl-CDFf=2XgScBFE∙AD=2XgXlXlX0X6=半.

故选：B.

6.C

【分析】由抛物线的定义求得5点的横坐标，代入抛物线得B点坐标，从而求得直线AB的

方程，联立抛物线与直线即可得A点的横坐标，求得IAFI,从而可得2的值.

【详解】如图，过A作AA准线于％,过8作BBl准线于公，

答案第2页，共18页

3

准线方程为X=-W

由抛物线的定义可得忸H=IB团=4+5=1,所以4=；代入抛物线方程得力=±且

B-O

若B,直线AB的斜率为L=fɪ=-石,则直线AB方程为y=

4~4

即y=-Gr+

4

3出

y=-y∕3xH-------/口2rll∣9rrr.9

联立4得16f—40x+9=O,则XA∙⅞=7^∑,所以XA=:,

"3X164

≡l^l=^÷-=-÷-=3→;

一3_0

若8,直线AB的斜率为心0=一占一=6,则直线AB方程为＞=

4"^4

即y=ʌ/ɜʃ-^ɪ

4

y二也X3699

联立■…4W16x2-40x+9=0,贝IJXA∙⅞=T∑,所以XA=:，

2ɔ164

Iy=3χ

则IAFl=XA+[=^+[=3=2；

综上，2=3.

故选：C.

7.C

【分析】不妨假设M在边AB上，N在边AC上，根据面积公式得IAMII4VI=2,再根据

余弦定理和基本不等式可求出结果.

答案第3页，共18页

【详解】不妨假设M在边AB上，N在边AC上，

依题意得LlAMllANlSinA=LLlA3||AClSinA,得IAMllANI=LX2x2=2,

2222

所以IMNF=IÆWI2+∣ANI2-2∖AMIlANIcos=IAM『+∣4NF-I4M∖∖AN∖

≥2∖AM∖∖AN∖-∖AM∖∖AN∖=]AM∖∖AN∖=2,

当且仅当IAMl=IANI=√Σ时，等号成立，

故IMNI≥√Σ,即线段MN长度的最小值为√L

14

【分析】利用导数得/(X)在(-8,1)上为减函数,在(l,yo)上为增函数，由e3>M>1可得α>C,

3

利用/(2-X)-/(x)=0恒成立，得∕g)=∕g),再根据g>l>l可得

1ɔ已2"一巳2

【详解】/(X)的定义域为R,Γ(X)=∙2e2∙'-1=VΛ-

e+e*e2+e^

令广(x)<0,得χ<l,令尸(x)>0,得χ>l,

所以/(x)在(-∞,1)上为减函数，在(l,+∞)上为增函数，

因为1<(g)=挤<BVe,所以e*>g>l,所以/(e')>/(g),即a>c.

因为/(2-x)-/(x)=In[e2(2-x)+e2]-(2-x)-ln(e2v+e2)÷Λ:

4-2x.22-2x/2x.2\

=In^~⅛-+2%-2=ln--,ɔj+2x-2=lne2^2x+2x-2=2-2x+2x-2=0,

e^x+e^e^x+e^

所以/(2-x)=∕(x),

所以f(g)=∕(2-g)=∕(∣),

5195S1

因为(P=S>e,所以三>/>1,

3273

答案第4页，共18页

又因为的在心)上为增函数,所以吟>而),BP∕(1)=∕(∣)>∕(3),

所以。>。，

综上所述：b>a>c.

故选：B

【点睛】关键点点睛：推出/(27)=/(X)恒成立，得错)=心是解题关键.

9.ACD

【分析】根据中位数、平均数、方差、极差的定义逐项分析判断可得答案.

【详解】对于A,中位数是把数据从小到大依次排列后，排在中间位置的数或中间位置的两

个数的平均数，因为是对称的同时去掉最小值和最大值,故中间位置的数相对位置保持不变,

故新数据的中位数保持不变，故A正确；

对于B,平均数受样本中每个数据的影响，故去掉最小值和最大值后，余下数据的平均数可

能会改变，故B不一定正确；

对于C,方差反映数据的离散程度，当去掉数据中的最小值和最大值后，数据的离散程度减

小，故方差减小，故C正确；

对于D,极差为最大值与最小值之差，是原来数据里面任意两个数据差值的最大值，，故去

掉最小值和最大值后，新数据的极差必然小于原数据的极差，故D正确.

故选：ACD

10.BC

【分析】对于A,根据等比数列求和公式求出S1,,可得A不正确；对于B,根据等差数列

的通项公式可得B正确；对于C,计算出数列的前四项，结合单调性可得C正确：对于D,

推出数列为周期函数，可得D不正确.

【详解】对于A,由*=-2%，q=8,可得α,,=8χ(-2)"τ,s=8[1--2)]=§

"1+23LJ

当"为正奇数且趋近于无穷大时，5”也趋近于正无穷大，故S,不存在最大值，故A不正确；

对于B,由α,,+ι=α,,-2,得%-αj,=-2,又0l=8,所以=8-2(〃-1)=-2〃+10,

当1<"≤4时，«„>0,当〃=5时，«„=0,当〃>5时，«„<0,

所以当"=4或〃=5时，S,,取得最大值，故B正确；

答案第5页，共18页

对于C,由%+1=。〃一"，«1=8,得生=。1-1=7,¾=a2-2=5,¾=α3-3=2,

α5=04-4=-2,又J-<0,他〃｝递减，所以当〃=4时，S〃取最大值，故C正确；

117

对于D,由----,%=8,得生=-=，a=-,%=8,L,

［-an738

所以数列｛6｝的周期为3,故S〃不存在最大值，故D不正确.

故选：BC

11.ABD

【分析】根据偶函数的定义判断可得A正确；利用导数判断可得B正确；根据/(m)=。可

得C不正确；分段解方程/0)=0可得D正确.

【详解】由SinlXl≠0,得IXIWE,ZeZ,得x≠±Aπ,ΛeZ,

所以/(x)的定义域为｛x∣xw±EMwZ｝,关于原点对称，

因为/(-ɪ)=ISin(-x)I~~-=I-SinX∣+=f(x),

sinI-XIsinIXI

所以/(x)为偶函数，故A正确；

当X∈(∙^∙,7r］时，f(%)=sinXH-------，/'(X)=COSXH;一2=CoSXA1;一一|，

)SinXsinx<sinx)

因为工/：,兀］,所以COSX<0,O<sinx<l,1--ʌ-<0,所以f'(x)>O,

(2)sιn^X

所以/(X)在区间(右0上单调递增，故B正确；

3TT3π1

)=∣sin-1+-—=1-1=0MCTT为

因为八22∙3π,故C不正确；

sin—

2

当x∈(-π,0)时，sinx<O,/(工)=忖同+S二国ɪ-sinɪ--ɪ-,

令f(幻=0,得sir?x=-l,无解；

当x=0时，函数八©无意义,

当x∈(0㈤时，sinx>O,/(x)=∣sinx∣+-τ-^-∣=sjnx+-l-,

令f(x)=O,得SinX+」一=0,得si∏2χ=T,无解,

Sinx

当x=π时，函数/3)无意义，

当x∈(7Γ,2τc)时，sinx<O,/(x)=∣sinx∣+.ɪ=-sinx+-,

sιn∣-x∣sɪnɪ

答案第6页，共18页

3Jr

令/(X)=O,得SinO=I,得SinX=-1,得X=三

当x=2π时,函数/（χ）无意义,

当xe(2兀,3π),sinx>O,/(Λ)=∣sinx∣+-^r∣=sinx+-L^t

sιn∣x∣sinx

令f(x)=O,得得si∏2χ=T,无解,

当χ=3π时，函数Fa）无意义,

当xw(3π,4π)时，sinx<O,/(ɪ)=∣si0r∣+-^-η1

=-sιnx+———,

sinx

7Jr

令/（X）=。，得SinA=I,得SinX=-1,得X=万•，

综上所述：“X）在区间（-π,4兀）上有两个零点X吟和X=M故D正确.

故选：ABD

12.BCD

【分析】由α=21=0时，点吗,亭时,得到直线方程x+2Gy=8,联立方程组,结合△<O,

可判定A错误；由原点到直线"+am的距离为"=号岸<1,可判定B正确；设kAP<0Λfle>0,

根据题意求得-^^=-乎，进而得到/=3,结合离心率的定义，可判定C正确；不妨

设L>0,L>0,根据得到义==L求得/=让_3,结合离心率的定义，求得

3

。<人“可判定D正确.

【详解】对于A中，当α=2,b=√∑时，点尸的坐标可以为（；,等）

1√3

可得直线与+当=1为2"2，「即x+20)，=8,

a~b~----F———=1

42

x+2Gy=8

⅛≡W∣∕-8√3γ+15=0,jltH'J-Δ=(8√3)2-4×∣×15=-18<0,

⅛√

-+2i=1

42

所以直线x+2√5y=8与椭圆C无交点，所以A错误；

对于B中，因为α>b>l,所以/+尸>1,设原点到直线g力一的距离为",

由点到直线的距离公式，可得”=—浮<1，

答案第7页，共18页

所以直线=|与圆/+y2=l相交，所以B正确；

对于C中，椭圆C的焦距为2,可得2c=2,即c=l,

A

不妨设占==⅛,则直线AP：y="x-〃），BQ-.y=k2x+b

由原点到直线4P的距离等于1,可得

同理可得Z=JA2-1,因为k”∙％8°=-YZ,即—二=—W

2√02-12

解得〃=力_1,又由6=c2=ι,解得/=3,

所以离心率e=£=J==正，所以C正确;

a超3

12

对于D中,不妨设BP>。，怎0>0,则L=有二V%=∖∣b—I，

所以AAPjBo解得/=46一3,

2c2fe2h21

所以,=7=1-/=1-许=1I-广，

4^F

因为b>l,可得0<∕<3,所以0<e<且，所以D正确.

42

故选：BCD.

【点睛】解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：

（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥

曲线的定义、图形、几何性质来解决；

（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这

个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）

三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.

答案第8页，共18页

4

13.-/0.8

5

【分析】根据题意，分别求得卜+2耳=«,悭++石，且(o+2b)∙(2a+%)=4,结合向

量的夹角公式，即可求解.

【详解】由向量”,b均为单位向量且Sb,可得W=W=I且α∙6=0,

则k+24=λ∕J+4⅛2+4”/=6∣2a+⅛∣=√4o2+⅛2+4Ο∙⅛=√5.

fi(tz+2⅛)∙(2fl+⅛)=202+5α∙fo+2⅛2=2+0+2=4,

(a÷2⅛)∙(2d+Z?)44

又由向量〃+2。与向量2〃+》的夹角为凡则COSe=T------5?-------Γ=-^-7T=τ∙

卜+2%2α+.√5×√55

4

故答案为：

14.104

【分析】根据通项公式可求出结果.

【详解】卜+H+2x)5=x(l+2x)5+ɪ(l+2x)5,

(l+2x)S的通项公式为小=C*(2x∕=2*C>∖々=0,1,2,3,4,5,

所以卜+蛾｝1+2X)5展开式中/的系数是22∙C+2"∙C=104.

故答案为：104.

15.40π2√13

【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质确定球心，即可计算半径及表面积,利用翻折后,

由平面上两点之间距离最短确定Q位置，再由余弦定理求解最小值.

【详解】如图，

设PC中点为O,

答案第9页，共18页

由ftʌ，底面ABC£),4(7,3(7,。匚底面488,所以「4LAC,PA_L8C,PALCD,

又BeLAB,ABPA=A,AB,PAu平面∕¾β,所以BC上平面∕¾β,

又PBu平面以8,所以BCj.PB,同理可得COLPD,

因为P4=4√∑,AC=2血，所以尸C=JAC2+*=J32+8=2而，

所以在Rt∆PAC,Rt∆PBC,Rt∆PCD中,

OP=OC=OD=OB=OA=M,

所以。为四棱锥P-ABC。外接球的球心，J而为该球半径,

所以其表面积为4π(J记)=40π;

将aPAC绕AC翻折到与ADAC所在面重合,此时P运动到P'处,连接P'B,交AC于点Q,

此时∣PQ∣+∣Q8RPQ+∣QM最小，因为NPAC=90。，ZfiAC=45°,

所以N8AP'=135°,又AB=2,AP'=AP=4√2.

所以8户=JMBF+∣4PT-2|ABHAPlCoSI35°=J4+32-2×2×4√2×=2√I3.

所以∣P0+∣QB∣的最小值为2g.

故答案为：40π;2√B

16.(0,e)

,八W.JyI∏(x+1),,∣ne,In(X+1)ʌ„、Inx.,、口.、

【分析】由==^可变形为~-=-——,令/(zX)=--(x>0,且x≠l),

e`-IXe'-1(x+l)-lX-I

通过二次求导判断了(x)在(0,1),(1,+8)上是单调递减函数，从而有e>'=x+l,即y=ln(x+D,

从而可得”=言~无解，令MX)=4(x>0,且XH1),求导判断单调性，结合图象即

In(X+1)Inx

答案第10页，共18页

可求解∙

r*⅛Λ>ιylneIn(X+1)In(X+1)人〃`Inx.C口》、

【详解】-^-7=^—T=---------=；~>令f(x)=―;(x>0,且XH1),

e-1e-1X(x+l)-lX-I

.∙.∕(ev)=∕(x+l),

-J-------InX1------Inx

又/(x)=dA=7%、2-'

(ɪ-l)(χ-D^

令g(x)=I-L-Inx(x>0),则/(X)=Jr-L=,

XXXX

当O<x<l时,g'(x)>O,g(x)单调递增，当三>1时,g'(x)<O,g(x)单调递减,

.∙∙g(x)≤g6=O,即尸(X)<0.

.∙∙/(x)在(0,1),(1,+8)上是单调递减函数.

Λev=x+l,.∙.y=ln(x+l)(x>-l,且XHe)),

1÷X

∖+x=ay,.∖a=-~~~-(>-l,且XW0),

In(X+1)x

Y]nX—1

令A(x)=----(X>0,且XW1),则〃(X)=~^τ>

Inx(InX)Z

当OVXVI或l<x<e时,〃(X)<O,∕ι(x)单调递减,

当x>e时，∕f(x)>0,〃(x)单调递增，

又因为当OCXeI时，lnx<0,则∕z(x)<O,当x>l时，lnx>0,则MX)>0,

画出/?(X)=T匚的图象，如图所示：

Inx

由图可知，当0<α<e时，关于X的方程l+x=αy（α≠0）无解.

所以实数。的取值范围是（0,e）.

故答案为：（0,e）

【点睛】方法点睛：

已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法:

答案第Il页，共18页

(1)直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出

函数的图象，利用数形结合的方法求解.

17.(l)απ=-2«+1

(2)证明见解析

【分析】⑴根据题意，求得4=7;当〃≥2时，可得3+母+爱++翳=罗，两式

相减得，得到%=-2〃+1,进而求得数列｛α,J的通项公式；

(2)令仇=」一，得到"=—ɪ-=-占)，结合裂项法求和，求得

s"=⅛'即可得证.

【详解】⑴解：由题意,数列｛%｝满足3+1+∙∣→[++?=专3，

当〃=1时，可得3+?=尊0=|,解得4=7；

当“≥2时，可得3+甘+声+才++/=F

H3」口、-÷4B2〃+32/z÷12n÷3—47?—2—2n÷1UUrrG.

两式相减得才=下——而-=——-——=〒-，所以为=-2"+1ι,

当九=1时∙，q=T,适合上式，

所以数列｛%｝的通项公式为4=~2n+∖.

(2)解：令〃=—'—,由4z,=-2α+l,

a∏∙4+ι

,111111

∙∏r>s/7=---------=-----------------------=-------------------=—(------------------)

,

¾∙¾+ι(-2〃+1)(-2〃-1)(2H-1)(2H÷1)22n-l2n÷l

UU1“Illll11、1八1x11

“2335572n-∖2π+l22n+l24〃+2

因为〃eN”,可得-->0,所以5,〈<.

4«+22

18.⑴石

(2)1

答案第12页，共18页

2

【分析】（1）由B=C得方=c,代入从+/=3ACCOSA，得COSA=再根据余弦定理求出

/,=c=",再根据三角形面积公式可得结果.

2

（2）根据余弦定理得COSA=工，再切化弦，利用两角和的正弦公式、正弦定理变形可得

DC

结果.

2

【详解】（1）因为B=C,所以〃=c,所以2加=3从cosA,BPCOSA=-,

2

又a2=b2+c2-2bccosA,所以4=2b2-2b1×-,所以b=e=",

所以S"5c=(bcsinA=jx6x^Γ^=«.

(2)⅛⅛2+c2=3。CCoSA,得从+c2=3bc∙"十。——,得A?+/=3a2,

Ibc

2

所以3/=3⅛ccos4,所以cosA=—,

be

LLljanAtanAsinA(cosBCOSCsinAsinCcosB+cosCsinB

所以----+----=------—+=一=--------------------------

tanBtanCCOSAlSInBsinCJcosΛsinBsinC

2

sinAsin(B÷C)sin2A=T-=1

---------------------------------------------a

cosAsinBsinCCosAsinBsinC——be

be

19.（1）证明见解析

【分析】（1）先证明AD_L平面BBCC，再根据面面垂直的判定可得平面AC用，平面BBCC；

（2）取AG的中点E,连AC∣,AE,BxE,可证NAEBl为二面角A-AC「用的平面角，

计算可得结果.

【详解】（1）连8&、BC交于D,则。为8G、BC的中点，连A。，

因为AC=A8∣,所以AQ_LgC,

因为侧面BBgC为菱形，∕CBB∣=60,AB=BC=2,ΛC=AB1=√2,

所以BO=G,AD=I,所以=5Z）2+HO2,即仞工如，

因为用。BD=B,B∣C,BDu平面BBlC0,

所以45J_平面BMGC,因为4）U平面AC4，

答案第13页，共18页

所以平面4CB|_L平面84GC.

(2)取AG的中点E,连AG，AE,B1E,

由(1)知，ADlBD,又BD=De所以Ael=A8=2,

又AAI=CG=2,所以AELAG，同理得4E∙LAC,

所以NAEB、为二面角A-AC1-B1的平面角,

在，A印中，AE=_aE?=14.(争=半，

耳E=JA耳一AE?=J"g)2=呼,AB、=①,

77c

4炉+与E2_做2-+--2

二225

所以CoSDAEg=-

2AE∙B∖E7

2

所以二面角A-ACL4的余弦值为5.

20.⑴分布列见解析，E(X)=3.1.

(2)0.0525

(3)证明见解析

【分析】(1)求出X的所有可能取值以及取值的概率，可得分布列，由期望公式可求出期

望；

(2)根据互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式可得结果；

(3)根据全概率公式和等比数列的定义可证.

【详解】(1)X的所有可能取值为2,3,4,

P(X=2)=0.2,P(X=3)=0.5,P(X=4)=0.3,

答案第14页，共18页

则X的分布列为:

X234

P0.20.50.3

E(X)=2χO.2+3xO.5+4xO.3=3.1.

(2)当四局比赛后，比赛结束且甲胜时，第四局比赛甲胜，前三局比赛甲2胜1和，

其概率为：C<0.32∙0.50.3=0.0405.

当四局比赛后，比赛结束且乙胜时，第四局比赛乙胜，前三局比赛乙2胜1和，

其概率为：C；-0.22.0.5.0.2=0.012,

所以四局比赛后，比赛结束的概率为0.0405+0.012=0.0525.

(3)因为C(i=0,1,2,3,4,5,6)表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，4=0,

在甲所得筹码为1枚时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为0.3£,

在甲所得筹码为1枚时，下局平局且最终甲获胜的概率为0∙5[,

在甲所得筹码为1枚时，下局乙胜且最终甲获胜的概率为。2兄，

根据全概率公式得f↑=0∙3鸟+0.5Z>+0.2∕>1,

所以K=O.3吕+0.56+0.24,变形得0.3(5-6)=0.2(6-4)，因为［-6>0,

P-P2P,-PP-PP-PP-P2

所以21=同理可得2A354b5

PTPiPrPs-B3

所以依「外U=0,1,2,,5)为等比数列.

【点睛】关键点点睛：第(3)问中，正确理解题意，利用全概率公式得到数列｛单中相邻

三项之间的关系是解题关键.

21.(1)—-∙^-=l

43

(2)证明见解析，定点为(-2,3).

【分析】(1)由点到直线的距离公式求出⅛=√3,再将点P(4,3)代入双曲线方程求出/=4,

可得双曲线E的标准方程；

(2)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得士+々、占々，再根据斜率和为1列式，推出

答案第15页，共18页

r=2⅛+3,从而可得直线y=丘+f过定点(-2,3).

b

【详解】(1)设平-c,O)(c∙>O)到渐近线y=—x,即版-冲=0的距离为G，

a

则后=4≠⅛,结合/+Z^=c2得6=6，

7b+a

γ2”2169

又P(4,3)在双曲线A一匕=1上，所以与一《=1,得/=4，

a23a'3

所以双曲线E的标准方程为鸟-4=1.

43

y=kx+t

X2V2,消去y并整理得(3-4公)/一8m-4/72=0,

7-T=1

则3-4%2*IO,Δ=64⅛2r2+4(3-4⅛2)(4r+12)>0,^2+3>4k2,

t

设A(M,y∣),B(x2,y2),

,Skt4r2+12

贝mUl%+X,=~~~-T，XX=----------T，

-3-4k2,i23-Ak2

j.y.-3M—3kx,+f—3kx,+f—3

则kPA+kPB=--+——=-...........+----------

人JMPB芭_4