2023年中考数学练习-二次函数与最值

2023年中考数学高频考点突破一二次函数与最值

1.如图，抛物线y=∕-2χ-3与X轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线/与抛物

线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.

(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求三角形

ACE面积的最大值；

(3)点G是抛物线上的动点，在X轴上是否存在点凡使A、C、RG这样的四个点

为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在,

请说明理由.

2.如图，抛物线y=-x2+⅛r+c与X轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知点A坐标为

(-1,0),点C坐标为(0,3).

(1)求出从C的值，并写出此二次函数的解析式；

(2)当2WxW4,求)，的最大值；

(3)点。在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行

四边形，写出所有满足条件的点尸的坐标.

3.如图1,直线y=-χ+4与抛物线y=-2/+6x+c交于A、B两点，点A在)，轴上，点

2

B在X轴上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在X轴下方的抛物线上存在一点P,使得NABP=90°,求出点P的坐标；

(3)如图2,将直线AB沿y轴向下平移4个单位长度得到直线/,在抛物线的对称轴

上是否存在点M,在直线/上是否存在点N,使得AM+MN的值最小？若存在，求出其

最小值及点M,N的坐标；若不存在，请说明理由.

4.如图，直线y=x+2与抛物线y=7-2∕nx+"2+机交于4、B两点(A在B的左侧)，与y

轴交于点C,抛物线的顶点为。，抛物线的对称轴与直线AB交于点M.

(1)当四边形CoDM是菱形时，求点。的坐标；

(2)若点P为直线OO上一动点，求aAPB的面积；'

(3)作点8关于直线MO的对称点8,以点M为圆心，Mo为半径作。M,点。是

G)M上一动点，求QB4亚QB的最小值.

2

5.如图1,抛物线y=-Lχ2+fcv+c与X轴交于点A(4,0),与y轴交于点B(0,4),

2

在X轴上有一动点。(/n,0)(0<w<4),过点。作X轴的垂线交直线AB于点C,

交抛物线于点E,

(1)直接写出抛物线和直线AB的函数表达式.

(2)当点C是。E的中点时，求出机的值，并判定四边形OQEB的形状(不要求证

明).

(3)在(2)的条件下，将线段OO绕点。逆时针旋转得到0。'，旋转角为α(00<

a<90o),连接£>'A、D'B,求。'A+1D'8的最小值.

6.如图，直线y=χ-4与X轴，y轴交于点B,C,抛物线y=ar2+⅛r+c(a≠0)的对称轴

为直线X=1,抛物线经过B,C,与X轴交于另一点A.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E从4点出发，在线段AB上以每秒3个单位的速度向B点运动，同时点尸从

8点出发，在线段BC上以每秒1个单位的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时,

另一个点将停止运动.设AEBF的面积为S,点E运动的时间为L

①求S与，的函数关系式，并求出S有最大值时点尸的坐标；

②点E,尸在运动过程中，若aEB尸为直角三角形，求f的值.

备用图

7.如图，已知抛物线经过两点A(-3,O),B(0,3),且其对称轴为直线X=-1.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)直线X=,"(在A、B之间)交抛物线于M点，交直线AB于N,用,”表示线段

MN的长.

(3)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A,点8),求APAB的面

积的最大值，并求出此时点P的坐标.

8.已知抛物线y=0x2+fcc+c(a≠0)与X轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点B和点C

的坐标分别为(3,0)、(0,-3),抛物线的对称轴为x=l,。为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点E为线段BC上一动点，过点E作X轴的垂线，与抛物线交于点F,求四边形

ACFB面积的最大值，以及此时点E的坐标.

(3)抛物线的对称轴上是否存在一点H使APCO为等腰三角形？若存在，写出点P

点的坐标；若不存在，说明理由.

9.对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0,对于任意的函数值y,都满足-MWy

WM,则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边

界值.例如，右图中的函数是有界函数，其边界值是1.

(1)分别判断函数y=」(x>0)和y=x+2(-4≤x≤2)是不是有界函数？若是有界

X

函数，求其边界值；

(2)若函数y=-χ+2(aWxWb,b>a)的边界值是3,且这个函数的最大值也是3,

求6的取值范围；

(3)将函数y=/(-l≤x≤∕n,机》0)的图象向下平移机个单位，得到的函数的边界

值是r,

当“在什么范围时，满足3WfWl?

4

10.如图，已知抛物线与坐标轴交于A(-4,0)、B(2,0)、C(0,4),连接BC,

AC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点E是抛物线在第二象限上的一点，过点E作OELAC于点。，求QE的最大

值.

(3)若点E是抛物线上第二象限上的一动点，过点E作。ELAC于点。，连接CE,若

△CDE与ACOB相似，直接写出点E的坐标.

11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=0r2+⅛r+c交X轴于点A、B,交)，轴于点C,

A、3两点横坐标为-1和3,C点纵坐标为-4.

(1)求抛物线的解析式;

(2)动点Z)在第四象限且在抛物线上，当ABCO面积最大时，求。点坐标，并求△

BC。面积的最大值；

(3)抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得NQ8C=45°,如果存在，求出点。的

坐标，不存在说明理由.

12.如图，抛物线y=-1/-Lχ+C与X轴交于A,B两点，且点8的坐标为(3,0),

33

与y轴交于点C,连接4C,BC,点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横

坐标为α,过点尸作X轴的垂线，交AC于点Q.

(1)求A,C两点的坐标.

(2)请用含。的代数式表示线段PQ的长，并求出α为何值时PQ取得最大值.

(3)试探究在点尸运动的过程中，是否存在这样的点。，使得以B,C,。为顶点的三

角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

13.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCQ中的点。沿AE对折，使点。落在OC上

F点,已知Ao=8.AO=IO,G(-1,7),已知抛物线过点0,F,G.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M为抛物线的对称轴上一动点，当IMG-M用取得最大值时，求点M的坐标.

(3)一条动直线过平面上一点2,点3的坐标为(3,-8),且该直线与(1)中的抛

物线交于p、。两点，请判断；PQ是否为定值,若是定值请求出定值，着不是定

PBXQB

值请求出其取值范围.(参考公式：在平面直角坐标系中，若H(处，yl),N(X2,

)2),则“，N两点间的距离为“N=J(X2-乂］)2+(y2-y∣)2).

14.如图，抛物线y=αr2+bx+2交X轴于点A(-3,0)和点8(I,0),交y轴于点C.

(1)求这个抛物线的函数表达式.

(2)点。的坐标为(-1,0),点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形

40CP面积的最大值.

(3)点M为抛物线对称轴上的点，间：在抛物线上是否存在点M使AMNO为等腰直

角三角形，且NMN。为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理

由.

备用图

15.如图，在平面直角坐标系Xo)，中，已知抛物线y="∕-2x+c与直线y=h+b都经过A

(0--3)、B(3,0)两点，该抛物线的顶点为C

(I)求此抛物线和直线AB的解析式；

(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点过M作

X轴的垂线交抛物线于点M使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求

点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当APAB面积最大时，求点P的坐标,

并求APAB面积的最大值.

16.已知抛物线y=以2+3χ+4的对称轴是直线x=3,与X轴相交于4,B两点(点8在点

2

A右侧)，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标;

(2)如图1,若点P是抛物线上8、C两点之间的一个动点(不与8、C重合)，是否

存在点尸，使四边形尸80C的面积最大？若存在，求点尸的坐标及四边形PBoC面积的

最大值；若不存在，请说明理由；

(3)如图2,若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点

N,当MN=3时,，求点M的坐标.

17.如图，直线y=-x+3与X轴、y轴分别交于8、C两点，经过8、C两点的抛物线y=

/+fex+C与X轴的另一个交点为A,顶点为P.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当0<x<3时，在抛物线上求一点E,使aCBE的面积有最大值；

(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C、AM为顶点的三角形为等腰三角

形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

18.如图①，将抛物线y="∕(-l<α<0)平移到顶点恰好落在直线y=x-3上，并设此

时抛物线顶点的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式(用含“、,〃的代数式表示)

(2)如图②，RtAABC与抛物线交于A、D、C三点，NB=90°,AB∕∕x轴，AD=-I,

BD-.BC=I:2.

①求AAOC的面积(用含。的代数式表示)

②若△">C的面积为1,当前-IWXW2功+1时，y的最大值为-3,求烧的值.

19.己知二次函数y=∕+6x+c的图象与X轴分别交于点A、B（4在左侧），与y轴交于点

C,若将它的图象向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的

顶点坐标为（-2,0）.

（1）原抛物线的函数解析式是.

（2）如图①，点尸是线段BC下方的抛物线上的点，求aPBC面积的最大值及此时点

P的坐标；

（3）如图②，点。是线段OB上一动点，连接BC,在线段BC上是否存在这样的点M,

使ACQW为等腰三角形且ABQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，

请说明理由.

20.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=αr2+bχ-3交X轴于点A（-3,0）、B（1,

0）,在y轴上有一点E（0,I）,连接AE.

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点。为抛物线在X轴负半轴下方的一个动点，求AAOE面积的最大值；

（3）抛物线对称轴上是否存在点P,使AAEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所

有尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案：

1.【解答】解：(1)令y=0,解得Xl=-I或X2=3,

ΛA(-1,0)B(3,0),

将。点的横坐标x=2代入y=x2-2工-3得y=-3,

：.C(2,-3)，

・・・直线AC的函数解析式是γ=-χ-l;

(2)设P点的横坐标为X(-IWXW2),

则P、E的坐标分别为：P(x,-X-1),

E(X,X2-2x-3),

2

:P点在E点的上方，PE=(-X-I)-(Λ2-2Λ∙-3)=-7+x+2=-(x-A)+-θ,

24

.∙.当X=工时，PE的最大值=9,

24

则aACE的面积的最大值是：A×[2-(-1)]Xa=Z工；

248

(3)存在4个这样的点F,分别是FI(1,0),F2(-3,0),F3(4+√7.0),F4

(4-√7,0),

①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG〃x轴，此时AF=CG=2,因此尸点

的坐标是（-3,0）；

②如图，AF=CG=2,A点的坐标为（-1,0）,因此尸点的坐标为（1,0）；

③如图，此时C,G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3,代入抛物线中

即可得出G点的坐标为（l+√7,3）,由于直线G尸的斜率与直线AC的相同，因此可

设直线GF的解析式为y=-x+h,将G点代入后可得出直线的解析式为y=-X+4+√7,

因此直线G尸与X轴的交点尸的坐标为（4+√7,0）；

④如图，同③可求出F的坐标为(4-夜，0).

总之，符合条件的厂点共有4个.

2.【解答】解：(1)把(-1,0),(0,3)代入y=-/+6x+c,

得「l-b+c=0,

lc=3

解得［b=2,

Ic=3

所以二次函数的解析式为：y=-∕+2x+3;

(2)由y=-Λ2+2X+3

=-(X-I)2+4,

抛物线的对称轴为直线x=l,

则当2≤x≤4时，)，随着X的增大而减小，

，当x=2时，y的最大值是3；

(3)①AB为边时，只要P。〃AB且PQ=AB=4即可.

又知点。在y轴上，

，点P的横坐标为4或-4,这时符合条件的点P有两个，分别记为Q,P2.

而当X=4时，y=-5,

当X=-4时，y=-21,

此时P（4,-5）,P2（-4，-21）.

②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，

又知点。在y轴上，Q点横坐标为0,且线段AB中点的横坐标为1,

二由中点坐标公式，得点P的横坐标为2,这时符合条件的P只有一个记为P3.

而且当x=2时y=3,此时P3（2,3）,

综上，满足条件的P为Pl（4,-5）、放（-4,-21）、P3（2,3）.

3.【解答】解：（l）y=-χ+4,令X=0,则y=4,令y=0,则x=4,

故：点A、B的坐标分别为（0,4）、（4,0）,

ɪ_

把A、3点坐标代入二次函数表达式得：^2X16+4b+c=0

c=4

解得:b==l

c=4

则：求抛物线的解析式为：y=-1X2÷X+4∙∙∙Φ;

2

(2)如图1,

∙.∙0A=0B=4,

，NA8O=45°,

VZASP=90o,

：.ZOBC=ZOCB=45Q,

：.OB=OC=4,

.∙.点C坐标为(0,-4),

设直线BC的表达式为：y=lc(-4,

把点B点坐标代入上式，解得：Z=I,

故：直线BC的表达式为：y=x-4…②，

将①②联立解得：X=±4(舍去正值)，

故点P的坐标为(-4,-8)；

(3)；y=-∙LX2+X+4="—(X-I)2+-,

222

二对称轴为直线X=1,

如图2,作点A关于直线x=l的对称点为A(2,4),

y,

图2

.'.AM+MN=A'M+MN,

，当AtALL直线/时，4M+MN有最小值，最小值为AW的长,

设AW与X轴交于点H,

∙.∙将直线AB沿y轴向下平移4个单位长度得到直线I,

.∖AB∕/1,直线/解析式为y=-χ,

.'.A'N±AB,

：.ZA'HA^ZOAB=45o,

ΛZAHA'=ZAA'H=45Q,

.∖AA'=AH=2,

：.OH=OA-AH=2,

二点”(0,2),

设直线解析式为y=fcv+b,过A'(2,4),(0,2),

.fb=2

'14=2k+b,

解得：，k=l,

lb=2

直线A,H解析式为y=x+2,

当X=1时，y=3,

二点M(1,3)；

联立方程组可得［y=χ+2,

ly=-χ

.fx=-l

IY=I

，点N(-1,D；

二AW=V(2+l)2+(4-l)2=3&,

.∖AM+MN的最小值为3√2∙

4.【解答】解：(1)VDGn,m),OD=Mm,四边形ConM为菱形,

：.OD=OC=2=y∏m,

.,.W=V2>

.∙.D(√2,√2)；

(2)；y=x+2与抛物线y=∕-2∕nr+m2+zπ交于A、B两点,

f22

...联立［y=x~2ιnx+ιn+m,

1y=x+2

'xι=In-I(XD=In+2

解得,，］，

y1=m+ly2=m+4

・；点A在点B的左侧，

.'.A(«1-1,m+∖)>B(.m+2,∕w+4),

-∙ab~√(m-l-m~2)2+(m+l-m-4)2=3，

T直线OD的解析式为y=x,直线AB的解析式为y=x+2,

.∖AB∕∕OD,两直线AB、0。之间距离∕z=2X亚=加，

2

・・・SAAPB=1AB∙A=1×3√2×√2=3;

22

(3)VA(∕w-1,∕∏+I),B(nz+2,m+4),

ΛAM=1×√2=√2.BM=2×√2=2√2.

由M点坐标(a,m+2),。点坐标("?，∕n)可知以MC为半径的圆的半径为("z+2)

-m=2,

取M3的中点N,连接QB、QN、QB',

.∙.MN=”M=y×2√2=√2)

VMN=Q1=2ZΣ,NQMN=NBMQ,

QMBM2'

AMNQSXMQB,

..QN=MN=&,

',QBɪ=ɪ*

QN=^y-QB-

由三角形三边关系，当Q、N、B'三点共线时。4+亚QB最小,

2

：直线A8的解析式为y=x+2,

.∙.直线AB与对称轴夹角为45°,

;点、B、B1关于对称轴对称,

.∖ZBMB,=90o,

由勾股定理得，QB'+夸QB最小值为BW=λ⅛，M2+RN2={(2√^)2+(加)2

=VI5∙

即。8'+亚Q8的最小值是√I3.

2

5.【解答】解：(1)将点8、A的坐标代入抛物线y=-工/+⅛r+c得,

2

，1

FX16+4b+c=0

0+c=4

解得：[b=l,

1c=4

2

.∙.抛物线的函数表达式为y=-1X+X+4-

设直线AB的解析式为y=kx+b,

...[4k+b=0,

1b=4

解得：(k=T,

lb=4

.,.直线AB的解析式为y=-x+4；

(2)•.♦过点0)(0<∕M<4)作X轴的垂线交直线AB于点C,交抛物线于点E,

：•E(«!>-^^I∏2∙⅛I+4)，C(∕,-〃?+4).

,.EC=-^m^+m+4-(-m+4)=+2ιr-

T点C是OE的中点，

•12.

∙∙-ɪm+n2m=-m+4∙

解得：,联=2,m=4(舍去).

.∖ED=OB=4,

.∙.四边形ODEB为矩形∙

(3)如图，由(2)可知。(2,0),在y轴上取一点M'使得OM'=1,连接

AM',在AM'上取一点。'使得OD'=OD.

：.0D'2=OM'∙0B,

•QDz_QB

"OM7=0D?

VZBOD'=ZM'OD',

Λ∕∖M'OD'S△»QB,

•『D'_0D'J

"-BO7-=OB方

∙*∙MyDy=yBD/∙

：.D'A+^D'B=D'A+M,D'=AM',此时£>'A+^D'B最小（两点间线段最短,

22

A、M1>D1共线时），

：.D'a+^d'8的最小值=4W'=VI2+42=VTF.

6.【解答】解：（1）：直线y=χ-4与X轴，y轴交于点8,C,

.∙.x=0时，y=-4,y=0时，x=4,

：.B(4,O),C(O,-4).

：抛物线y=∕+Zzr+c(a≠0)的对称轴为直线x=l,

'.A点坐标为(-2,0),

16a+4b+c=0

4a-2b+c=0，

c=-4

1

a=7

解得：

b=-l'

C=-4

2

.∙.抛物线的解析式为y^-x-x-4.

(2)由题意得，BF=t,BE=6-3t,

①作H/,X轴，如图,

•：B(4,0),C(0,-4).

.∖0B=0C=4,

BC=4√2>

∖'FH∕∕BC,

：./XBHFS∕∖BOC,

•.∙-H-F-二BF,

OCBC

.HFt

解得：”F=返∙

2

λSɔ∣BE∙HF=y(6-3t)∙2y^t=旦善t2居%t∙

当S有最大值时，r=l,此时点尸的坐标为（8-我UL.

22

@'：OB=OC,

.∙∙NO8C=45°,

若NBEF=90°,

则。。SF嘴?噜，

解得：尸甘.

若∕EFB=90°,

则CoSNEFB=W=tNɪ

BE6-3t2

解得：尸”誓.

综合以上可得，若aEBF为直角三角形，,的值为36-6泥或18-6√5.

177

7.【解答】（1）解：：抛物线对称轴是直线X=-1且经过点A（-3,0）,

由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1,0）.

设抛物线的解析式为y=α(X-Jq)(X-12)(α≠0),即：y—a(x-1)(x+3).

把8(0,3)代入得：3=-3a.

.,.O=-1.

.∙.抛物线的解析式为：y=2x+3；

(2)解：设直线AB的解析式为y=日+4

VA(-3,O),B(0,3),

ʌ∫-3k+b=0j

"lb=3

二直线AB为y=x+3,

由题意，得MCm,-ιτr-2m+3),N(〃?，m+3)

：.MN=-n？-2∕n+3-(〃?+3)--m2-3m；

(3)解：由(2)知，直线AB为y=x+3.

作PH_Lx轴于Q,交直线AB于H,

设P(x,-χi-2x+3)>则H(x,x+3),

PH=-X2-2r+3-(X+3)=-/-3x,

.∙.S=∙1(-X2-3x)X3='(X+3)2+lL,

2228

当X='时，S最大=∙？∙Cy=-(卫)2-2×(卫)+3=-l∑,

28-224

••.△PAB的面积的最大值为此时点P的坐标为(∕∙,-ɪʒ).

824

8.【解答】解：（1）・・•点3和点C的坐标分别为（3,0）（0,-3）,抛物线的对称轴

为x=l,

9a+3b+c=0,

a=l

.∙.<ɪɪl,解得Ib=-2，

c=-3-3

，抛物线解析式为y=7-2x-3；

(2))VB(3,0),C(0,-3),

直线BC解析式为y=x-3,

：E点在直线BC上，F点在抛物线上，

；・设尸(x,X2-2x-3),E(%,X-3),

Y点尸在线段BC下方，

/.EF—x-3-(/-2x-3)=-X2+3X,

.".SΛBCF=^EF∙Ofi=-1×3(-X2+3X)=-Λτ2+2χ=-3(X-旦)2+ZL,

2222228

又,/SMBC=^AB∙OC^」X4X3=6，

22

'∙SWHiKACFB=S∕∖ABC+S^BCF-~—(X-3)2+-+6="—(X-旦)2+-,

228228

♦；-J.<0,

2

.♦.当X=3时，S四边影ACFB有最大值，最大值为圭，此时E点坐标为（3,-3）,

2S22

综上可得四边形4C尸8面积的最大值为匹，此时点E的坐标为(旦，-1)；

822

(3)Vy=x2-2x-3=(χ-I)2-4,

：.D(1,-4),且C(0,-3),

,/P点为抛物线对称轴上的一点，

...设P(1,。，

λpc=Vl2+(t+3)2=Vt2+6t+10,PO=If+41，CD=寸]_2+(_4+3)2=加,

•••△PCO为等腰三角形，

:PC=PD、PC=C。和Po=CZ)三种情况，

①当PC=PD时，则7t2+6t+10=什4|,解得t=-3,此时P点坐标为(1,-3)；

②当尸C=CO时，则Jt2+6t+]0=&，解得/=-2或f=-4(与。点重合，舍

去)，此时P点坐标为(1,-2);

③当Pf)=Co时，则∣∕+4∣=√],解得f=-4+、历或f=-4-&,此时P点坐标为

(1,-4+√2)或(1，-4-√2)；

综上可知存在满足条件的P点，其坐标为(1,-3)或(1,-2)或(1,-4+√2)

或(1,-4-√2).

9.【解答】解：(1)∙.∙y=l(QO)的y无最大值，

X

.∙∙y,不是有界函数；

X

∙.∙y=x+2(-4≤x≤2)是有界函数，

当X=-4时，y=-2,

当x=2时，y=4,

对于-4Wx<2时，任意函数值都满足-4VyW4,

，边界值为4；

(2)∙.∙y=-χ+2,y随X的增大而减小，

，当X=〃时，y∣mιx=3,当X=b时，y=-⅛+2,

Y边界值是3,b>a,

：.-3≤-⅛+2<3

：•-1<⅛≤5

(3)若机>1,图象向下平移〃2个单位后，X=O时，y=-mV-l,此时函数的边界值

t>1,不合题意，故mWl.

2τ

；・函数y=j(-IWxW"?,m≥0),当X=-I时，ymaχ=1，当X=O时，Mz而=O

；・向下平移m个单位后，MwX=I-m,ytnin=~m

∙.∙边界值太t4l

,,∙ɪeI-Irf≤1或-1≤-ιrt≤q

10.【解答】解：(1)抛物线的解析式为：y="(x+4)(X-2)=a(√+2χ-8),

故-8A=4,解得：a=-―,

2

故抛物线的表达式为：y=-1/-χ+4…①；

2

(2)过点E作y轴的平行线交AC于点”，

匿11

由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y=x+4,

设：点E(x,--X2-x+4),则点H(x,x+4),

2

ZEHD=ZAC0=45o,

DE=^L^-EH=(--X1-x+4-X-4)=-ɔzɪʃ2-

2224

T「巨＜0,故。E有最大值为：√2;

4

(3)①当/BCO=/EC。时，

延长CE交X轴于点F,过点F作FGLAC角CA的延长线于点G,

则NAFG=NE4G=45°,设：FG=AG=x,AC=4√2.

IanZECD=ɪɑ.=^-―=-1,解得：x=4√^,

CGx+4√22

则AF=亚x=8,故点F(-12,0),

则直线CF的表达式为：y=Lχ+4…②，

.3

联立①②并解得：X=-旦或0(舍去0),

3

故点E(-1,；

39

②当NCBO=NEC。时,

延长EC交X轴于点F,过点尸作尸G，BC角CB的延长线于点G,

ZECF=β+45°+α+NBCF=I80°,故NBCF=45°,

同理可得：点E的坐标为：（-乌，丝）；

39

综上，点E的坐标为：（一3，殁）或（-4,也）.

3939

11.【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y=a（x+l）（χ-3）=a（Λ2-2X-3）,

故-3a=-4,解得：6Z=A,

3

故抛物线的表达式为：y=A?-lχ-4;

33

（2）过点。作），轴的平行线交BC于点N,

由B、C的坐标可得直线BC的表达式为：y=9r-4,

3

设点£）（x,ɪr2-旦X-4）,点N（x,旦X-4）,

334

2

SABCD=2XoBXND=J-X3X（Aχ-4-Ax+J.x+4）--2√+6x,

22333

V-2<0,故S有最大值9,

2

此时，X=旦，点£）（旦，-5）：

22

（3）存在，理由:

直线BC的表达式为：y=lχ-4,抛物线的对称轴为：x=l,故点”（1,-1）,

33

图2

过点。作QM_LBe于点M,tan/0C8=3=tana,ZQBC=45o,

4

设QM=3x,则HM=4x,MB=3x,

BH=HM+MB=7x=J包+（区）2=解得：χ=^L,

QH=5x=弛，

21

贝IJyQ-yH+——-2,

217

故点Q（1,一2）,

7

观察图象可知，当点。在BC的下方时，不存在，故点。(1,一2).

7

12.【解答】解：(1)把点B的坐标(3,0)代入抛物线解析式y='χ21χ+c得,

33

-Λ×9-I+C=Q.

解得：c=4,

令y=0,则AX2∖χ+4=0,

OO

解得Xl=3,X2—-4,

.∙.A(-4,0),C(0,4)；

(2)VΛ(-4,0),C(0,4),

设直线AC的解析式为y=kx+b,

.f-4k+b=0

,lb=4

.fk=l

"ib=4

二直线AC的解析式y=x+4,

2

点P的横坐标为α,P(«.-laJ-a+4).则点Q(a，a+4),

33

Q-Wa+4-(a+4)-WaWa，

00O0

：.〃=-2时，PQ有最大值匹;

3

(3)存在，理由：

点A、B、C的坐标分别为(-4,0)、(3,0)、(0,4),

贝IJBC=5,AB=I,AC=4√2-ZOAC=ZOCA=45o,

=_4

将点8、C的坐标代入一次函数表达式：y=α+〃并解得：m-^3,

n=4

，直线BC的解析式为y=-AΛ+4,

3

设8C的中点为“，由中点坐标公式可得”（菅，2），

.∙.过BC的中点”且与直线BC垂直直线的表达式为：y=3、J,

4x8

①当BC=BQ时，如图1,

设：QM=AM=",则BM=I-n,

由勾股定理得：(7-∕ι)W=25,

解得：〃=3或4(舍去4),

故点Qi(-1,3)；

②当BC=CQ时，如图1,

.".CQ=5,

则AQ=AC-CQ=4&-5，

；•QM=AM=＞爱'

Q2亨,百⅜

③当CQ=BQ时,

联立直线AC解析式y=x+4和y=1χg

解得X=-空(不合题意，舍去)，

2

综合以上可得点Q的坐标为：Q(-1，3)或(A巧，8-%).

13.【解答】解：(1)：矩形AoCO中的点。沿AE对折，使点。落在OC上尸点,

.∙.AF=AO=10,

在Rt"OF中，OF={102/2=6,

：.F(6,0),

设抛物线解析式为y=αx(X-6),

把G(-1,7)代入得αX(-1)×(-1-6)=7,解得α=l,

.∙・抛物线解析式为y=xCr-6),即y=f-6x;

(2)：点M为抛物线的对称轴上一动点，

.'.MF=MO,

：.\MG-MF]=∖MG-M0∣≤GO(当且仅当G、。、M共线时，取等号)，

易得直线OG的解析式为y=-Ix,

当x=3时，y=-lx=-2∖,

二当IMG-MQ取得最大值时，点M的坐标为(3,-21)；

(3)K—四—的值W2.

PBXQB

理由如下：设直线PQ的解析式为y=H+6,

把B(3,-8)代入得3k+b=-8,则b=-3k-8,

直线PQ的解析式为y=fcr-3k-&

设P(X1，fcq-3k-8),Q(X2，te^3Λ-8),

则朴X2为方程x2-6X="-3&-8的两根,

.∙.XI+X2=6+%,XI%2=3&+8,

2+222

：・PQ=√(xι-χ2)(kx1-kx2)=Vl+k.√(x1-χ2)

=Vl+k2.J(X1+X2)2-4X[X2=Vl+k2.V(6+k)2-4(3k+8)=Vl+k2

Vk2+4^

PB=d(χ]-3)2+(kX[-3k)2=Vl+k^.d(X[-3)2=Vl+k^,∣λi^ɜl'

22222

BQ=↑∣(X2-3)+(kx2-3k)=Vl+k*∖∣(X2-3)=Vl+k,必-3∣,

2

1PB∙BQ=(I+*)I(Xi-3)(X2-3)I=(1+产)∣(x∣x2-3x∣x2+9∣=(1+F)∣3A+8

-3(6+⅛)+9∣=1+必,

14.【解答】解：(1)抛物线的表达式为：y=α(x+3)(x-1)=a(√+2χ-3)=

ɔ

Or+20r-3a,

即-3∙=2,解得：«=-2,

3

故抛物线的表达式为：y=-⅛-&x+2,

33

(2)连接OP,设点P(x,-Ix2-AΛ-+2),

33

贝IJS=S四边形AOeP=SAAPO+SACP。-SA。。C=工XAoXyP+工XoCXbPL』XCoXoQ

222

2

=LXRX(-⅛-AΛ∙+2)4Λ×2×(-x)-O×1=-X-3X+2,

23322

V-KO,故S有最大值，当X=-3时，S的最大值为」?；

24

(3)存在，理由：

△MNO为等腰直角三角形，且NMNO为直角时，点N的位置如下图所示：

①当点N在X轴上方时，点N的位置为M、N2,

NI的情况(ZXMNiO)：

设点NI的坐标为(x,--X1-—x+2),则ME=X+1，

33

过点NI作X轴的垂线交X轴于点F,过点Mi作X轴的平行线交NlF于点E,

oo

VZFNιO+ZM∖N∖E=90,ZM∖NiE+ZEMiN∖=90,：.NEMlNl=NFNI0,

NMlENl=NNlFO=90°,OM=MIN1，

：.AMiNiE冬ANiOFCAAS),J.M∖E=N∖F,

2

即：χ+l=-Ix-lx+2,解得：χ≈-7±√73(舍去负值)，

334

则点M(.—(,—3^^.一/3.)；

44

M的情况QAMzNM))：

同理可得：点M(.—1—,—*73.)•

44

②当点N在X轴下方时，点N的位置为M、M，

同理可得：点N3、M1的坐标分别为：(二土运)、(二Zr运，

444