苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题04旋转之角度问题(原卷版+解析)

专题04旋转之角度问题【模型讲解】【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数．【详解】（1）如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3，在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=BP=2，∵AP=1，∴AP2+PP′2=1+8=9，∵AP′2=32=9，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°；（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP=，在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=BP=，∵AP=3，∴AP2+PP′2=9+2=11，∵AP′2=（）2=11，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′﹣∠BPP′=90°﹣45°=45°．【模型演练】1．如图，已知点P是等边三角形ABC内一点，且，，(1)在图中画出将绕点B逆时针旋转后得到的．(2)求的度数．2．如图，点E是正方形内的一点，连接、、，将绕点B顺时针旋转到的位置，连接，的长为．(1)求的长；(2)若，求的度数．3．一节数学课上，老师提出一个这样的问题：如图，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BA，连接P，求出∠APB的度数．思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CB，连接P，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．4．已知△AOB，将△AOB绕O点旋转到△COD位置，使C点落在OB边上，连接AC、BD．（1）若∠AOB=90°（如图1），小亮发现∠BAC=∠BDC，请你证明这个结论；（2）若∠AOB=60°（如图2），小亮发现的结论是否仍然成立？说明理由；（3）若∠AOB为任意角α（如图3），小亮发现的结论还成立吗？说明理由；5．如图1，在正方形中，，点E是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点D顺时针旋转，旋转角为．(1)如图2，在旋转过程中，判断与是否全等，并说明理由；(2)如图3，延长交直线于点P．①求证：；②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．6．如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形．现将小长方形绕点C顺时针旋转至，旋转角为．(1)当点恰好落在边上时，点到边的距离为____________，旋转角____________；(2)如图2，G为的中点，且，求证：；(3)小长方形绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由．7．已知：在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点、的对应点分别是、．（1）如图1，若时，连接，求证：；（2）如图2，当点恰好在上时，求的度数；（3）如图3，点、的坐标分别是，，点是线段上的一个动点，点是线段上的一个动点，是否存在这样的点、使得为等腰三角形且为直角三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．8．同题提出

如图（1），已知，，将边绕点顺时针旋转至处，连接，为的中点，为边中垂线上一点，．探究的值．问题探究

（1）先将问题特殊化．①如图（2），当时，不存在确定的点，请说明理由；②如图（3），当在的延长线上时，连接，发现，请证明这个结论；（2）再探究一般情形．如图（1），当时，证明（1）②中的结论仍然成立．问题拓展

（3）当时，若，请直接写出的值．9．问题提出(1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小．问题探究(2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小．问题解决(3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由．10．【问题背景】如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，我们可以通过把绕点逆时针旋转90°到，容易证得：．(1)【迁移应用】如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，，若、都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由．(2)【联系拓展】如图3，在中，，，点、均在边BC上，且．猜想、、满足的等量关系（直接写出结论，不需要证明）．11．【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形中，，点E是内一点，连接，分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接．当B，E，F，D四个点满足______时，的值最小，最小值为_______．【解法探索】(2)如图2，在中，，点P是内一点，连接，请求出当的值最小时的度数，并直接写出此时的值．（提示：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接）【拓展应用】(3)在中，，点P是内一点，连接，直接写出当的值最小时，的值．12．【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数．专题04旋转之角度问题【模型讲解】【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数．【详解】（1）如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3，在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=BP=2，∵AP=1，∴AP2+PP′2=1+8=9，∵AP′2=32=9，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°；（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP=，在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=BP=，∵AP=3，∴AP2+PP′2=9+2=11，∵AP′2=（）2=11，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′﹣∠BPP′=90°﹣45°=45°．【模型演练】1．如图，已知点P是等边三角形ABC内一点，且，，(1)在图中画出将绕点B逆时针旋转后得到的．(2)求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）证明是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明即可．【详解】（1）（1）如图，即为所求；（2）∵，∴，，∴为等边三角形，∴，，∵，，∴，∴为直角三角形，∴，∴．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得为等边三角形、为直角三角形是解题的关键．2．如图，点E是正方形内的一点，连接、、，将绕点B顺时针旋转到的位置，连接，的长为．(1)求的长；(2)若，求的度数．【答案】(1)BF=2(2)∠AEB=135°【分析】（1）由旋转的性质得到△BEF为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出的长；（2）根据AE=1，可得，根据勾股定理逆定理9=32=CE2得出，根据等腰直角三角形可求，再求，根据旋转性质，可得即可．（1）解：∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，∴BE=BF，∠EBF=∠ABC=90°

∴△BEF为等腰直角三角形，

设BE=BF=x，则x2+x2=（2）2，解得：x=2；（2）解：∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，∴∠AEB=∠BFC，AE=CF=1，在△CEF中，EF=2，CF=1，EC=3，∵CF2+EF2=12+（2）2=9，CE2=9，∴CF2+EF2=CE2，∴△CEF为直角三角形，∠EFC=90°，∴∠BFC=∠BFE+∠CFE=135°，∴∠AEB=135°．【点睛】本题考查正方形的性质，旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理，掌握，三角形旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理是解题关键．3．一节数学课上，老师提出一个这样的问题：如图，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BA，连接P，求出∠APB的度数．思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CB，连接P，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【答案】∠APB=135°，解答过程见解析【分析】利用旋转法构造全等三角形以及直角三角形即可解决问题．【详解】解：思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BA，连接P，则△AB≌△CBP，A=CP=3，B=BP=2，∠PB=90°∴∠BP=45°，根据勾股定理得，，∵AP=1，∴，又∵，∴，∴△AP是直角三角形，且∠AP=90°，∴∠APB=∠AP+∠BP=90°+45°=135°．思路二：将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到△CB，连接P，∴B=PB=2，C=AP=1，∠BP=90°，∠APB=∠BC，∴∠BP=45°，，∵PC=3，C=1，∴，∴∠PC=90°，∴∠BC=∠BP+∠PC=45°+90°=135°，∴∠APB=∠BC=135°．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用旋转法构造全等三角形是解题的关键．4．已知△AOB，将△AOB绕O点旋转到△COD位置，使C点落在OB边上，连接AC、BD．（1）若∠AOB=90°（如图1），小亮发现∠BAC=∠BDC，请你证明这个结论；（2）若∠AOB=60°（如图2），小亮发现的结论是否仍然成立？说明理由；（3）若∠AOB为任意角α（如图3），小亮发现的结论还成立吗？说明理由；【答案】（1）证明见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）仍成立，理由见解析．【分析】（1）根据旋转的性质得OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，根据等腰直角三角形的性质得∠CAO=∠OCA=45°，∠ODB=∠OBD=45°，根据，，即可得；（2）根据旋转的性质得OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，即可得△ACO、△OBD是等边三角形，即可得∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，推出∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，根据∠BAC=∠BAO﹣∠CAO=∠BAO﹣60°，∠BDC=∠DCO﹣∠DBO=∠DCO﹣60°，即可得；（3）根据旋转的性质得OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，推出∠CAO=∠ACO，∠OBD=∠ODB，根据三角形内角和定理和角之间的关系得∠CAO=∠OBD，根据∠BAC=∠BAO﹣∠CAO，∠BDC=∠DCO﹣∠DBO，即可得．【详解】（1）证明：∵将△AOB绕O点旋转到△COD位置，∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠CAO=∠OCA=45°，∠ODB=∠OBD=45°，∴，，∴；（2）仍成立，理由如下：解：将△AOB绕O点旋转到△COD位置，∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，∵∠AOB=∠COD=60°，∴△ACO、△OBD是等边三角形，∴∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，∴∠BAC=∠BAO﹣∠CAO=∠BAO﹣60°，∠BDC=∠DCO﹣∠DBO=∠DCO﹣60°，∴∠BAC=∠BDC；（3）仍成立，理由如下：解：将△AOB绕O点旋转到△COD位置，∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，∴∠CAO=∠ACO，∠OBD=∠ODB，∵∠CAO+∠ACO+∠AOB=180°，∠OBD+∠ODB+∠BOD=180°，∴∠CAO=∠OBD，∵∠BAC=∠BAO﹣∠CAO，∠BDC=∠DCO﹣∠DBO，∵∠BAO=∠DCO，∴∠BAC=∠BDC．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，三角形内角和定理，等边三角形的判定，旋转的性质，解题的关键是掌握这些知识点．5．如图1，在正方形中，，点E是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点D顺时针旋转，旋转角为．(1)如图2，在旋转过程中，判断与是否全等，并说明理由；(2)如图3，延长交直线于点P．①求证：；②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)．理由见解析(2)①见解析；②存在，的最大值为【详解】（1）如图2中，结论：．证明：∵四边形是正方形，∴，，∵，，∴，∴，∴（SAS）．（2）①证明：如图3中，设交于O．∵，∴，∵，∴在与中，∴．②存在∵，是定值，∴当最小时，的值最大，∴当时，的值最小，此时的值最大，此时点F与P重合，∵，∴，∵，∴，∴的最大值为．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．6．如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形．现将小长方形绕点C顺时针旋转至，旋转角为．(1)当点恰好落在边上时，点到边的距离为____________，旋转角____________；(2)如图2，G为的中点，且，求证：；(3)小长方形绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由．【答案】(1)1，30(2)见解析(3)能，为或【分析】（1）根据矩形的性质可知点到边的距离等于F到边的距离，即DF=1，可知点到边的距离为1；根据旋转的性质得，即可判定，然后根据平行线的性质即可得到；（2）由G为BC中点可得CG=CE，然后根据“SAS”可判断，则；（3）根据正方形的性质得CB=CD，而，则和为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当和为钝角三角形时，可计算出α=135°，当和为锐角三角形时，可计算得到α=315°．（1）解：由题意可知，当点恰好落在边上时，点到边的距离等于F到边的距离，即DF=1，∴点到边的距离为：1，∵CE=1，，∴在中，，∵，∴，故答案为：1，30；（2）证明：∵G为中点，∴，∴，∵长方形绕点C顺时针旋转至，∴，∴，在和中，∵∴，∴；（3）能，理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，∵，∴和为腰相等的两等腰三角形，当时，，当和为钝角三角形时，则旋转角=，当和为锐角三角形时，，则=，即旋转角的值为135°或315°时，和全等．【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．7．已知：在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点、的对应点分别是、．（1）如图1，若时，连接，求证：；（2）如图2，当点恰好在上时，求的度数；（3）如图3，点、的坐标分别是，，点是线段上的一个动点，点是线段上的一个动点，是否存在这样的点、使得为等腰三角形且为直角三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）15°；（3）存在，或【分析】（1）由旋转的性质可知，是等边三角形，即可求证；（2）由旋转的性质可知，，从而，即可求解；（3）分两种情况：若，时；若，时，分别求解即可．【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，，∴是等边三角形，∴．（2）解：∵，，∴，∵绕点顺时针旋转得到，点恰好在上，∴，，∴，∵，∴．（3）存在，理由如下：∵点、的坐标分别是，，∴，∵，，∴，，如图1，若，时，

图1设，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴点．如图2，若，时，

图2设，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴点；综上所述：或．【点睛】本题主要考查了图形的变换——旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，能够利用旋转的性质和分类讨论的思想是解题的关键．8．同题提出

如图（1），已知，，将边绕点顺时针旋转至处，连接，为的中点，为边中垂线上一点，．探究的值．问题探究

（1）先将问题特殊化．①如图（2），当时，不存在确定的点，请说明理由；②如图（3），当在的延长线上时，连接，发现，请证明这个结论；（2）再探究一般情形．如图（1），当时，证明（1）②中的结论仍然成立．问题拓展

（3）当时，若，请直接写出的值．【答案】（1）①见解析．②见解析；（2）．（3）或．【分析】（1）①当时，在图中找到的中垂线，看能否满足即可；②先证明≌，根据，得到，最后利用，即可证明结论；（2）先证明出，得到，再证明出，通过性质可证明出，得到，根据，得到，最后根据，即可得证；（3）仿照（2）的过程依次证明，，再通过角的转换即可得到答案．【详解】解：（1）①当时，为的中位线，经过点的的垂线与的中垂线重合，∴此时点在的中垂线上任何位置都能满足，故不存在确定的点．②证明：连接．∵垂直平分，∴，∴．∵在的中垂线上，∴，∴．∵，∴≌．∴．∴．∴．∵，∴．（2）延长至，使得，连接，．连接并延长交于点．∵，，∴．∴．∵，，∴．又∵，∴．∴，∴．∵，∴．∴．∴，∵，∴．（3）延长至F，使得，连接、并延长交于点G，连接，∵，，∴，，∴，∴，∵，由（2）可得，∴，，∴，∴，当时，延长至F，使得，连接、，同理可得，∵∴，综上所述，的值为或．【点睛】本题考查三角形旋转的综合问题、全等三角形的性质和判定及辅助线作图，解题关键是作出正确的辅助线并找出三角形全等．9．问题提出(1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小．问题探究(2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小．问题解决(3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)(3)对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小，理由见解析【分析】（1）根据两点间线段距离最短，连接点，与直线交于点，点即为所求．；（2）把绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质可知是等边三角形，从而得到，由勾股定理逆定理可知，从而求得，即可求解；（3）连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到，，由旋转的性质，、是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可得当时最短，从而得到最小值为的长，点为、的交点，即可求解．【详解】（1）解：如图1，连接点，与直线交于点，点即为所求．（2）解：如图2，把绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质，，，，是等边三角形，，，，，，，；故；（3）解：如图，连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质，，，，，，，、是等边三角形，，，根据两点间线段距离最短得：当时最短，是等边三角形，以为一边作等边三角形，最小值为的长，此时点在线段上，点为、的交点．若点与点重合，即在对角线上，则点为与的交点，此时点（E）与点重合，显然不符合题意，故点不在对角线上，即对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转知识、三角形全等、特殊角直角三角形、等边三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解题的关键．10．【问题背景】如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，我们可以通过把绕点逆时针旋转90°到，容易证得：．(1)【迁移应用】如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，，若、都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由．(2)【联系拓展】如图3，在中，，，点、均在边BC上，且．猜想、、满足的等量关系（直接写出结论，不需要证明）．【答案】(1)，理由见解析(2)【分析】（1）把绕点逆时针旋转90°到，证明，进而即可得到结论；（2）把绕点逆时针旋转90°到，连接DF，证明，从而得，进而即可得到结论．（1）解：数量关系是，理由如下：由题意得，，，把绕点逆时针旋转90°到，如图2所示，则，，，∵，∴，