湘教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题5.14 简单的轴对称图形-折叠问题（专项练习）

专题5.14简单的轴对称图形--折叠问题（专项练习）一、单选题1．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66° B．104° C．114° D．124°2．如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠DOF＝142°，则∠C的度数为（）A．38° B．39° C．42° D．48°3．如图，中，，沿折叠，使点恰好落在边上的点处．折叠后，，若，则等于（）A． B． C． D．4．如图，有一张长方形纸片，其中，.将纸片沿折叠，，若，折叠后重叠部分的面积为（）A． B． C． D．二、填空题5．如图折叠一张矩形纸片，已知∠1=70°，则∠2的度数是__．6．如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边AB、CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，若ED′平分∠FEG，且在内部，如图2，设∠A′ED'=n°，则∠FED′的度数为___________(用含n的代数式表示)．7．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），继续沿EF折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是_____．8．如图，将一张长方形纸片沿折叠，折叠后形成，若，则的度数是_________．9．如图的实线部分是由经过两次折叠得到的.首先将沿高折叠，使点落在斜边上的点处，再沿折叠，使点落在的延长线上的点处.若图中，，，则的长为______.10．如图，把一张长方形的纸片分别沿、折叠，折叠后的与在同一条直线上，则的值是__________．11．如图，长方形纸片，将沿对角线折叠得，和相交于点，将沿折叠得，若，则度数为__________．（用含的式子表示）12．如图，在矩形ABCD中，AB=9，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AB折叠，使点B落在AC上的点B'处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB'与三、解答题13．已知长方形纸片，点在边上，点，在边上，连接，．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．（1）如图（1），若点与点重合，求的度数；（2）如图（2），若点在点的右侧，且，求的度数；（3）若，请直接用含的式子表示的大小．14．图a中，四边形ABCD是细长的长方形纸条，，，沿将纸条的右半部分做第一次折叠，得到图b和交点；再沿将纸条的右半部分做第二次折叠，得到图c和交点；再沿将纸条的右半部分做第三次折叠，得到图d和交点.（1）如果，那么________（2）_________15．如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由．16．如图，等边三角形纸片ABC中，点D在边AB（不包含端点A、B）上运动，连接CD，将∠ADC对折，点A落在直线CD上的点A′处，得到折痕DE；将∠BDC对折，点B落在直线CD上的点B′处，得到折痕DF．（1）若∠ADC=80°，求∠BDF的度数；（2）试问∠EDF的大小是否会随着点D的运动而变化？若不变，求出∠EDF的大小；若变化，请说明理由．17．如图，在等腰中，的平分线与的垂直平分线交于点，点沿折叠后与点重合，求的度数18．如图，直线AB∥CD，直线l与直线AB，CD相交于点E，F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．⑴若∠PEF＝48°,点Q恰好落在其中的一条平行线上,则∠EFP的度数为．⑵若∠PEF＝75°，∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数．19．已知：如图，△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB，点D、E是BC上的两点，且∠DAE=45°，△ADC与△ADF关于直线AD对称．（1）求证：△AEF≌△AEB；（2）求∠DFE的度数．20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M为边BC上的点，连结AM.如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，求点M到AC的距离.21．阅读下列材料，解答问题：定义：线段AD把等腰三角形ABC分成△ABD与△ACD（如图1），如果△ABD与△ACD均为等腰三角形，那么线段AD叫做△ABC的完美分割线.（1）如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD为△ABC的完美分割线，且BD<CD，则∠B=________，∠ADC=________.（2）如图2，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BE为△ABC的角平分线，求证：BE为△ABC完美分割线.（3）如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB=AC，AD是它的一条完美分割线，将△ABD沿直线AD折叠后，点B落在点B1处，AB1交CD于点E，求证：DB1=EC．22．如图所示，中，将沿折叠，点落在内的点处，再将沿折叠，点落在点处，和的角平分线分别交于点．求的大小．23．把长方形沿着直线对折，折痕为，对折后的图形的边恰好经过点．（1）若，，求的长；（2）若，求的大小．24．如图，在Rt△ABC中，沿ED折叠，点C落在点B处，已知△ABE的周长是15cm，BD＝6cm，求△ABC的周长．25．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在、的位置上，的延长线与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，你能分别求出∠1和∠2的度数吗？请你试一试．26．如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求的周长参考答案1．C【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1，再根据三角形内角和定理可得.解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠ACD=∠BAC，

由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，

∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°；

故选C．【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．2．A【解析】分析：根据翻折的性质得出∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，进而得出∠DOF=∠A+∠B，利用三角形内角和解答即可．详解：∵将△ABC沿DE，EF翻折，∴∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠A+∠B=142°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣142°=38°．故选A．点拨：本题考查了三角形内角和定理、翻折的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型．3．A【分析】根据∠ACB=90°，∠A=24°，可知∠B的度数，再根据，即可求出答案.∵∠ACB=90°，∠A=24°，∠BCD=∠ECD∴∠B=66°，∠BCD=∠ECD=45°∴∠BDC=∠EDC=180°-∠B-∠BCD=180°-66°-45°=69°故答案选A.【点拨】本题考查的是三角形的内角和与折叠的性质，能够根据三角形的内角和是180°进行求解是解题的关键.4．B【解析】【分析】根据折叠的性质，可知折叠后重叠部分的面积等于长方形ABCD的面积减去长方形AEFD的面积，即可得解.【详解】根据题意，得折叠后重叠部分的面积等于长方形ABCD的面积减去长方形AEFD的面积，∵，，∴故答案为B.【点拨】此题主要考查折叠的性质和长方形的面积求解，熟练掌握，即可解题.5．55°【解析】,,.6．【分析】先根据角之间的关系表示出∠AEA′+∠DED′，再由折叠的性质得到∠A′EF+∠D′EG，然后根据∠FEG=∠A′EF+∠D′EG－∠A′ED′可表示出∠FEG，最后利用角平分线的性质求出∠FED′即可.解：∵∠AEA′+∠DED′－∠A′ED′=180°，∠A′ED′=n°，∴∠AEA′+∠DED′=180°+n°，由折叠的性质可知，∠AEA′=2∠A′EF，∠DED′=2∠D′EG，∴∠A′EF+∠D′EG=，∴∠FEG=∠A′EF+∠D′EG－∠A′ED′==，∵ED′平分∠FEG，∴∠FED′=∠FEG=.【点拨】本题考查与折叠、角平分线有关的角度问题，明确折叠的性质，正确找出角与角之间的关系是解题的关键.7．18°【解析】分析：根据最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，可得CF与GF重合，依据平行线的性质，即可得到∠DEF的度数．详解：设∠DEF=α，则∠EFG=α．∵折叠9次后CF与GF重合，∴∠CFE=9∠EFG=9α，如图2．∵CF∥DE，∴∠DEF+∠CFE=180°，∴α+9α=180°，∴α=18°，即∠EF=180°．故答案为：18°．点拨：本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠DEF+∠CFE=180°．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．8．【分析】如图，由对折可得：由平行线的性质可得：于是可得再利用对顶角的性质与三角形的内角和定理可得答案．解：如图，标注对折后的矩形顶点及交点，由对折可得：矩形故答案为：【点拨】本题考查的是矩形的性质，对顶角的性质，平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．9．3【分析】根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解.解：由题意可知,∵，，∴，∵，∴(等量替换)，（三线合一），∴利用勾股定理假设的长为m，，则有，解得，所以的长为3.【点拨】本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键.10．90°【分析】由△B'ME是△BME沿直线EM翻折变换而成，四边形CMFD'是四边形CMFD翻折变换而成，所以∠BME＝∠B'ME＝∠BMB'，∠CMF＝∠C'MF＝∠CMC'，再结合平角的定义即可得出答案．解：∵△B'ME是△BME沿直线EM翻折变换而成，四边形CMFD'是四边形CMFD翻折变换而成，∴∠BME＝∠B'ME＝∠BMB'，∠CMF＝∠C'MF＝∠CMC'，∵∠BMB'＋∠CMC'＝180°，∴∠B'ME＋∠C'MF＝90°，∴∠EMF＝90°．故答案为：90°．【点拨】本题考查的是图形翻折变换的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．11．30°+【分析】设，根据折叠的性质可得解：设，根据折叠的性质可得：，在长方形中，，则∴∴∴x=30°+∴=30°+故答案为：30°+【点拨】本题考查了矩形的性质和折叠性质，根据，列出方程是解题的关键12．3【解析】【分析】首先连接CC'，可以得到连接CC'是∠EC'D的平分线，所以CB'=CD，又AB'=AB，所以'解：如下图所示，连接CC'∵将△ABE沿AB折叠，使点B落在AC上的点B'处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB'∴EC'=∵∠2=∠3∴∠1=∠3在△CC'B'和∠∴△CC'B∴CB又∵AB∴AB∴B'为对角线AC的中点即AC=2AB=18∴∠ACB=30°则∠BAC=60°，∠ACC'=∠DCC∴∠DC'∴∠DC'F=∠FC'C=30°∴'∵DF+CF=CD=AB=9∴DF=9故答案为3.【点拨】本题考查了折叠问题和矩形的性质，注意折叠前面的两个图形是两个全等形.13．（1）；（2）；（3）若点在点的右侧，；若点在点的左侧，【分析】（1）由题意根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可．（2）由题意根据∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题．（3）根据题意分点在点的右侧以及点在点的左侧两种情形分别求解即可．解：（1）因为平分，平分，所以，，所以．因为，所以．（2）因为平分，平分，所以，，所以．因为，，所以，所以．（3）因为平分，平分，所以，，若点在点的右侧，，；若点在点的左侧，．【点拨】本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．14．（1）10；（2）4α.【解析】【分析】（1）图a中，由AD//BC，根据两直线平行，内错角相等即可得；（2）根据折叠的性质可以发现第一次折叠得到的∠DPP1=∠DPP1，第二次折叠后∠DPP2=2∠DPP1，结合平行线的性质即可得.【详解】（1）图a中，∵AD//BC，∴∠PP1B=∠DPP1=α，∵α=10°，∴∠PP1B=10°，故答案为：10°；（2）图b，由折叠的性质可知∠DPP2=2∠DPP1=2α，图c，由折叠的性质可知∠DPP3=3∠DPP1=3α，图d，由折叠的性质可知∠DPP4=4∠DPP1=4α，∵AD//BC，∴∠PP4B=∠DPP4=4α，故答案为：4α.【点拨】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，认真识图，灵活应用所学知识是解题的关键.15．（1）BF=AC，理由见解析；（2）NE=AC，理由见解析.【分析】（1）如图1，证明△ADC≌△BDF（AAS），可得BF=AC；

（2）如图2，由折叠得：MD=DC，先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC，由线段垂直平分线的性质得：AB=BC，则∠ABE=∠CBE，结合（1）得：△BDF≌△ADM，则∠DBF=∠MAD，最后证明∠ANE=∠NAE=45°，得AE=EN，所以EN=AC．解（1）BF=AC，理由是：如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEF=90°，∵∠ABC=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵∠AFE=∠BFD，∴∠DAC=∠EBC，在△ADC和△BDF中，∵，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BF=AC；（2）NE=AC，理由是：如图2，由折叠得：MD=DC，∵DE∥AM，∴AE=EC，∵BE⊥AC，∴AB=BC，∴∠ABE=∠CBE，由（1）得：△ADC≌△BDF，∵△ADC≌△ADM，∴△BDF≌△ADM，∴∠DBF=∠MAD，∵∠DBA=∠BAD=45°，∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD，即∠ABE=∠BAN，∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE，∠NAE=2∠NAD=2∠CBE，∴∠ANE=∠NAE=45°，∴AE=EN，∴EN=AC．16．（1）∠BDF=50°；（2）∠EDF=90°．【分析】（1）根据翻折的性质解答即可；（2）利用角平分线的定义和翻折的性质求得∠EDF=90°，是定值．解：（1）∵将∠ADC对折，折痕DE，∴∠ADE=∠A′DE．∵将∠BDC对折，折痕DF，∴∠BDF=∠B′DF．∵∠ADC=80°，∴∠BDB′=180-∠ADC=180°-80°=100°．∵∠BDF=∠B′DF=12∠BDC∴∠BDF=12×100°=50°（2）∵∠ADC+∠BDC=180°，∠A′DE=12∠ADC，∠B′DF=12∠∴∠A′DE+∠B′DF=12∠ADC+12∠∴∠EDF=12（∠ADC+∠BDC）=12【点拨】本题考查了翻折的性质，角平分线的定义，熟记翻折前后的图形能够完全重合得到相等的角是解题的关键．17．50°.【分析】连接OB，先求出∠BAO=25°，进而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，再根据等腰三角形的性质求解．【详解】连接，如图所示：垂直平分，，，，平分，，,，,.与关于对称，，,,.【点拨】考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系．18．⑴∠EFP=42°或66°⑵∠EFP的度数为35°或63°.【解析】试题分析：当点落在上，根据三角形的内角和即可得到结论；当点落在上，由折叠的性质得到垂直平分，得到，根据平行线的性质即可得到结论；

①如图，当点在平行线，之间时，设，由折叠可得根据平行线的性质即可得到结论；②如图，当点在的下方时，设由得，.根据平行线的性质即可得到结论．试题解析：或ⅰ如图1，当点在平行线，之间时：设的度数为，由折叠可得：,解得：即：ⅱ如图2，当点在的下方时,设由得：由折叠得解得：综上：的度数为或19．（1）详见解析；（2）90°.【解析】【分析】（1）根据折叠的性质得到△ADF≌△ADC，根据全等三角形的性质得到AC＝AF，CD＝FD，∠C＝∠DFA，∠CAD＝∠FAD，由于AB＝AC，于是得到AF＝AB，证得∠FAE＝∠BAE，即可得到结论；（2）由（1）知△AFE≌△ABE，根据全等三角形的性质得到∠AFE＝∠B，即可得到结论．【详解】（1）∵把△ADC沿着AD折叠，得到△ADF，∴△ADF≌△ADC；∴AC＝AF，CD＝FD，∠C＝∠DFA，∠CAD＝∠FAD．∵AB＝AC，∴AF＝AB．∵∠DAE＝45°，∴∠CAD+∠BAE=45°．∵∠CAD＝∠FAD，∴∠FAE＝∠BAE．在△AFE与△ABE中，∵，∴△AEF≌△AEB；（2）由（1）知△AEF≌△AEB，∴∠AFE＝∠B．∵∠C＝∠DFA，∴∠DFE＝∠DFA+∠EFA＝∠B+∠C＝90°．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．20．点M到AC的距离为2【解析】【分析】利用图形翻折前后图形不发生变化，从而得出AB=AB′=3，DM=MN，再利用三角形面积分割前后不发生变化，求出点M到AC的距离即可．【详解】∵△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，假设这个点是B′，作MN⊥AC，MD⊥AB，垂足分别为N，D，又∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，∴AB=AB′=3，DM=MN，AB′=B′C=3，S△BAC=S△BAM+S△MAC，即×3×6=×MD×3+×6×MN，∴MD=2，所以点M到AC的距离是2．【点拨】本题考查了翻折变换(折叠问题)，发现DM=MN，以及AB=AB′=B′C=3，结合面积不变得出等式是解决问题的关键．21．（1）36º；72º;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）由AD为△ABC的完美分割线，推出△ACD是等腰三角形，△ABD∽△CBA，有此即可解决问题；（2）根据完美分割线的定义只要证明△ABE是等腰三角形，△BCE∽△ACB即可；（3）证明△AB1D≌△ACE即可.解：（1）∵AD为△ABC的完美分割线，∴△ACD是等腰三角形，△ABD∽△CBA，∵AB=AC，∠BAC=108°，∴∠B=∠C=36°，∴∠ADC=∠CAD=72°，故填36°，72°（2）证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠C=

（180°-∠A）=72°∵BE为△ABC的角平分线∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=36°∴∠ABE=∠A∴AE=BE∵∠BEC=180º–∠C–∠CBE=72º∴∠BEC=∠C∴BE=BC∴△ABE、△BEC均为等腰三角形∴BE为△ABC的完美分割线．（3）证明：∵AD是△ABC的一条完美分割线∴AD=BD，AC=CD∴∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA∵∠B+∠BAD+∠ADB=180º，∠ADB+∠CDA=180º∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠BAD∴∠CAD=2∠BAD∵∠BAD=∠B1AD∴∠CAD=2∠B1AD∵∠CAD=∠B1AD+∠CAE∴∠B1AD=∠CAE∵AB=AC∴∠B=∠C∵∠B=∠B1∴∠B1=∠C∵AB=AB1∴AB1=AC∴△AB1D≌△ACE∴DB1=CE【点拨】此题主要考察等腰三角形的性质，仔细分析题意，证明相似与全等是解题的关键.22．60°【分析】三角形折