线性代数（财经类） 课件 3.5 线性方程组解的结构

§3.5线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构目录Part1齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组的矩阵形式回顾回顾：齐次线性方程组解的判定

包含n个未知数的齐次线性方程组

Ax=0

有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)<n．

所谓线性方程组解的结构，就是当线性方程组有无穷多个解时，解与解之间的相互关系．备注：当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构．下面的讨论都是假设线性方程组有解．定义：设有齐次线性方程组Ax=0，则方程组的解称为方程组的解向量．二、解向量的定义二、解向量的性质齐次线性方程组解的性质性质1：若

x1=x1，

x2=x2是齐次线性方程组Ax=0的解，则

x=x1+x2

还是

Ax=0

的解．证明：A(x1+x2)=Ax1+Ax2

=0+0=0．性质2：若x=x是齐次线性方程组Ax=0

的解，k为实数，则

x=kx

还是

Ax=0的解．证明：

A(kx

)=k(Ax

)

=k0=0．结论结论：若x1=x1,

x2=x2,...,

xt=xt

是齐次线性方程组Ax=0

的解，

则

x=k1x1+k2x2+…+ktxt

还是Ax=0

的解.思考已知齐次方程组Ax=0的几个解向量，可以通过这些解向量的线性组合给出更多的解．思考：能否通过有限个解向量的线性组合把

Ax=0的解全部表示出来？例

求齐次线性方程组

的通解．即例题

令x3=c1，x4=c2，得通解表达式例题回顾：向量组的极大无关组的概念定义：设有向量组A

，如果在A

中能选出r个向量a1,a2,…,ar，满足①

向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；②

向量组A

中任意r+1个向量（如果A

中有r+1个向量的话）都线性相关；②'

向量组A

中任意一个向量都能由向量组A0

线性表示；那么称向量组A0是向量组A

的一个极大无关组．向量组的极大无关组一般是不唯一的．回顾把

Ax=0

的全体解组成的集合记作S，若求得S

的一个极大无关组S0：x1=x1,

x2=x2,...,,

xt=xt

，那么Ax=0的通解可表示为x=k1x1+k2x2+…+ktxt

．齐次线性方程组的解集的极大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系（不唯一）．结论三、基础解系的概念定义：齐次线性方程组Ax=0的一组解向量：x1,x2,...,xr如果满足①

x1，x2，...，xr线性无关；②方程组中任意一个解都可由x1,x2,...,xr线性表示，那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．后n-r

列前r

列

设

R(A)=r，为叙述方便，不妨设A行最简形矩阵为对应的齐次线性方程组令xr+1,…,xn

为自由变量，则方法一：先求出通解，再从通解求得基础解系．方法一令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，则齐次线性方程组的通解记作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（满足基础解系条件②）（x1,x2,...,xn-r

很明显满足基础解系，并且这个基础解系中恰含有n-r个解）

方法一n

−

r

列前

r

行后

n

−

r

行故R(x1,

x2,…,xn-r)=n

−

r

，即x1,

x2,…,xn-r

线性无关．（满足基础解系条件①）于是x1,

x2,…,xn-r

就是齐次线性方程组Ax=0的基础解系．方法一例：求齐次线性方程组

的基础解系．方法一：先求出通解，再从通解求得基础解系．即四、基础解系的求解四、基础解系的求解

令x3=c1，x4=c2，得通解表达式因为方程组的任意一个解都可以表示为x1,x2的线性组合．x1,x2的四个分量不成比例，所以x1,x2线性无关．所以x1,x2

是原方程组的基础解系．此即为Ax=0

的基础解系．通解为x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r，则令方法二：对自由未知量赋值方法二例1：求齐次线性方程组

的基础解系．方法二：对自由未知量赋值例题即令合起来便得到基础解系，得

还能找出

其它基础

解系吗？例题问题：是否可以把x1

选作自由变量？答：可以，因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵，其实并

不影响方程组的求解．当两个矩阵行等价时，以这两个

矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组同解．思考令x1=c1，x2=c2，得通解表达式即思考从而可得另一个基础解系：

和

．定理：设m×n

矩阵的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩

R(S)=n

−r．定理

解

对增广矩阵(A¦0)施以初等行变换

得即原方程组与方程组同解

其中x3

x4

x5为自由未知量

例题

让自由未知量(x3

x4

x5)T分别取值(1

0

0)T

(0

1

0)T

(0

0

1)T

得方程组的一个基础解系:

1

(

2

1

1

0

0)T

3

(2

1

0

0

1)T

2

(

1

3

0

1

0)T

因此

方程组的全部解为

c1(

2

1

1

0

0)T

c2(

1

3

0

1

0)T

c3(2

1

0

0

1)T其中c1

c2

c3为任意常数

例题Part2非齐次线性方程组解的结构取b

0

得到的齐次线性方程组

Ax

0称为非齐次线性方程组Ax

b的导出组

一、非齐次线性方程组及其导出组回顾：非齐次线性方程组解的判定

包含n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b

有解的充分必要条件是系数矩阵的秩r(A)=r(A,b)，并且当r(A)=r(A,b)=n时，方程组有唯一解；当r(A)=r(A,b)<n时，方程组有无穷多个解．回顾非齐次线性方程组解的性质性质3：若x1=h1，

x2=h2是非齐次线性方程组

Ax=b

的解，则

x=h1−h2

是对应的齐次线性方程组

Ax=0

（导出组）的解．证明：

A(h1−h2)=Ah1−Ah2=b

−b=0．性质4：若x=h

是非齐次线性方程组

Ax=b

的解，x=x

是导出组

Ax=0

的解，则

x=x

+h

还是

Ax=b

解．证明：

A(x

+h

)=Ax

+Ah

=0+b=b

．二、性质根据定理可知

设Ax=0

的通解为x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r

．于是Ax=b

的通解为

x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h定理

设

是非齐次线性方程组Ax

b的一个解

是其导出组Ax

0的全部解

则x

是非齐次线性方程组Ax

b的全部解

三、通解的结构求非齐次线性方程组Ax=b通解的步骤:求非齐次方程组Ax=b

的一个特解h;求导出组Ax=0的通解为x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r；得非齐次方程组Ax=b

的通解为

x=x

+h

=

c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h

四、通解步骤例3：求线性方程组的通解．解：容易看出是方程组的一个特解

．其对应的齐次线性方程组为例题导出组Ax=0的通解非齐次方程组Ax=b的特解例题

根据前面的结论，导出组的基础解系为于是，原方程组的通解为

对增广矩阵(A¦b)施以初等行变换

得

解

即原方程组与方程组同解

其中x3

x4为自由未知量

例题(x3

x4为自由未知量)

让自由未知量(x3

x4)T取值(0

0)T

得方程组的一个特解

(13/7

4/7

0

0)T

与原方程组的导出组同解的方程组为

对自由未知量(x3

x4)T取值(1

0)T

(0

1)T

即得导出组的基础解系

1

(

3/7

2/7

1

0)T

2

(

13/7

4/7

0

1)T

因此所给方程组的全部解为

x

c1

1

c2

2(c1

c2为任意常数)例题方程组有解的几个等价关系（重点、难点）

2.

设有非齐次线性方程组Ax=b，向量组A：a1,a2,…,an是系数矩阵A的列向量组.四个等价关系：

n元非齐次线性方程组Ax=b有解.向量b能由向量组A：a1,a2,…,an线性表示．

向量组a1,a2,…,an与向量组a1,a2,…,an,b等价．

r

(A

)=r

(A,b

)．回顾01小结求解线性方程组（第二章，利用矩阵的初等行变换）线性方程组的几何意义（第三章，四种等价形式）齐次线性方程组的通解能由它的基础解系来构造．基础解系是解集S

的极大无关组．解集S是基础解系的所有可能的线性组合．非齐次线性方程组的通解与其导出组的基础解系的关系.02小结（一）设有齐次线性方程