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2.3几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵01020304对角矩阵数量矩阵单位矩阵三角矩阵对称矩阵一.对角矩阵如果n阶矩阵A

(aij)中的元素满足条件

aij

0

i

j(i,j

1,2,

,n)则称A为n阶对角矩阵

即一.对角矩阵对角矩阵的性质

如果A

B为同阶对角矩阵

则kA

A

B

AB仍为同阶对角矩阵

显然

如果A是对角矩阵

则AT

A

二.数量矩阵如果n阶对角矩阵A中的元素a11

a22

ann

a

则称A为n阶数量矩阵

即数量矩阵的性质

以数量矩阵A左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B

其乘积等于以数a乘矩阵B

三.单位矩阵

如果n阶数量矩阵A中元素a

1

则称A为n阶单位矩阵

记作In(或En)

有时简记为I(或E)

即

单位矩阵的性质

ImAm

n

Am

n

Am

nIn

Am

n

对于n阶矩阵A

规定A0

I

单位矩阵I在矩阵乘法中与数1在数的乘法中的性质类似

四.三角形矩阵上三角矩阵

如果n阶矩阵A

(aij)中元素满足条件

aij

0

i

j(i,j

1,2,

,n)则称A为n阶上三角矩阵

即一.对角矩阵下三角矩阵

如果n阶矩阵B

(bij)中元素满足条件

bij

0

i

j(i,j

1,2,

,n)则称B为n阶下三角矩阵

即三角形矩阵的性质

若A

B为同阶同结构三角形矩阵

容易验证kA

A

B

AB仍为同阶同结构三角形矩阵

五.对称矩阵设

为

阶方阵，如果满足，即那么

称为对称矩阵.对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对称相等.

如果满足

，则称A为反对称矩阵例如五.对称矩阵对称矩阵的性质

数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵

但对称矩阵乘积未必对称

对任意矩阵A

ATA和AAT都是对称矩阵

例如及都是对称矩阵，但不是对称矩阵五.对称矩阵例23设列矩阵

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