第章.3.同步训练及解析

PAGEPAGE1人教A高中数学选修2-3同步训练1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是()A．n，n＋1 B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3解析：选C.(1＋x)2n＋1展开式有2n＋2项．系数最大的项是中间两项，是第n＋1项与第n＋2项，它们的二项式系数为Ceq\o\al(n,2n＋1)与Ceq\o\al(n＋1,2n＋1).2．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,\r(3,x))))n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于()A．4 B．5C．6 D．7解析：选C.令x＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有eq\f(4n,2n)＝64.∴n＝6.3．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是()A．－2048 B．－1023C．－1024 D．1024解析：选C.(x－1)11＝Ceq\o\al(0,11)x11＋Ceq\o\al(1,11)x10(－1)＋Ceq\o\al(2,11)x9·(－1)2＋…＋(－1)11，偶次项系数为负数，其和为－210＝－1024.4．在(1－x)10中，系数最大的项为________．解析：(1－x)10中系数的绝对值即是二项式系数，第6项的二项式系数绝对值Ceq\o\al(5,10)最大，其次就是第5项和第7项，二项式系数为Ceq\o\al(4,10)或Ceq\o\al(6,10)，但第6项的系数为负数．故第5项或第7项系数最大．答案：第5项或第7项一、选择题1．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8等于()A．180 B．－180C．45 D．－45解析：选A.a8＝Ceq\o\al(8,10)·22＝180.2．二项展开式(2x－1)10中x的奇次幂项的系数之和为()A.eq\f(1＋310,2) B.eq\f(1－310,2)C.eq\f(310－1,2) D．－eq\f(1＋310,2)解析：选B.设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝eq\f(1－310,2).3．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是()A．第15项 B．第16项C．第17项 D．第18项解析：选B.第6项的二项式系数为Ceq\o\al(5,20)，与它相等的为倒数第6项，即第16项．4．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数和为()A．2n＋1 B．2n－1C．2n＋1－1 D．2n＋1－2解析：选D.令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.5．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A．10 B．20C．30 D．120解析：选B.由2n＝64，得n＝6，∴Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,6)x6－2r(0≤r≤6，r∈N)．由6－2r＝0，得r＝3.∴T4＝Ceq\o\al(3,6)＝20.6．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：选A.令x＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.二、填空题7．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x3)))n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．解析：展开式中各项系数之和为S＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n＝32，∴n＝5.Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(x2)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x3)))r＝Ceq\o\al(r,5)x10－2r－3r＝Ceq\o\al(r,5)x10－5r，令10－5r＝0，得r＝2，∴展开式中的常数项为T3＝Ceq\o\al(2,5)＝10.答案：108．若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.(用数字作答)解析：由题设令x＝0得a0＝(－2)5＝－32.令x＝1得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝(1－2)5＝－1，故a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－(－32)＝31.答案：319．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,x2)))n的展开式中，仅第六项系数最大，则展开式中不含x的项为________．解析：由题意知，展开式各项的系数即为各项的二项式系数．第六项系数最大，即第六项为中间项，故n＝10.∴通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)·(x3)10－r·(eq\f(1,x2))r＝Ceq\o\al(r,10)·x30－5r.令30－5r＝0，得r＝6.∴常数项为T7＝Ceq\o\al(6,10)＝210.答案：210三、解答题10．已知(1－2x)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a7(x－1)7.求：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a7；(2)a0＋a2＋a4＋a6.解：(1)令x＝2，则(1－2×2)7＝－37＝a0＋a1＋a2＋…＋a7，∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－37.(2)令x＝0，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝1.又由(1)得，a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－37，两式相加，可得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝1－37，∴a0＋a2＋a4＋a6＝eq\f(1,2)(1－37)．11．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.解：(1)令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128.①(2)令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a13)＝27－67＝－279808.∴a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139904.12．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意知，Ceq\o\al(n,n)＋Ceq\o\al(n－1,n)＋Ceq\o\al(n－2,n)＝121，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＝121，∴1＋n＋eq\f