第1章1.2.2第二课时同步训练及解析

PAGEPAGE1人教A高中数学选修2-3同步训练1．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有()A．60种 B．20种C．10种 D．8种解析：选C.四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即Ceq\o\al(3,5)＝10.2．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益劳动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有()A．25种 B．35种C．820种 D．840种解析：选A.分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有Ceq\o\al(3,5)种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有Ceq\o\al(3,5)种选法；两人都不参加，有Ceq\o\al(4,5)种选法．所以共有2Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(4,5)＝25(种)不同的选派方案．3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种 B．35种C．42种 D．48种解析：选A.法一：可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)＝18＋12＝30种选法．法二：总共有Ceq\o\al(3,7)＝35种选法，减去只选A类的Ceq\o\al(3,3)＝1(种)，再减去只选B类的Ceq\o\al(3,4)＝4(种)，故有30种选法．4．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为Ceq\o\al(2,4)＝6，满足一个数是另一个数两倍的组合为{1,2}，{2,4}，故P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)一、选择题1．9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数为()A．Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6) B．Aeq\o\al(3,9)Aeq\o\al(3,6)C.eq\f(C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3)) D．Aeq\o\al(3,9)Aeq\o\al(3,6)Aeq\o\al(3,3)解析：选C.此为平均分组问题，要在分组后除以三组的排列数Aeq\o\al(3,3).2．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有()A．480 B．240C．120 D．96解析：选B.先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可，∴分法数为Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝240.3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A．14 B．24C．28 D．48解析：选A.6人中选4人的方案有Ceq\o\al(4,6)＝15(种)，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种．4．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有()A．36个 B．72个C．63个 D．126个解析：选D.此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有Ceq\o\al(4,9)＝126(个)．5．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A．12种 B．18种C．36种 D．54种解析：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有Ceq\o\al(1,3)种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)种方法，所以共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝18种方法．6．如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，不同的取法种数为()A．40 B．48C．56 D．62解析：选C.满足要求的点的取法可分为3类：第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4Ceq\o\al(3,5)种取法；第2类，在两个对角面上除点P外任取3点，有2Ceq\o\al(3,4)种取法；第3类，过点P的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4Ceq\o\al(1,2)种取法．所以，满足题意的不同取法共有4Ceq\o\al(3,5)＋2Ceq\o\al(3,4)＋4Ceq\o\al(1,2)＝56(种)．二、填空题7．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有________种．解析：分两类，有4件次品的抽法为Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,46)(种)；有三件次品的抽法有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,46)(种)，所以共有Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,46)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,46)＝4186种不同的抽法．答案：41868．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝80(种)．答案：809．2011年3月10日是第六届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：分配方案有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,3)＝eq\f(10×3×6,2)＝90(种)．答案：90三、解答题10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？解：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2，实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))(种)，然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，即共有eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(4,4)＝144(种)．11．要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？解：法一：共分三类：第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有Ceq\o\al(1,7)种；第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有Aeq\o\al(2,7)种；第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有Ceq\o\al(3,7)种，故共有Ceq\o\al(1,7)＋Aeq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,7)＝84(种)．法二：将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空(两端不计)，从这9个空中任选6个(即这6个位置放入隔板，将其分为七部分)，有Ceq\o\al(6,9)＝84种放法．故共有84种不同的选法．12．如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A、B的六个点C1、C2、C3、C4、C5、C6，直径AB上有异于A、B的四个点D1、D2、D3、D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A、B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？解：(1)可分三种情况处理：①C1、C2、…、C6这六个点任取三点可构成一个三角形；②C1、C2、…、C6中任取一点，D1、D2、D3、D4中任取两点可构成一个三角形；③C1、C2、…、C6中任取两点，D1、D2、D3、D4中任取一点可构成一个三角形．∴Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)＝116