空间向量综合应用教学设计 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

PAGEPAGE2课堂教学设计学科：数学姓名：课题：1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(第4课时用空间向量研究立体几何问题的综合应用)课型：新授课课程标准分析“空间向量的应用”主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，证明直线、平面位置关系的判定定理，用空间向量解决空间距离、夹角问题等，向量方法是这部分的重点，为了使学生掌握向量方法，教科书注意以典型的立体几何问题为例，让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用，并引导学生自己归纳用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”同时，教科书还注意引导学生归纳向量法、综合法与坐标法的特点，根据具体问题的特点选择合适的方法.教学背景分析学生在“立体几何初步”的学习中，对于距离和夹角有了一定的认识，但缺乏整体性、系统生在本章前面的学习中，也已经利用空间向量及其运算、空间向量基本定理等解决了一些简单的立体几何问题，但对于其中的向量方法体会还不够深刻，对于用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，也达不到熟练运用的程度，特别是在解决综合性问题时，常常对其中的第一步“建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题”缺乏经验和体会.单元教学目标1.目标

(1)能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面(直线与平面平行)、相互平行的平面的距离问题，

(2)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角(夹角)问题。

(3)理解用向量方法解决立体几何问题的程序，并用来解决立体几何问题，体会向量方法的作用.

2.目标解析

达成上述目标的标志是:

(1)能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式，能把相互平行的直线间的距离、直线到平面的距离(直线与平面平行)、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得上述距离.

(2)能通过实例归纳出利用向量的数量积求空间两条异面直线所成角的一般方法:能够利用向量的数量积得出直线与平面、平面与平面所成角的计算公式，并用来解决有关夹角问题。体会利用向量数量积解决空间角度问题的优势.

(3)能归纳出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何中的问题;通过用向量方法、综合几何方法从不同角度解决立体几何问题，体会向量方法的优势以及向量及其运算在解决立体几何问题中的作用，

课时教学目标综合运用“基底法”“坐标法”解决立体几何问题，掌握用向量方法解决立体几何问题的思想方法和一般步骤。教学重点和难点1.教学重点：对向量方法的理解。2.教学难点：将立体几何问题转化为向量问题。教学资源和教学方法教材、教参、教辅问题引导式教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图教师个人二次备课环节一典型例题，实践应用引导语：前面我们学习了如何用向量方法求解立体几何中的距离和角度问题，这节课我们应用这些知识解决综合性较强的问题。例1：如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为。已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取，精确到0.01N)。教师引导学生思考下列问题： ①降落伞匀速下落，下落过程中，8根绳子拉力的合力大小与礼物重力大小有什么关系？②每根绳子的拉力与合力有什么关系？③如何用向量方法解决这个问题？例2：如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F，⑴求证：平面EDB；⑵求证：平面EFD；⑶求平面CPB与平面PBD的夹角的大小。追问1：已知条件“四棱锥的底面是正方形，一条侧棱垂直于底面”对你有什么启发？由此你能找到解决问题的方法吗？追问2：直线和平面是有哪些要素确定的？直线和平面的平行关系是用这些要素之间怎样的关系来刻画的？你能用这些要素之间的关系证明平面EDB吗？追问3：直线和平面的垂直关系是用确定直线和平面的要素之间怎样的关系来刻画的？你能证明平面EFD吗？追问4：如何根据平面与平面的夹角与两个平面的法向量的关系求出平面CPB与平面PBD的夹角？师生共同分析，将实际对象转化为数学模型，进而解决问题。教师指导学生认真读题，看懂空间几何图形，分析解题思路。教师引导学生根据条件确定利用空间直角坐标系解决问题，建立以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系。师生共同回顾用向量法证明直线与平面平行的步骤，设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则。在此基础上，用坐标表示以及平面EDB的一个法向量，进而利用向量的数量积运算解决问题。师生共同回顾用向量法证明直线与平面垂直的步骤，设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则。在此基础上，用坐标表示以及平面EFD的一个法向量，进而利用向量的数乘运算解决问题。教师引导学生用向量及坐标表示平面的法向量，进而利用向量的数量积运算，求得平面CPB与平面PBD的法向量的夹角，进而求得这两个平面的夹角。让学生体会向量方法在解决实际问题中的作用。通过例题，让学生进一步体会用向量方法解决空间的位置关系和度量问题的过程、方法，进一步体会用空间向量解决立体几何问题的“坐标法”。环节二单元小结教师引导学生回顾本单元的学习内容，并回答以下问题：⑴向量方法解决立体几何问题的基本步骤是什么？你能用一个框图表示吗？⑵通过本节的学习，你对立体几何中的向量方法是否有了一定的认识？请结合例题和上面的框图谈谈体会。⑶解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法。你能说出它们各自的特点吗？进一步的，在学生回答的基础上，教师指出解决立体几何的综合法、向量法、坐标法的特点：综合法通过纯粹的逻辑推理解决问题，向量法利用向量的概念及其运算解决问题，坐标法利用数及其运算来解决问题，坐标法经常与向量法结合起来使用。对于具体问题，应该根据它的条件和所求选择合适的方法。师生共同梳理本节的学习内容，引导学生画出用向量法解决立体几何问题的一般步骤的“三步曲”的框图，具体如下：用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系把运算结果“翻译”成相应的几何意义这里的小结既是本节课的小结，也是本单元的小结。目的是从宏观的思想方法和中观的解题步骤方面进行总结，使学生掌握用向量方法解决立体几何问题的