模糊决策与分析方法

模糊决策与分析方法主讲人天津大学管理学院杜纲目录一、模糊数学的基本知识

1、模糊集及其隶属函数

2、模糊集的分解定理与扩张原理

3、模糊数

4、可能性分布与模糊概率二、模糊线性规划

1、约束不等式有宽容度的模糊线性规划

2、系数是模糊数的模糊线性规划

3、区间规划三、模糊线性回归

1、普通线性回归

2、模糊线性回归

3、应用举例四、模糊层次分析法(FAHP)1、普通层次分析法(AHP)2、基于模糊（互补）一致矩阵的FAHP3、基于三角模糊数（互补）一致矩阵的FAHP4、基于区间数判断矩阵的FAHP五、模糊统计决策

1、普通统计决策（贝叶斯决策）

2、模糊统计决策（模糊贝叶斯决策）六、模糊矩阵对策

1、普通矩阵对策

2、模糊矩阵对策七、模糊数据包络分析

1、普通数据包络分析

2、模糊数据包络分析八、应用第一节模糊数学的基本知识例4:证明在区间[8，10]上没有根。解：把x=[8，10]代入函数f，可得：

f([8,10])=[8,10]([8,10]-[7,7])-[6,6]-……=[1.5,23.9],0[1.5,23.9].对称的三角模糊数x12345678π(x)11110.80.60.40.2P(x)0.10.80.100000x123456π(x)110.80.60.40.2第二节模糊线性规划简单的情形：无等式和非正变量约束如果模型是极小型、大于等于约束呢？三、区间线性规划

（intervallinearprogramming，简称IvLP）

IvLP的一般模型：(1)方法一(不需要决策者参与)思路：与具有模糊系数的线性规划的截集区间规划求解相同,分别解相应于最大、小范围约束的确定规划问题。最大、小范围约束的几何解释：如[1,2]x1+[1,4]x2≥[2,4]其边界不等式：1x1+1x2≥21x1+4x2≥22x1+1x2≥22x1+4x2≥21x1+1x2≥41x1+4x2≥42x1+1x2≥42x1+4x2≥41x1+1x2≥42x1+4x2≥2最大范围不等式最小范围不等式方法：确定最好最优值模型最差最优值模型：最优值记为：最优值记为：IvLP的最优值为：,相应的解为最好和最差最优解。例12:

求解IvLP的最优值区间解:

分别建立该IvLP的最好、最差模型：分别求解两LP，得IvLP的最优值区间为：[0.5,8]。(2)方法二(需要决策者参与)思路：基于区间数的序关系，将IvLP化为一确定型LP并求解。两个区间数、称为A≤B的满意度。当决策者给定满意度λ0

，IvLP中的约束为什么？于是，IvLP化为一个确定型LP例13:

给定满意度0.5，求解IvLP解:

化为确定型LP求解第三节模糊线性回归二、模糊线性回归

模糊线性回归的两种类型可能性线性回归（FLR）：属于经典的内容，1982年由日本学者Tanaka等提出。其方法简单统一，但与统计中的最小二乘法不相容。模糊最小二乘法(LS)：属于后来发展的内容，1987年由Diamond提出。其计算与统计中的最小二乘法相似，但由于需要定义模糊数之间的距离，因此形式多样不统一。样本序号jyjxj1xj2xj3xj4xj51606138.0936.43512710162.1026.5061……………………………………N16993120.5032.2563三、应用举例：模糊回归理论在QFD系统建模中的应用研究

基于陈以增等的文章(机械工程学报，2003(4))1.QFD简介

QFD是质量功能展开（QualityFunctionDeployment）的缩写，由日本学者YojiAkao1966年提出，1972年首先在日本三菱重工神户造船厂得到应用。之后，丰田将该方法应用于汽车产品设计；80年代初，该方法传入美国，并被福特等首先应用。QFD最成功的应用领域是汽车制造业，其次也应用于建筑、航空、服务等领域。QFD的定义：是一种结构化的产品计划与开发方法，以顾客需求为导向，确定产品的工程（技术）特征，根据对顾客的满意程度和竞争者能力的评价，制定每项工程特征的技术目标。QFD的表现形式——质量屋：由顾客需求(A)、竞争者评价(B)、产品工程特征(C)、工程特征与需求的关联关系(D)、工程特征的技术目标(E)、工程特征的内在关联关系(F)5个矩阵组合而成的产品设计框架。1ABx12x239x1+4x2=9*B1+4*B244x1+5x2=4*B1+5*B253x1+10x2=3*B1+10*B26z=7*B1+12*B2

在本课程的内容介绍中，最终往往要化为线性规划来解决，线性规划的计算软件可以在我们的计算机系统中很方便地找到。第四节模糊层次分析法(FAHP)一、普通层次分析法(AHP)

层次分析法(TheAnalyticHierarchyProcess)是20世纪70年代中期由美国匹兹堡大学教授T.L.Saaty提出的一个多准则决策方法，自提出以来，得到迅速普及和广泛应用。AB1B2B3B4B1B2B3B413441/311/231/4211/21/41/321C层总排序b1b2b3b4c11c12c13c14C1C2C3B1B2B3B4BCB1C1C2C3X-X+α,βWC1[1,1][1/7,1/5][1/3,1/2]0.10940.0993α=0.9279β=1.0691[0.1015,0.1062]C2[5,7][1,1][2,4]0.64980.6557[0.6029,0.7010]C3[2,3][1/4,1/2][1,1]0.24080.2450[0.2235,0.2619]第五节模糊统计决策

模糊状态行动F1F2A1800-300A2500200

θθ1θ2θ3θ4θ5θ6θ7θ8θ9θ1080090010001100120013001400150016001700μF1(θ)0000.20.40.60.8111μF2(θ)1110.80.60.40.2000P(θ)0.050.050.10.10.20.20.10.10.050.05

信息源ss1s2s3s4s5s6s7s8s9s10s11s12s13s14500600700800900100011001200130014001500160017001800μM1(s)0.20.40.60.811P(S|800)0.10.20.40.20.1P(S|900)0.10.20.40.20.1……………………P(S|1700)0.10.20.40.20.1第六节模糊矩阵对策第七节模糊数据包络分析

一、普通数据包络分析

数据包络分析(DataEnvelopmentAnalysis，简记DEA)是著名运筹学家A.Charnes和W.W.Cooper等在“相对效率”概念基础上发展起来的一种效率评价方法。自1978年第一个DEA模型建立以来，有关理论不断深入，其已经成为现代管理中一种重要和有效的分析工具。DEA可使用数学规划模型计算和比较决策单元间的相对效率，从而对决策单元做出评价。决策单元(DecisionMakingUnit，简记DMU)的特点是：每个DMU都可以看作是相同的实体，各DMU具有相同的输入和输出。通过对输入输出数据的综合分析，DEA可以得出每个DMU综合效率的数量指标，据此将各DMU定级排序，确定有效的(即相对效率最高的)DMU，并指出其他DMU非有效的原因和程度，给主管部门提供管理信息。DEA的特点和优点特点：

-效率评价

-相对有效性

-根据投入产出数据，使用数学规划模型计算每一评价单元的有效值优点：

-客观性（通过数据和数学规划模型评估）

-方便（不用考虑量纲）

-经济意义明确

-给主管部门提供管理信息DEA方法的主要步骤1.确定N个同类评价单元DMUJ2.选择投入产出指标投入指标：X=（x1x2……Xm）

产出指标：Y=（y1y2……Ys）3.选择模型类型：常用C2R，BCC模型4.对每一评价单元DMU求解其对应的模型得其有效性评价值 DEA的数据结构与效率评价指数y11

y12

……

y1ny21

y22

……

y2n…

…

……

…ys1

ys2

……

ysnx11

x

12

……

x

1nx

21

x22

……

x2n…

…

……

…xm1

xm2

……

x

mnDMU1DMU2

……

DMUn

v1

1

v2

2

…

…

vmm1

u12u2…

…susDEA的原始模型

对第j0个决策单元进行效率评价。可建立下面的数学规划模型其中模型的变量为υ和u。这是一个分式规划。利用Charnes-Cooper变换，可以将其化为一个等价的线性规划问题。令得：其中WT=（w1,…,wn）和μT=(μ1,…,μs)是变量。这即C2R模型(Charnes，Cooper，Rhodes)，记为P。加入松驰变量s+及s-以后可得对偶规划模型：记该对偶规划模型为D。λ=(λ1,λ2,…,λn)及θ为n+1个变量C2R模型下DEA有效的定义P模型下：弱DEA有效：若线性规划问题(P1)的最优解w0及满足

Vp1=TY0=1，则称DMUj0为弱DEA有效。

DEA有效：若线性规划问题(P1)存在某一最优解

w0与满足VP1=TY0=1，并且w0>0,>0，则称

DMUj0为DEA有效。D模型下：弱DEA有效：规划问题(D1)的最优值θ*=VD1=1DEA有效：规划问题(D1)的最优值θ*=VD1=1，并且它的每个最优解都满足S-0=S+0=0。具有非阿基米德无穷小量的C2R模型P模型和D模型判断DEA有效的困难：1.在P