数值计算模拟导论

讲座模拟导论问题讲座模拟导论问题实例及基本JacobDeepakRamaswamy,MichalLucaDaniel,ShihhsienKuoandKarenSMA-HPC©2003模拟的应——模拟的应——————课程原问题实——————SMA-HPC©2003方近来发方近来发SMA-HPC©2003方——近来发方——近来发——SMA-HPC©2003方——机械单元（板、梁、壳）——方——机械单元（板、梁、壳）——近来发——SMA-HPC©2003方近来方近来发——SMA-HPC©2003方——近来发方——近来发——SMA-HPC©2003方——近方——近来发SMA-HPC©2003股票价 价格选 方股票价 价格选 方近来发——SMA-HPC©2003套期保值基金的股票定价方——近来发方——近来发——SMA-HPC©2003方——近来发方——近来发——SMA-HPC©2003方——近来发——方——近来发——SMA-HPC©2003白质分子（子SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003对一些现代技术的回对一些现代技术的回为什么证明定理SMA-HPC©2003 主电源线 至少有3V 主电源线 至少有3V通过ALU吗SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003车空间框架在载荷作用下车空间框架在载荷作用下下垂太多SMA-HPC©2003地面固货梁接下图示为将货物（红色）图示为将货物（红色）SMA-HPC©2003发动机变得太热吗发动机变得太热吗SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003选择拓扑结构和选择拓扑结构和支柱的长度与宽度，满足SMA-HPC©2003选择形状，满足选择形状，满足SMA-HPC©2003给定拓扑结构和金给定拓扑结构和金属的长宽，确定SMA-HPC©2003IBM,Motorola,TI,Intel,Compaq,IBM,Motorola,TI,Intel,Compaq,Sony,SMA-HPC©2003一些大公司SMA-HPC©2003上千个小型公小型公司应用上千个小型公小型公司应用于磁盘驱动器电路、图形加速卡、CD放器，蜂窝电话非功能原型的成本是多少SMA-HPC©2003SMA-HPC©200315638156386914MentorGraphics这些公司通过改善分析效率进行竞争SMA-HPC©2003谁在设计VLSI工具？SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003们可以构建电路来确定各功能模块的电压，并确定VLSI电路是否SMA-HPC©2003电一电压电路电 电路电 SMA-HPC©2003电一电压电路电 电路电 SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003功能模块看作是电压源电路单 SMA-HPC©2003功能模块看作是电压源电路单 SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003金属线看作电 物理符 电路模 长 电阻 金属线看作电 物理符 电路模 长 电阻 SMA-HPC©2003线的长度（电流需进一步通过），（电流有更多的路径选择线的长度（电流需进一步通过），（电流有更多的路径选择 SMA-HPC©2003综合在一起结果如示意图所综合在一起结果如示意图所SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003实例的简化如图所示SMA-HPC实例的简化如图所示SMA-HPC©2003负接压螺SMA-HPC©2003载荷看成力SMA-HPC©2003载荷看成力SMA-HPC©2003力的力的模型可看作沿着Y负向的拉力（Y是垂直方向，X是水平方向）SMA-HPC©2003梁看作支柱 非受拉长 截面 梁看作支柱 非受拉长 截面 材料特 SMA-HPC©20031.2.1.2.不弯 SMA-HPC©20033.3.为了确定K，考虑梁伸长量为ΔL的力是）将（I）（II）（III）SMA-HPC©2003综合在一SMA-HPC©2003综合在一SMA-HPC©2003两种类型的未知量两种类型的未知量电路－每一节点的电流和为支柱－每一连接点的合力为基本方程SMA-HPC©2003热问题：沿着杆的温度分布是什么 SMA-HPC©2003输入热问题：沿着杆的温度分布是什么 SMA-HPC©2003输入热离散表示SMA-HPC©2003热离散表示SMA-HPC©2003热离散表示 通过每一截面的热 当截面足够小时取极 SMA-HPC©2003热离散表示 通过每一截面的热 当截面足够小时取极 SMA-HPC©2003热离散表示两个相邻截 流入控制体积的纯热 SMA-HPC©2003控制体热离散表示两个相邻截 流入控制体积的纯热 SMA-HPC©2003控制体输入热离散表示 流入控制体积的纯热 当截面足够小时取极 SMA-HPC©2003热离散表示 流入控制体积的纯热 当截面足够小时取极 SMA-HPC©2003输入热电路模拟SMA-HPC©2003热电路模拟SMA-HPC©2003支柱－每一连接点的合力为杆－进入控制体积的热流和SMA-HPC©2003电路实例识别未知量SMA-HPC©2003电路实例识别未知量SMA-HPC©2003给定一电给定一电路示意图，问题是要确定节点电压和单元电流。开始，节点编码为0具有特殊意义，它是参考点。虽然电压不是绝对值，但必须相对某一参考点度为了更好理解这一点，考虑一个简单的电流源和电阻实例。为了使流过电阻的电流为1安培，V1－V0必须是1伏特。但究竟是＝0SMA-HPC©2003电路实例识别未知量SMA-HPC©2003电路实例识别未知量SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003电路实例识别未知量SMA-HPC©2003电路实例识别未知量SMA-HPC©2003致）SMA-HPC©2003电路实例识别未知量SMA-HPC©2003电路实例识别未知量SMA-HPC©2003且此时还应该注意电流的方向，如果电流通过左节点到右节，则左节点电压应比有节点高RI电路实例小电路实例的未知单元电流（除了电流源电路实例小电路实例的未知单元电流（除了电流源实例的方注意：方程数＝未知量SMA-HPC©2003模拟的许多应模拟的许多应两种类型的方电路－每一节点的电流和为SMA-HPC©2003讲座模拟导论讲座模拟导论Jacob感谢DeepakRamaswamy,MichalRewienski,KarenSMA-HPC©2003从示意图形成方从从示意图形成方从示意图构建矩两种表达方SMA-HPC©2003支柱实例识别未知量建立每一接头的位置支柱实例识别未知量建立每一接头的位置坐标X，Y，将某一接头设为零点。SMA-HPC©2003该符号通常用来表示一个固定结构（如象水泥墙）SMA-HPC©2003支柱实例识别未知量给每一支柱设置X支柱实例识别未知量给每一支柱设置X，Y力分量SMA-HPC©2003支柱实例识别未知量SMA-HPC©2003支柱实例识别未知量SMA-HPC©2003如图所示，支柱的拉力如图所示，支柱的拉力f如图示将局部坐标映射到总统坐标系计算fx和fy。从图示几何关系得到从ffxfy支柱实例守恒定律在每一接头的X方向合力＝0支柱实例守恒定律在每一接头的X方向合力＝0SMA-HPC©2003。如下图，如果支柱伸长∆力f力fafb大小相等方向相反。这是由于fa在X的正方向，而fb在X的反方向。其它力+fa=0。尽管右边接头的平衡方程是：其它力fb=其它力-fa0fafb作为独立变量。而代之以所选力和建立支柱另一边力间恒律中f3符号为正，但接头2守恒律中为具有负号的反向SMA-HPC©2003支柱实例守恒定律SMA-HPC©2003支柱实例守恒定律SMA-HPC©2003于翻转支柱的x1-x2>0或者对应于压缩支SMA-HPC©2003支柱实例总SMA-HPC支柱实例总SMA-HPC©2003沿着X轴的两个支结点沿着X轴的两个支结点1：f1xf2x节点2：-f2xf=SMA-HPC©2003 沿着X轴的两个 沿着X轴的两个支 基本方 SMA-HPC©2003沿着X轴的两个支沿着X轴的两个支简化（节点）SMA-HPC©2003沿着X轴的两个支节沿着X轴的两个支节点方程的解fL=10(沿着X正方向的力SMA-HPC©2003沿着X轴的两个支沿着X轴的两个支注意力的符f2x=10(x正向的力f1x=−10(x负向的力SMA-HPC©2003上次的实例SMA-HPC©2003上次的实例SMA-HPC©2003两类未知两类未知两类方电路－每一节点电流和SMA-HPC©2003电路实电路实SMA-HPC©2003二维支柱实二维支柱实JS对矩阵行表示单元基本方程（线性SMA-HPC©2003守恒方程电路实例SMA-HPC©2003守恒方程电路实例SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003守恒方程电路实例SMA-HPC©2003守恒方程电路实例SMA-HPC©2003守恒方程电路实例 右边对应源电 矩阵A非方SMA-HPC守恒方程电路实例 右边对应源电 矩阵A非方SMA-HPC©2003一行表示每一守恒方程电路实例电阻对每一矩阵如何产生作守恒方程电路实例电阻对每一矩阵如何产生作A的每列不超过两个非零元素SMA-HPC©2003当电阻一端当电阻一端连在参考点（0节点）时，矩阵会是怎SMA-HPC©2003守恒方程电路实例每一电流源对右边的贡献怎守恒方程电路实例每一电流源对右边的贡献怎SMA-HPC©2003守恒方程电路实例守恒矩阵方程产生算对每一电阻守恒方程电路实例守恒矩阵方程产生算对每一电阻令Is为零向对于每一电流SMA-HPC©2003守恒方程电路实例SMA-HPC©2003守恒方程电路实例SMA-HPC©2003基本方程电路实例首先确定电阻的电压（支路电压SMA-HPC©2003基本方程电路实例首先确定电阻的电压（支路电压SMA-HPC©2003电阻的电电阻的电压是V1-V2，通过电阻的电流是：注意如果V1大于V2，则iSMA-HPC©2003基本方程电路实例SMA-HPC©2003基本方程电路实例SMA-HPC©2003由于有B个支路电压和N个节点，所以矩阵有BSMA-HPC©2003基本方程电路实例SMA-HPC©2003基本方程电路实例SMA-HPC©2003对守恒律，如下矩阵所示支路k对对矩阵第k列两个非零因素有贡注意到支路k的电压是VlVm因此，正如下列矩阵，第k不能看出每一支路单元对影响矩阵的一列有贡SMA-HPC©2003基本方程电路实例基本方程电路实例SMA-HPC©2003基本方程电路实例SMA-HPC©2003基本方程电路实例SMA-HPC©2003节点支路关系电路实例SMA-HPC©2003节点支路关系电路实例SMA-HPC©2003例一对列表示每一未知——J——例一对列表示每一未知——J——S一对列表示每一方——J——SSMA-HPC©2003下列方法类似于电应用A下列方法类似于电应用ATSMA-HPC©2003守恒方程支柱实例SMA-HPC©2003守恒方程支柱实例SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003守恒方程支柱实例 冲压 SMA-HPC©2003守恒方程支柱实例 冲压 SMA-HPC©2003力右边表示力在接头查看矩阵将产对于j1守恒方程的贡献需要用专用下标，我们用j1xj1y表示两行，SxSySMA-HPC©2003守恒方程支柱实例如果（j1不固定如果（j2不固定如果（j1不固定守恒方程支柱实例如果（j1不固定如果（j2不固定如果（j1不固定A最多有两个非零列SMA-HPC©2003基本方程支柱实例 如果x1,y1近似于x0,基本方程支柱实例 如果x1,y1近似于x0, SMA-HPC©2003如上所示，通过支柱的力如上所示，通过支柱的力，且xy其如果x和y偏离x0和y0则由于Fx(x0,y0)=同理类似表达式对y成立注意到就是不拉伸支柱，其旋转将破坏小扰动条件，由于指向不正确的方向A-PC00很好逼近力基本方程支柱实例SMA-HPC©2003基本方程支柱实例SMA-HPC©2003基本方程支柱实例SMA-HPC©2003基本方程支柱实例SMA-HPC©2003基本方程节点支柱关系S＝J＝SMA-HPC©2003基本方程节点支柱关系S＝J＝SMA-HPC©2003比支柱实例SMA-HPC©2003比支柱实例SMA-HPC©2003电路实例产生矩阵计算节点数量，其中一个节点作为对每一节点写出守恒律。除了0SMA-HPC©2003电路实例产生矩阵计算节点数量，其中一个节点作为对每一节点写出守恒律。除了0SMA-HPC©2003基本矩阵电路实例SMA-HPC©2003基本矩阵电路实例SMA-HPC©2003节点n1的节点n1的节点n2的因此和Rk相关的矩阵是SMA-HPC©2003电路实例产生矩阵SMA-HPC©2003电路实例产生矩阵SMA-HPC©2003产生矩阵SMA-HPC©2003产生矩阵SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003G矩阵的特征SMA-HPC©2003G矩阵的特征SMA-HPC©2003节电支路形式节点支路公不对称和对角节电支路形式节点支路公不对称和对角占矩阵是(n+b)x(SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003问题单元电压SMA-HPC©2003问题单元电压SMA-HPC©2003问题单元电压应用电压源能形成节点支路问题单元电压应用电压源能形成节点支路基本方程SMA-HPC©2003问题单元电压基本方 乘以 守恒 问题单元电压基本方 乘以 守恒 形式：守恒量＝F（节点电压SMA-HPC©2003问题单元刚性刚性SMA-HPC©2003问题单元刚性刚性SMA-HPC©2003与稀疏矩阵比较实例问题SMA-HPC©2003与稀疏矩阵比较实例问题SMA-HPC©2003与稀疏矩阵比较实例问题100x10SMA-HPC©2003与稀疏矩阵比较实例问题100x10SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003节点支路关节点支路关节点公SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003数值模拟数值模拟导论-感谢DeepakRamaswamyMichalRewienski,KarenVeroyandJacobWhite解的存在和唯解的存在和唯一高斯消元LU适应条·无电源或刚性支承·无电源或刚性支承·对角和严格对角占优矩阵·n×n方阵SMA-HPC©2003要求加权变量x要求加权变量x，使得矩阵M各列的加权和等于右边的bSMA-HPC©2003GGGx1M1x2M2...xNGGGx1M1x2M2...xNMN疑问解答·－这个方程是否有解？－解是否唯一？·看是否有解存在一组变量x1,…..xn，使得：GGGx1M1x2M2...xNMN由此看出：只有当b在由M各列组成的向量空间内，解才存在。SMA-HPC©2003GGGy1M1y2M2...yNMNGGGy1M1y2M2...yNMN疑问解答续·解是否唯一？y1,…,y，的变量Gy1M1y2M2...yNMNM(x+y)=b又如果，则由此可见：当且仅当矩阵M的各列向量线性无关，方程解唯一。SMA-HPC©2003疑问解答续方·给定，其中M为N*N方阵疑问解答续方·给定，其中M为N*N方阵各列向量相互线性不相关的方阵称之为非奇SMA-HPC©2003重要工具Mx用高斯消元法解线性方程·重要工具Mx用高斯消元法解线性方程·一种“直接”的方有限步求准确解（不计舍入误差）·求解增广矩阵的精确解·计算所消耗的机时。SMA-HPC©2003举例说明3*3SMA-HPC©2003举例说明3*3SMA-HPC©2003举例说明解题思路用矩阵的第一行消去第二和第三行的举例说明解题思路用矩阵的第一行消去第二和第三行的SMA-HPC©2003举例说明矩阵形式SMA-HPC©2003乘举例说明矩阵形式SMA-HPC©2003乘举例说明SMA-HPC©2003乘举例说明SMA-HPC©2003乘举例说明符号简化表示SMA-HPC©2003举例说明符号简化表示SMA-HPC©2003举例说明消去第三行的SMA-HPC©2003乘举例说明消去第三行的SMA-HPC©2003乘举例说明形成的三角阵SMA-HPC©2003举例说明形成的三角阵SMA-HPC©2003举例说明右边向量的变化SMA-HPC©2003举例说明右边向量的变化SMA-HPC©2003举例说明组合各部分SMA-HPC©2003举例说明组合各部分SMA-HPC©2003Mx解方第一第二Mx解方第一第二消元过程解方程Ly回代过程第三Ux解方SMA-HPC©2003Mx解方第一第二Mx解方第一第二消元过程解方程Ly回代过程第三Ux解方SMA-HPC©2003解三角矩阵矩阵特点第一个方程只有y1一个未知量解三角矩阵矩阵特点第一个方程只有y1一个未知量第个方程只有y1和y2两个未知SMA-HPC©2003解三角矩阵算SMA-HPC©2003解三角矩阵算SMA-HPC©2003解三角矩阵方程是直接的但又是费时的。y1可以用一个除法运算直接求得，y2可以用一乘法，一个减法，一个除法求得。一旦求得yk－1解三角矩阵方程是直接的但又是费时的。y1可以用一个除法运算直接求得，y2可以用一乘法，一个减法，一个除法求得。一旦求得yk－1，yk可以由k－1步乘法，k－2步加法，一N除法＋0加/减＋1加/减＋、、、、N-1加/减＋0乘法＋1乘法＋………N-1乘法求求＝（N-1）（N-2）加/减＋（N-1）（N-2）乘＋N＝N2分图SMA-HPC©2003分图SMA-HPC©2003用同样的方法处理第二行。计算消去第三行和第四行中x2的乘子，并且用这些乘分算{i=1j=i+1每一{每一要消去的目标MMMii为对角{对角元后面分算{i=1j=i+1每一{每一要消去的目标MMMii为对角{对角元后面的元nk=i+1MMM乘}}}SMA-HPC©2003分对角元为零第i第i第jMM做一下分对角元为零第i第i第jMM做一下简单变形（部分对角元MiijMii第j行和第i行交换SMA-HPC©2003分零对角元两重要定理1）只有当M为非奇异矩阵时分零对角元两重要定理1）只有当M为非奇异矩阵时列主元法（交换行）能有效2）对严格对角占优矩阵LU分解将不会产生零对角元SMA-HPC©2003不会产生零对角元证明：1）求出第一步消元后的矩阵2）考察（n－1）×（n－1）的次矩阵仍然是完全对角占优矩阵第一第一步消元后的第二由此得数值问题小对角元特我们能够解释这种现象吗SMA-HPC数值问题小对角元特我们能够解释这种现象吗SMA-HPC©2003出出数值问题小对角元浮点运算的一个性双精度主要问题结论数值问题小对角元浮点运算的一个性双精度主要问题结论避免大小数之间相加SMA-HPC©2003有效数位符号数值问题小对角元回过头来看这个例子SMA-HPC©2003数值问题小对角元回过头来看这个例子SMA-HPC©2003数值问题小对角元MMj那么第iMSMA-HPC©2003数值问题小对角元MMj那么第iMSMA-HPC©2003得是得是数值问题小对角元如果在LU分解过程中，矩阵是对角占数值问题小对角元如果在LU分解过程中，矩阵是对角占优或用了列主元法来减小舍入误差那么存在以下的点2）LU因子各位上的最大值将小于等于原始矩阵SMA-HPC©2003得是得是实多项式插值数据用一个N次的多项式来近似表示数据实多项式插值数据用一个N次的多项式来近似表示数据ftt ...2n012nSMA-HPC©2003实矩阵形SMA-HPC©2003实矩阵形SMA-HPC©2003实SMA-HPC©2003实SMA-HPC©2003在在我们用一个高次的多项式函数来逼近曲线t时。当数据需要一个100次的多项式扰动分析 误差范数向量的范n2xi2nx1扰动分析 误差范数向量的范n2xi2nx1maxxiSMA-HPC©2003正方单位矩阵的范xxAx由矩阵A引起误差的范数的最大值等于x被A放大的最大倍数矩阵的范xxAx由矩阵A引起误差的范数的最大值等于x被A放大的最大倍数nmaxA1jA2nmaxAijSMA-HPC©2003扰动分析误差范数扰动分析扰动计MMxxMxMxM扰动分析扰动计MMxxMxMxMxMx实际MxMxxxM1Mxx1xMMMMMxMSMA-HPC©2003由线性代数由线性代数学我们知道解x的变化范围与原始的变化范围之间有一个与矩阵M有关的倍数，这个倍M奇异矩阵超出本课程的考虑范围，如果想了解请咨询Trefethen或扰动分析更清晰的几何逼近法GGM1GMx1M1x2扰动分析更清晰的几何逼近法GGM1GMx1M1x2MM当用向量来逼近时很难确定M1和与之对应的M2的值SMA-HPC©2003几何分析多项是插值多项式值得级数接线几何分析多项是插值多项式值得级数接线SMA-HPC©2003问行的缩放比问行的缩放比例是否减小等比级行的缩放比例是否减小了条件条件定理：如果使用浮点运算，当进行行缩放时在某种意义上不会减少等比级数没有舍入误解的存在和唯解的存在和唯一高斯消元LU适应条数值模拟数值模拟导论-Luca感谢DeepakRamaswamyMichalRewienski,KarenVeroyandJacobWhite••回顾LU分解法稀疏矩阵—••回顾LU分解法稀疏矩阵—珩架和节点，电阻网，3d热三角矩阵分解―一般的稀疏矩阵分―填充和重排—图表逼稀疏矩阵数据结构—散••SMA-HPC©2003分图SMA-HPC©2003分图SMA-HPC©2003U的x11，1，1变为零。再用比例因子（又称之为乘子）代替这些零11/1，1位2341和11和1也被他们的乘子所代替。在这一过程中第三行其余的位置的值也会随之改变，因此也将他们变为蓝色。用同样的方法处理第二行。计算消去第三行和第四行中x2的乘子，并且用这矩阵分解算n-i=1{每一n{每一要消去的目标到MMM到对角n矩阵分解算n-i=1{每一n{每一要消去的目标到MMM到对角n{对角元后的元jiMikMjkM乘}}}SMA-HPC©2003矩阵分解对角占优矩阵的性对一个对角占优的矩阵进行LU分解时不会产生零对角元。矩阵分解对角占优矩阵的性对一个对角占优的矩阵进行LU分解时不会产生零对角元。。置上的值增加不会超过2n1)SMA-HPC©2003不会产生零对角元证明：1）求出第一步消元后的矩阵2）考察（n－1）×（n－1）的次矩阵仍然是完全对角占优矩阵第一第一步消元后的第二由此得应空间珩架空间珩节点矩未知方程：节点位合应空间珩架空间珩节点矩未知方程：节点位合力SMA-HPC©2003应电阻未知方程SMA-HPC©2003节点电电流应电阻未知方程SMA-HPC©2003节点电电流和电阻网电阻网是一种特殊情况，它的数学模型是偏微分方程。（我们将在以后学习到）我们现在考察一下这个节点矩阵并注意矩阵中的非零数。从一个如下4的非零数应电阻100×10电阻网矩阵的非零SMA-HPC©2003应电阻100×10电阻网矩阵的非零SMA-HPC©2003应四方体中的温度场SMA-HPC©2003电模应四方体中的温度场SMA-HPC©2003电模三角带矩阵矩阵形式SMA-HPC©2003三角带矩阵矩阵形式SMA-HPC©2003三角带矩阵高斯算法 i=1n-{每一到n{每一要消去的目标MM对角到{三角带矩阵高斯算法 i=1n-{每一到n{每一要消去的目标MM对角到{对角元后的元MjiMik乘}}M需要N步运}SMA-HPC©2003矩阵的填充例电阻例节点矩此矩阵为称且对角矩阵的填充例电阻例节点矩此矩阵为称且对角优矩SMA-HPC©2003回想第二章回想第二章的内容，节点矩阵的维数可以通过计算电阻器来确定，请看下面：这个电阻占据节点矩阵的如下也可以理解为：Gii就等于解点i处的电阻率（一个以上电阻）矩阵的填充例矩阵的非零数据结LU分解后的矩阵形矩阵的填充例矩阵的非零数据结LU分解后的矩阵形X都不为SMA-HPC©2003在LU分解的在LU分解的过程中，基准行以外的各行要减去基准行乘以一个因子。请通过下面的简单例子，思考LU分解矩阵填充例填充的传第一步的填充影响第二步的矩阵填充例填充的传第一步的填充影响第二步的填SMA-HPC©2003行乘以一个系数，填充了第三列和第四列。当用第三行和第四行减去第二乘以一个系数后，那么第三行和第四就产生了二级填充矩阵的填充重排SMA-HPC©2003未填填矩阵的填充重排SMA-HPC©2003未填填矩阵的填充重排在什么地方可以产生填充SMA-HPC©2003矩阵的填充重排在什么地方可以产生填充SMA-HPC©2003已经分矩阵的填充重排MarkowitzFori=1到找到最小的Markowitz乘积的对角矩阵的填充重排MarkowitzFori=1到找到最小的Markowitz乘积的对角元j。交换第j行和第i行，第j列和第i列交换分解新的第i行，并确定填充结理想算SMA-HPC©2003第三步就是分解重新排列的矩阵并且填充矩阵。如果矩阵本来非常那么第三步将会很省接下来又必须计算分解后的矩阵的Markowitz乘积，这有又需要（N-1）步运算。继续，依此类推，只计算Markowitz乘积就需要约因此，我们要改善这种情况，方法便是计算矩阵每经过一次分Makowitz矩阵的填充重排为什么只讨论对角元与在节点公式中节矩阵的填充重排为什么只讨论对角元与在节点公式中节点重排列相协调•••减少搜索耗保留矩阵原有性－对角占－对SMA-HPC©2003矩阵的填充填充之后矩阵的样SMA-HPC©2003稠矩阵的填充填充之后矩阵的样SMA-HPC©2003稠非常稀非常稀矩阵的填充未分解的任意矩阵SMA-HPC©2003矩阵的填充未分解的任意矩阵SMA-HPC©2003矩阵的填充未分解的任意矩阵SMA-HPC©2003矩阵的填充未分解的任意矩阵SMA-HPC©2003矩阵意对称矩阵的结构和据阵矩阵每一行一个矩阵意对称矩阵的结构和据阵矩阵每一行一个节每一个非对角元对应一条边线SMA-HPC©2003当且仅），矩阵当且仅），矩阵如果矩阵在结构上是对称的与一个简单的图表相联在图中矩阵的每一行有一个如果0，在节点i和j之间有一个边矩阵图有两个重要的性1)节点次数的平方就是Markowitz乘变化矩阵MarkowitZ乘Markowitz乘积＝（节点次数的平方SMA-HPC©2003矩阵MarkowitZ乘Markowitz乘积＝（节点次数的平方SMA-HPC©2003第第i个节点次数的平方等于Markowitz乘积，它可以由图中很容易看出。节点矩阵矩阵分解LU分解的第一·删掉与对角行相对矩阵矩阵分解LU分解的第一·删掉与对角行相对应的节·连接矩阵图的边SMA-HPC©2003每一步每一步LU分解需要一步浮点运算并产生一个简化矩阵，如完成了第i步分解之后，未分解的矩阵就被缩小为1必须加入与填充对应的矩阵图边那么在矩阵图中节点i也必须除去。另外，所用与节点i相邻的节（相邻节点通过边界相联）将会通过增加必要的边界来使他们彼相矩阵例Markowitz＝（节点次数SMA-HPC©2003据阵矩阵例Markowitz＝（节点次数SMA-HPC©2003据阵矩阵例交换第2和第1SMA-HPC©2003矩阵例交换第2和第1SMA-HPC©2003更加平行的对角矩阵的另一顺矩阵稀疏矩阵电阻网的例子未知：节电电方程：电矩阵稀疏矩阵电阻网的例子未知：节电电方程：电流和等于SMA-HPC©2003））的例子中我们可以很容易看出矩阵的特点。一个4×4系统它的节点矩阵如下零数是由于rowcoupling与三角带的耦合产生的。矩阵稀疏矩阵网格的例子分解一个M×M的矩阵需要花矩阵稀疏矩阵网格的例子分解一个M×M的矩阵需要花费多少机时推想中间列最后是否被消去SMA-HPC©2003要分解一个与要分解一个与类似由电阻器序列产生的M×M个删格相对应的虽然要得到这个问题的精确解已经超出了本课程的内容但我们可以步运算，所以这表明分解这个由M×M步运算，既然分解这个稠密矩阵删格组成的矩阵也用非数值的元素用非数值的元素代替原来的矩对角占优或对称正用矩阵图确定矩阵的次要用到许多矩阵图操作的技必须认真的组织计SMA-HPC©2003稀疏矩阵的数据结SMA-HPC©2003行指针向每稀疏矩阵的数据结SMA-HPC©2003行指针向每一行的数据排为了有效的为了有效的储存一个稀疏矩阵，需要一种只记录矩阵非零元素的这个矩阵的数据结我们可以看到这里没有储存任何的零稀疏矩阵的数据结冗余数从目标行j中消去原始行i稀疏矩阵的数据结冗余数从目标行j中消去原始行i考察j行所有位，我们发现其中3个位置与i行相对应SMA-HPC©2003第j第i为了有效的为了有效的储存一个稀疏矩阵，需要一种只记录矩阵非零元素对应。请看下面的例子这个矩阵的数据结我们可以看到这里没有储存任何的零稀疏矩阵的数据结构冗余数据每一个多余的数据稀疏矩阵的数据结构冗余数据每一个多余的数据都会占用不必要的内存空SMA-HPC©2003为了有效的为了有效的储存一个稀疏矩阵，需要一种只记录矩阵非零元素对应。请看下面的例子这个矩阵的数据结我们可以看到这里没有储存任何的零稀疏矩阵的数据结构避免冗余数据的扩散考察j稀疏矩阵的数据结构避免冗余数据的扩散考察j行所有的元素，将他们扩展成为长度为n的向用标定数组储存需要的元SMA-HPC©2003第jLU分解和对角占LU分解和对角占－无数据元的因稀疏矩－压杆，电阻网，3D热对角矩阵的分－O(N)稀疏矩阵分解概－Markowitz重排步以达到最小填基于表格的方－分解和填－对降低用高斯消去解稀疏矩阵的复杂性是有帮助SMA-HPC©2003数值模拟数值模拟导论-感谢DeepakRamaswamy,MichalRewienski,KarenVeroyandKarenVeroy奇异矩阵例子LU分解的不足之处虽然上面图形的节点矩阵奇异矩阵例子LU分解的不足之处虽然上面图形的节点矩阵是一个奇异矩阵，但是仍旧存在一种解SMA-HPC©2003负载节拉奇异矩阵例子LU分解的不足之处虽然上面图形的节奇异矩阵例子LU分解的不足之处虽然上面图形的节点矩阵是一个奇异矩阵，但是存在一种解SMA-HPC©2003奇异矩阵例子回顾矩阵各列的加权和，并观察下面奇异矩阵例子回顾矩阵各列的加权和，并观察下面的等式GGx1M1x2M2...xNMN虽然矩阵M是奇异矩阵但是向量B在矩阵M的列向量组成的向量空间内。SMA-HPC©2003正交如果M有正交列向量GiMiMj用第i列乘以加权列向量得正交如果M有正交列向量GiMiMj用第i列乘以加权列向量得GGGGMi(x1M1x2M2...xNMN利用正交向量将方程简化为)MiGGG b Miiii(MMiiSMA-HPC©2003正交矩阵M正交的几何意义G如果GGjMjM正交矩阵M正交的几何意义G如果GGjMjMj则矩阵M正Mij二维向量的几何意非正正SMA-HPC©2003正交QR法的基本思想原始矩带有正交列向量正交QR法的基本思想原始矩带有正交列向量的QybyQT怎么来完成这一步变换SMA-HPC©2003正交推导公式GGGM2r12M1M2，求满GGG正交推导公式GGGM2r12M1M2，求满GGGGGM1MM1GG1G即必有M11SMA-HPC©2003正交标准如果我们将向量标准化，公式将会变得简单，因此我们先来将向量Q1标准化：GGGGG1正交标准如果我们将向量标准化，公式将会变得简单，因此我们先来将向量Q1标准化：GGGGG1M1Q1Q1 M1rGGGGGQ2M22Q2现在要以便满Gr12Q1MG G1G最后求GGrQ2SMA-HPC©2003正交2*2矩阵的变化过程既然Mx等于Qy，那么正交2*2矩阵的变化过程既然Mx等于Qy，那么我们可以找到x与y之间得关系SMA-HPC©2003正交2*2矩阵的分解过程标准正交如果给出QR分解后，需要正交2*2矩阵的分解过程标准正交如果给出QR分解后，需要两步进行求QRxbRxQTb第一Rx回代第二SMA-HPC©2003上三正交普通矩阵的QR分解3×3矩阵的情为了正交普通矩阵的QR分解3×3矩阵的情为了确保第三列正交使SMA-HPC©2003正交分解3*3矩阵必须解程求系SMA-HPC正交分解3*3矩阵必须解程求系SMA-HPC©2003正交解方程求系数将第N个向量正交N2项内正交解方程求系数将第N个向量正交N2项内积需要N3步运SMA-HPC©2003正交使用正交向量3×3矩阵的情为了保证正交使用正交向量3×3矩阵的情为了保证第三列正交SMA-HPC©2003基本运算法则改进的Gram-SchmidnGGrM标准GiiN需要2N2N2步操基本运算法则改进的Gram-SchmidnGGrM标准GiiN需要2N2N2步操G j＝i＋1GnGNi2NNjGG MjSMA-HPC©2003基本运算法则用图形表示SMA-HPC©2003基本运算法则用图形表示SMA-HPC©2003基本运算法则用图形表示SMA-HPC©2003基本运算法则用图形表示SMA-HPC©2003基本运算法则零如果有一列元素全为零该怎么基本运算法则零如果有一列元素全为零该怎么办此矩阵肯定是奇异矩阵SMA-HPC©2003基本运算法则零列（序QR分解结果SMA-HPC©2003基本运算法则零列（序QR分解结果SMA-HPC©2003奇异矩阵举例回顾矩阵各列的加权和，并观察下面的奇异矩阵举例回顾矩阵各列的加权和，并观察下面的等式当M为奇异矩阵时会出现以下两种情况：GG{M1MNb属于向量空间{Q1,...,QNG{M1,...,MNSMA-HPC©2003最小值法求解公式求x使下式获最小值NR最小值法求解公式求x使下式获最小值NRx2Rx i等价于，如果b属于向量空间{cols(M)}推出Mx＝bminxRRxT最小值法扩展到非奇异或非平方的情SMA-HPC©2003最小值法一维空间最小值法GMxxMGxxx最小值法一维空间最小值法GMxxMGxxx 1 一维空间最小值正交标SMA-HPC©2003最小值法一位空间最小值法（图示一维最小值法产生的结果和b最小值法一位空间最小值法（图示一维最小值法产生的结果和bSMA-HPC©2003最小值法二维空间最小值法xxGxMxxM最小值法二维空间最小值法xxGxMxxMGxMG 12用残向量最小值耦合SMA-HPC©2003最小值法二维向量最小值法从更一般的角度考GGMp2T最小值法二维向量最小值法从更一般的角度考GGMp2TMSMA-HPC©2003最小值法构建MTM正交最小化方向第i次搜索方向等于MTM正交化单位向GGGGGjpi最小值法构建MTM正交最小化方向第i次搜索方向等于MTM正交化单位向GGGGGjpirpT MMpjjMGGpjjSMA-HPC©2003最小值法搜索方向上的最小值单独做去藕最小值求的最小GGGTT2vbii将其对v求GGGT 最小值法搜索方向上的最小值单独做去藕最小值求的最小GGGTT2vbii将其对v求GGGT 2bTMiiG求得TbMpivGiTMMSMA-HPC©2003最小最小化算法对每一目标i=1GGpieforj到iGGrpjTTMpiGr最小最小化算法对每一目标i=1GGpieforj到iGGrpjTTMpiGrGpi MMiGGrxxviiSMA-HPC©2003最小化法和QR分解SMA-HPC©2003正交最小化法和QR分解SMA-HPC©2003正交搜索方向正交单位向量——,G,...,G{G,搜索方向正交单位向量——,G,...,G{G,G p2NMTM12搜索单位可以使用其它的初始向,...,GG,b,Mb,Mkrylov子空MTM正交12搜索方为什么SMA-HPC©2003QR算——————修改QR算——————修改Gram-SchmidtQR和奇异矩零QR分解的最小化简单提一下关于调整搜索方SMA-HPC©2003数值模拟数值模拟导论-感谢DeepakRamaswamy,MichalRewienski,KarenVeroyandJacobWhite常规的子空间常规的子空间极小化算——回顾学过的正交化和投射定GCR算－krylov-子空－对称矩阵的简－收敛条回顾特征值和特征向－范数和谱半－谱映射定G,w0k选择一个kGG,w0k选择一个kGG可以近似为向量GkiikSMA-HPC©2003GGG 最小残向量b·残向量定义kkGGGGG 最小残向量b·残向量定义kkGGb如果i ii残向量最小化的思路为：取s，最小化式iGGkk2TbMwbkriiii2i0i0SMA-HPC©2003最小残向量 算MGGG，那 或i22们将很容易计算的最小值bii22GG最小残向量 算MGGG，那 或i22们将很容易计算的最小值bii22GGMGMT或非正MpjGG那么要建立一组正交的向量p,,使向pk0G并GG0，i,,wk＝向量空TMp0SMA-HPC©2003最小残向量 运算步骤G给定M，b并且一组搜索方,,wk01）通过将Mws正交化生GsjjMpkforj＝0to最小残向量 运算步骤G给定M，b并且一组搜索方,,wk01）通过将Mws正交化生GsjjMpkforj＝0tojipjpMpMpTiii2）解xk计算r的最小r0riMpMpkk iikxppi0iTTMp MpMpiiiiSMA-HPC©2003最小残向量 图示计算步骤1）正最小残向量 图示计算步骤1）正交2）解计算r的最小SMA-HPC©2003最小化算法bforj＝0topjfori＝0toj- p最小化算法bforj＝0topjfori＝0toj- pMpMp正交搜索方jjjii p标准化向pjjjTjxjrjjjMpxj更新结jjMprj更新残向jjSMA-HPC©2003子空间的选择 标GG选的标,,GG对所有在空间{w0wk子空间的选择 标GG选的标,,GG对所有在空间{w0wk1}中Mk的值都很bMxkbiGG在向量空间{w0,wkA1b当k≺≺Nx Ge,G向量空1如果k＝N进行QR分如果k<N情况会很糟SMA-HPC©2003子空间的选择传统方法fx1xTMxxTb的最小值，其中假求子空间的选择传统方法fx1xTMxxTb的最小值，其中假求MMT（对2矩阵）并xTMxxfxMxbx推导出x最小化bGw0,fxk1fx0,,取向量空xx这便是f的最快下降方向，但f并不是残余值这种方法不能用于非对成矩阵，和不满足xTMx的情SMA-HPC©2003子空间的选krylov子空向量空间＝向量空间fx,,xfxk子空间的选krylov子空向量空间＝向量空间fx,,xfxk注意,, 0k0G＝向量空间,,rk1}w0,,k那r0iik1r0{r0,,rk1}＝向量并且向量空,Mr0,,krylov子空SMA-HPC©2003 GCR算 krylovGCP的第krkMp求解第k步搜索方向的步kkkkrk 更新结k GCR算 krylovGCP的第krkMp求解第k步搜索方向的步kkkkrk 更新结kkkk更新残向rkrkkkMrk1Tk计算新的正交搜索方rk1pkjp jTjjjSMA-HPC©2003 GCR算 krylovkrk 向量内积，O(n)k kkkxk GCR算 krylovkrk 向量内积，O(n)k kkkxkxkrkpO(n)如果是稀疏矩阵需要O(n) 向量加rkkkrkrkO(K)内积，总共需要O(nk)kk如果M是稀疏矩阵，当用k步来逼近n时，总共SMA-HPC©2003 GCR算 krylov我们会发现下面的情况那MpjrkMrk1Mrk1kj GCR算 krylov我们会发现下面的情况那MpjrkMrk1Mrk1kjjk k一步完成正pppkjkkTMpMpkkn，那么矩阵对称，稀疏，GCR需要运如O(n2kSMA-HPC©2003“krylov吸近端温远端温将棒离散“krylov吸近端温远端温将棒离散节点平衡方SMA-HPC©2003krylovSMA-HPC©2003krylovSMA-HPC©2003krylov近端温远端温离散节点平krylov近端温远端温离散节点平衡方SMA-HPC©2003krylov节点平衡方SMA-HPC©2003krylov节点平衡方SMA-HPC©2003残余误迭代次反残余误迭代次反复迭代后的log（残余误差）对SMA-HPC©2003(Rhs＝－1，＋(Rhs＝－1，＋反复迭代后的log（残余误差）对SMA-HPC©2003收敛性分析Krylovw,....wr0,Mr0,....Mk0kk xk收敛性分析Krylovw,....wr0,Mr0,....Mk0kk xk M0kik次多项kMr0Irkr0 i kw,....wr0,Mr0 kr00kSMA-HPC©2003收敛性分析Krylovj0，在GCRjr0,Mr0 kr0p,p k收敛性分析Krylovj0，在GCRjr0,Mr0 kr0p,p k2(M是k次多项式，这个多项式可以最rkkxkk2Ir0MMbMxk1r03rkkk22(M)r0是（k＋1）次多项式，要想最rk这里kk1(0)SMA-HPC©2003收敛性分析KrylovGCR多项式的22GCR最优化的rk(Mk收敛性分析KrylovGCR多项式的22GCR最优化的rk(Mk22kk1(0)2rk2SMA-HPC©2003基本定义Mi为iiM基本定义Mi为iiMiIi是矩阵M如果(MiI)GSMA-HPC©2003基本定义SMA-HPC©2003基本定义SMA-HPC©2003注意问题几乎所有的N*N矩阵都有注意问题几乎所有的N*N矩阵都有N个线性独立的特征向量。矩阵M的一组特征值被称之为MSMA-HPC©2003注意问题几乎所有的N*N矩阵都有N个线性独立注意问题几乎所有的N*N矩阵都有N个线性独立的特征向量。可以等于并不意味着MSMA-HPC©2003谱半矩阵M所有矩阵MSMA-HPC©2003谱半矩阵M所有矩阵MSMA-HPC©2003热流例子SMA-HPC©2003热流例子SMA-HPC©2003热流例子（续SMA-HPC©2003热流例子（续SMA-HPC©2003热流例子（续SMA-HPC©2003热流例子（续SMA-HPC©2003谱半径定理fx01x谱半径定理fx01x...ppfM01M...pp谱半径fMf谱半径MSMA-HPC©2003谱半径定理证明MMUU1UU1U2U UpU谱半径定理证明MMUU1UU1U2U UpUp UU...UpU101ppU I...01pI... U p01pSMA-HPC©2003谱分xGGGN谱分xGGGN用矩阵M来代替xMxM(GGG... N)GGu...u SMA-HPC©2003收敛性分析Krylov1）GCR运算法则在最多n步内收敛于真实解。x收敛性分析Krylov1）GCR运算法则在最多n步内收敛于真实解。xx1x2....xn其中iM证明：令0，因此r 0n2）如果M只有q个特征值，那么GCR运算法则最多以需SMA-HPC©2003····GCR－QSMA-HPC©2003数值模拟数值模拟导论-感谢DeepakRamaswamy,MichalRewienski,KarenVeroyandJacobWhite·回顾－Krylov·回顾－Krylov·回顾特征值和·收敛速度的－Chebychev多项－近似LU预处G,w0kbforj＝0topjrfori＝0toG,w0kbforj＝0topjrfori＝0toj- pMpMpjjjii ppjjMpMpxjrjjjMpxjjjMprjjjSMA-HPC©2003标准图示运算步1）正交2）xk标准图示运算步1）正交2）xk计算rSMA-HPC©2003GGG 开始的几步rGGG 开始的几步rb· ，0r0·p00 1r·p1.0 Mr11p SMA-HPC©2003GGG GGG x1r11· ·bMx2r0Mr0rM2r0 p Mr12pp SMA-HPC©2003GGG GCR的第kkGGG GCR的第kkTpkrkkMr jjj kkkrMpTk第k步运算的最佳kxkxk rkrkkkSMA-HPC©2003GGG 多项式梗概的有j0，那么jGGG 多项式梗概的有j0，那么j1）向量空间p,p,...,p向量空间r0Mr0Mrk kMr02rk是kkk2bMxk1r0M IMr0 Mr003）rkkkk01这里是（k＋1）次多项式kk2rk2SMA-HPC©2003残向量最小值多项式梗概,Mr0,...,Mrkxk2如最小：rk2Mr021xkrk是残向量最小值多项式梗概,Mr0,...,Mrkxk2如最小：rk2Mr021xkrk是k次多项式，最小kk2r IMMb002）rkkkk1）次多项式，如0 是kk那么他可以最小2rk2这里多项式作为解题工具，只有一个作用。那就最小化残向量SMA-HPC©2003“与外界物热交Krylov的例子吸近端温远端“与外界物热交Krylov的例子吸近端温远端温离散节点平衡方SMA-HPC©2003Krylov近端温离散远端温节点Krylov近端温离散远端温节点平衡方SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003(Rhs＝－1，＋(Rhs＝－1，＋SMA-HPC©2003残向量最小值多项式最优化MMrkk残向量最小值多项式最优化MMrkkkk1是任意的k次顺序多项式，所以有krkSMA-HPC©2003矩阵的放大倍数问题假设y，那么y矩阵的放大倍数问题假设y，那么y比xSMA-HPC©2003回顾向量的范L2L1L回顾向量的范L2L1LSMA-HPC©2003矩阵L阶范1MlxxlxllnM1j矩阵L阶范1MlxxlxllnM1jnMjSMA-HPC©2003矩阵L阶范nx1,1,...矩阵L阶范nx1,1,...maxM1nmaxjMM2通过前面的介绍我们知道，解X的值的变动同一个因子有关，这个因子是关于A的。这个因子是，A (Cond(A)min(SMA-HPC©2003谱半径理论fx1x...谱半径理论fx1x...ppfMM...M01pspectrumfMfspectrumMSMA-HPC©2003收敛性分析矩阵多项式的标M特征空间的条图中英文为：矩阵收敛性分析矩阵多项式的标M特征空间的条图中英文为：矩阵MSMA-HPC©2003收敛性分析矩阵多项式的标SMA-HPC©2003收敛性分析矩阵多项式的标SMA-HPC©2003收敛性分析重要发1）一个Krylov子空间残向量最小化的运算，最多N步收敛于x收敛性分析重要发1）一个Krylov子空间残向量最小化的运算，最多N步收敛于xx1x2....xn，这里iM令M0ininxx1x2..xqqSMA-HPC©2003对称矩阵的收敛性多项式的残余如果M1）M有对称矩阵的收敛性多项式的残余如果M1）M有标准正交的特征如果M正定MSMA-HPC©2003导热棒矩阵的多项式残余量图导热棒矩阵的多项式残余量图SMA-HPC©2003kkSMA-HPC©2003导热棒矩阵的多项式残余量图对称矩阵的收敛Mmin,max,对称矩阵的收敛Mmin,max,0pk（小的多项式性能比较好）多项式的最大最小值问题已经被ChebyshevSMA-HPC©2003对称矩阵的收敛Chebyshev方法：Chebyshev多项对称矩阵的收敛Chebyshev方法：Chebyshev多项SMA-HPC©2003Chebyshev多项式Chebyshev多项式的最小化超出了SMA-HPC©2003对称矩阵的收敛KrylovChebyshev的范SMA-HPC©2003对称矩阵的收敛KrylovChebyshev的范SMA-HPC©2003对称矩阵的收敛KrylovChebyshev的结SMA-HPC©2003对称矩阵的收敛KrylovChebyshev的结SMA-HPC©2003前处KrylovSMA-HPC©2003前处KrylovSMA-HPC©2003前处Krylov让M=D+M其中DD1Mx前处Krylov让M=D+M其中DD1MxID1MndxSMA-HPC©2003系统离散SMA-HPC©2003系统离散SMA-HPC©2003SMA-HPCSMA-HPC©2003前处理矩阵特征SMA-HPC©2003前处理矩阵特征SMA-HPC©2003热流动的例子维密稀疏热流动的例子维密稀疏SMA-HPC©2003前处LU的前处L为下三角矩阵，ULU前处LU的前处L为下三角矩阵，ULUMxLU1b中Mx形式就等LUy。SMA-HPC©2003前处LU前处理（续在真实的LU填充这个LUSMA-HPC©2003前处LU前处理（续在真实的LU填充这个LUSMA-HPC©2003SMA-HPC©2003分解SMA-HPC©2003分解2前处KrylovLU近似分解前处理（续）放弃LUSMA-HPC©2003前处KrylovLU近似分解前处理（续）放弃LUSMA-HPC©2003－Krylov－Krylov－Chebychev－近似LUSMA-HPC©2003数值模拟分析导论数值模拟分析导论——第八讲Jacob感谢ThankstoDeepakRamaswamyJaimePeraireRewienski,andKarenSMA-HPC©2003非线性问——非线性问——理查森和线性收——牛顿——————————SMA-HPC©2003压杆实例SMA-HPC©2003压杆实例SMA-HPC©2003压杆实例提示：求压杆力SMA-HPC©2003压杆实例提示：求压杆力SMA-HPC©2003压杆实例SMA-HPC©2003压杆实例SMA-HPC©2003压杆实例为什么是非线性的增大对压杆的拉杆受力压杆实例为什么是非线性的增大对压杆的拉杆受力大小和方向都发生改SMA-HPC©2003电路实例SMA-HPC©2003电路实例SMA-HPC©2003迭代求解fx0迭代求解fx0Wxkxkfxk1迭代收敛于正确的解迭代收敛的速SMA-HPC©2003定理查森迭代的定fxkx定理查森迭代的定fxkxkxk迭代收敛于方程的一个xkfxkxkx解SMA-HPC©2003实例SMA-HPC©2003实例SMA-HPC©2003实例SMA-HPC©2003实例SMA-HPC©2003实例SMA-HPC©2003实例SMA-HPC©2003收设xkfxxkx收设xkfxxkxfxxkxfxkfx需要xk1SMA-HPC©2003收均值定理SMA-HPC©2003收均值定理SMA-HPC©2003收均值定理的应用xxkxfxfxxk收均值定理的应用xxkxfxfxxk1xxkxfxkfxx f1kxSMA-HPC©2003收理查森法则SMA-HPC©2003线性收或那并如收理查森法则SMA-HPC©2003线性收或那并如实例SMA-HPC©2003实例SMA-HPC©2003问只是线性x,ff-——在电问只是线性x,ff-——在电路中表示位移f表示施加-——在杆件问但是算法fx——SMA-HPC©2003牛顿SMA-HPC©2003通过泰勒公式牛顿SMA-HPC©2003通过泰勒公式展开求图形表示SMA-HPC©2003图形表示SMA-HPC©2003例SMA-HPC©2003二渐渐例例SMA-HPC©2003二渐渐例例SMA-HPC©2003例SMA-HPC©2003收敛SMA-HPC©2003收敛SMA-HPC©2003收敛续SMA-HPC©2003两边同除以dfdx收敛续SMA-HPC©2003两边同除以dfdx收敛实例SMA-HPC©2003收敛实例SMA-HPC©2003收敛实例SMA-HPC©2003注收敛实例SMA-HPC©2003注收敛例子SMA-HPC©2003收敛例子SMA-HPC©2003收敛SMA-HPC©2003证收敛那收敛SMA-HPC©2003证收敛那收敛定df若L有界收敛定df若L有界总是收敛么SMA-HPC©2003收敛实收敛性依赖于给定恰当的初始SMA-HPC收敛实收敛性依赖于给定恰当的初始SMA-HPC©2003收敛收敛性检测需要一个“”来检验是否产生收敛收敛性检测需要一个“”来检验是否产生错误的收SMA-HPC©2003收敛收敛性检测fx”来检验是否产生收敛收敛性检测fx”来检验是否产生错误的收同样需要一个SMA-HPC©2003非线性问——非线性问——理查森和线性收——牛顿——————————SMA-HPC©2003数值模拟数值模拟导论-雅克比·感谢DeepakRamaswamy,JaimeMichalRewienski,andKaren简单回顾一维牛顿——收敛性简单回顾一维牛顿——收敛性检多维牛顿——基本算——雅可比矩阵的描——方程多维收敛——证明局部收敛——收敛性的改fx*x*fx2xffx*x*fx2xfx*xxx*fx2fxxfxSMA-HPC©2003初始给定值，kfxk初始给定值，kfxkxkfxkkkfxk1xk1SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003SMA-HPC©2003收敛性检验SMA-HPC©2003收敛性检验x”来检测是否产生错误的收敛同样需要一个x”来检测是否产生错误的收敛同样需要一个fSMA-HPC©2003收敛性检验SMA-HPC©2003局部收敛SMA-HPC©2003局部收敛Fxff0GFxx0FyL或xllF00Ll 22xyyFyll0 lllFxff0GFxx0FyL或xllF00Ll 22xyyFyll0 llll E0c0l0xxlllfx0lylylfy0llSMA-HPC©2003杆件和节点问题节点分析1i2节点分析1i2gv3gv1v2SMA-HPC©2003Fx*问题：求解出使得xFx*问题：求解出使得xRN且FRN利用泰勒级数展开式RNFx*xxxH.OFxJ雅可比矩阵若近似于精确解则J xSMA-HPC©2003xFx*节点分析xR2且FR2xllF00Llxy节点分析xR2且FR2xllF00LlxyF00LlyG?Jx?FSMA-HPC©2003杆件和节点问题xR2且FR2i12GxR2且FR2i12G在节点2处：i3i2FGgvgvvv1312GJxFSMA-HPC©2003非线性电阻器问JFxxFxxFFxFJFxxFxxFFxF"1N1JFxx#%"##FxNN11SMA-HPC©2003 x为奇数FxFx"1N1JF x为奇数FxFx"1N1JFxx#x%"##FFxNN11SMA-HPC©2003奇数实例x0＝初始计算Fxk,xkF解方程JFxx0＝初始计算Fxk,xkF解方程JFxkk1xxFx求得kkkkkFxk1}xk1,SMA-HPC©2003计算雅可比矩阵和函数考虑节点之间的一个非线性电阻的作用gvb 2Fnvg计算雅可比矩阵和函数考虑节点之间的一个非线性电阻的作用gvb 2Fnvg n2上： n212g vvgn对节点n求偏微分121121SMA-HPC©2003计算雅可比矩阵和函数一个电阻器上受到的电#####gvgvnnv# 计算雅可比矩阵和函数一个电阻器上受到的电#####gvgvnnv# g####11##ngvgv # #2##JF##2#FSMA-HPC©2003进一步计算牛顿算法x0k＝初始值重复Fx进一步计算牛顿算法x0k＝初始值重复Fxk,F将JF和FxkxkxkFxk求得kkFFxk1xk1xk直,足够小为}实例：直通棒中的热流什么是雅可比行实例：直通棒中的热流什么是雅可比行矩阵？SMA-HPC©2003多维收敛定理主要定1kJFJF多维收敛定理主要定1kJFJFxJFylxyz定理陈多维收敛定理重要辅助定JFxJFylxy多维收敛定理重要辅助定JFxJFylxyzl2FxFy yxF2这里没有多维的均值定理SMA-HPC©2003通过牛顿迭代的定义和假定雅可比矩阵逆的极限值得FxkFxkxk通过牛顿迭代的定义和假定雅可比矩阵逆的极限值得FxkFxkxk1FkJx再次利用牛顿迭代的定义FxkFxk1kxk1xkxF0最后利用辅助定理22xkxkxkSMA-HPC©2003等式重xk1xkxkxkxk等式重xk1xkxkxkxk2x1若2xkx0xkkxk1xk则一维必须设法限定X的变一维必须设法限定X的变化范SMA-HPC©2003用牛顿算法求x0重复＝初始值，k计算Fx用牛顿算法求x0重复＝初始值，k计算FxkxkF解方程JFxFx求得kkkkxklimxk1xkkk1Fxk1xk直,足够小}迭代方向正xkxkiiik表示迭代方向正xkxkiiik表示1xi迭代方向错li kkx mi,kx由此推断，牛顿迭代不能保证全局SMA-HPC©2003一般阻尼定解方程JFxxFx 求解kkkk一般阻尼定解方程JFxxFx 求解kkkkkxkxk主要思想：线性搜Fxkkxk12找出k取极使2FxkFxkFxkkxk1kxk122该法在牛顿收敛方向执行一维搜SMA-HPC©2003FkJxJFxyFkJxJFxyx(导数为Lipschitz存在一些列k0,1FFFxk1其中每进行一步迭代则减小了F——全局收敛性SMA-HPC©2003x0k＝重复计算FxkkF解方程JFxx0k＝重复计算FxkkF解方程JFxxFx求得kkkkFxk找出k使kxk取极小xkxkkxkkkFxk1xk}直,足够小为如何求阻尼系数嵌套迭阻尼牛顿奇异雅可比矩阵阻尼牛顿阻尼牛顿奇异雅可比矩阵阻尼牛顿法“推动”迭代趋向局部极小找出雅可比矩阵的奇异SMA-HPC©2003-——收敛性-——收敛性-第十数值-第十数值模拟导改进的牛顿雅克比·怀感谢DeepakRamaswamy,JaimeMichalRewienski,andKaren阻尼牛顿定—若雅可阻尼牛顿定—若雅可比矩阵是非奇异矩阵，则全局收—奇异雅可比矩阵收敛非常困介绍连续定—源/载荷步问牛顿算法牛顿算法求初始给定值，k重复计算Fxk牛顿算法牛顿算法求初始给定值，k重复计算FxkxkFxkxkxkFx求得kFxklimxk1xkkk1fxk1}xk足够直SMA-HPC©2003阻尼牛顿定律一般阻尼定 xxFx求解kk阻尼牛顿定律一般阻尼定 xxFx求解kkkkkxkxk主要思想：线性搜Fxkkxk12找出k使取极2Fxkkxk1Fxkkxk1TFxkkxk122该法在牛顿收敛方向执行一维搜SMA-HPC©2003阻尼牛顿收敛定律如FkJx(反之不成立xy阻尼牛顿收敛定律如FkJx(反之不成立xyx(导数为Lipschitz那存在一些列 0,1使kFxk1Fxkkxk1Fxk其中每进行一步迭代则减小了F——全局收敛SMA-HPC©2003阻尼牛顿1IrrVd Is1Vt阻尼牛顿1IrrVd Is1Vt节点方程v211016ev201f210SMA-HPC©2003实阻尼牛问解答续SMA-HPC©2003阻尼牛问解答续SMA-HPC©2003嵌套迭x0＝初始值，k重复计算Fxk,xkF解方程嵌套迭x0＝初始值，k重复计算Fxk,xkF解方程JFxFx求得kkkkFxk取极小找出 使kxkkkxkxkkkFxk1}xk,如何求阻尼系数SMA-HPC©2003阻尼牛顿定定理证通过定义牛顿迭F1kxkF牛顿方向多维均值迭l2Fx阻尼牛顿定定理证通过定义牛顿迭F1kxkF牛顿方向多维均值迭l2FxFyyxy2xF综合以2