2023年北京重点校初二（下）期中数学试卷汇编：四边形章节综合3

答案第=page2020页，共=sectionpages4646页答案第=page1919页，共=sectionpages4646页2023北京重点校初二（下）期中数学汇编四边形章节综合3一、单选题1．（2023春·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考期中）如图，的对角线与相交于点，，若，，则的长是（

）A．4 B．5 C．6 D．82．（2023春·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（2023春·北京海淀·八年级北大附中校考期中）如图，已知平行四边形，的角平分线交边于点．交延长线于点，如果，那么的度数是（

）A． B． C． D．4．（2023春·北京朝阳·八年级北京八十中校考期中）把一个平面图形分成面积相等的两部分的线段称作这个图形的等积线段，菱形中，，，则菱形的等积线段长度取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2023春·北京朝阳·八年级北京八十中校考期中）如图，矩形，，对角线，交于，若，则的长为（

）A．4 B． C． D．166．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，在中，，F是的中点，作于E，连接、，下列结论不成立的是（

）A． B．C． D．7．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，在中，，E为上一点，且，过D作交于F，则的度数为（

）A． B． C． D．8．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，的对角线相交于点O，且，．则的周长为（

）A．13 B．8 C．7 D．59．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考期中）如图，在矩形中，E是边上的一点，将沿所在直线折叠，点C落在边上，落点记为F，过点F作交于点G，连接．若，，则四边形的面积是（

）A． B． C．20 D．1010．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考期中）在菱形中，若，周长为16，则这个菱形的两条对角线长分别为（

）A．2， B．4， C．4，4 D．，11．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考期中）如图，在中，，，，点D，E分别是边，的中点，那么的长为（

）A． B．2 C．3 D．4二、填空题12．（2023春·北京海淀·八年级北大附中校考期中）如图，在中，，分别为，边的中点，若，则的长为．13．（2023春·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）如图，在中，，在边上截取，连接，过点A作于点E．已知，，如果F是边的中点，连接，那么的长是．14．（2023春·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）如图，菱形的两条对角线，交于点O，若，，则菱形的周长为．

15．（2023春·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，，则的度数为．16．（2023春·北京朝阳·八年级北京八十中校考期中）如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，之间的距离是．17．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，等边边长为2，点D为边延长线上一动点，，，点F是线段的中点，连接．（1）用等式表示线段和的数量关系为：；（2）线段长度的最小值为：．18．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，点A，B为定点，直线，P是l上一动点，点M，N分别为的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的面积；④的大小；⑤直线与之间的距离．其中会随点P的移动而发生变化的是（填序号）．19．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．在转动其中一张纸条的过程中，线段和的长度始终相等，这里蕴含的数学原理是．20．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，在中，，，作于E，则；．21．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考期中）请写出“平行四边形的两组对边分别平行”的逆命题：，此逆命题是（“真”、“假”）命题．三、解答题22．（2023春·北京海淀·八年级北大附中校考期中）对平面上的两个图形，，若平移图形所得的图形与相交，则称为关于的“巡逻平移图形”，称关于的所有巡逻平移图形所组成的整体，为关于的“巡逻区域”，其面积为关于的“巡逻面积”．示例：如下图，线段是线段关于线段的一个巡逻平移图形；平行四边形是线段关于线段的巡逻区域．注：图中每个小方格都是边长为1的正方形．(1)①请在图中画出线段关于线段的巡逻区域，其面积为______；②已知线段和线段的长度分别为1，，且关于的巡逻面积为1，则的取值范围是______；(2)图中三角形区域关于平行四边形区域的巡逻面积为______；注：此处所指的三角形区域，平行四边形区域，以及下文的正方形区域均包含内部的所有点．(3)①若线段关于某边长为1的正方形区域的巡逻面积为3，则线段长度的最小值为______；②若正方形区域关于某长度为1的线段的巡逻面积为12，则边长的最小值为______．23．（2023春·北京海淀·八年级北大附中校考期中）如图，每个小正方形的边长都是1，，，，均在网格的格点上．(1)判断是否为直角：______．（填写“是”或“不是”）(2)直接写出四边形的面积为______．(3)找到格点，并画出四边形（一个即可），使得其面积与四边形面积相等．24．（2023春·北京海淀·八年级北大附中校考期中）如图，在中，，在边上截取，连接，过点作于点．已知，，如果是边的中点，连接，求的长．

25．（2023春·北京海淀·八年级北大附中校考期中）如图，点、是平行四边形的对角线上的两点．．求证：．26．（2023春·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明．(1)如图1，点D，E分别是的边，的中点，求证：，且；(2)如图2，四边形中，点M是边的中点，点N是边的中点，若，，，直接写出的长．27．（2023春·北京朝阳·八年级北京八十中校考期中）在平面直角坐标系中，若，为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“相关矩形”．图1为点，的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为(1)如图2，点的坐标为．①若，则点A，的“相关矩形”的面积是_____________；②若点A，的“相关矩形”的面积是8，则的值为_____________．(2)如图3，点在过点且平行轴的直线上，若点A，的“相关矩形”是正方形，直接写出点的坐标；(3)如图4，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，若在的边上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围．28．（2023春·北京朝阳·八年级北京八十中校考期中）如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上，(1)的面积为__________；(2)若以点A，，，为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有点的位置．29．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M、N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P、Q两点间距离的最大值和最小值分别为和，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，．(1)若E为边上任意一点，则的最大值为______，最小值为______，因此k（点O，）＝______；(2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中．①若，则k（线段，）______；②若（线段，），求m的取值范围；(3)若的对角线交点为O，且顶点在直线上，顶点在直线上，其中，请直接用含n的代数式表示．30．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）已知，．(1)如图1，若以为边作等边，且点E恰好在边上，直接写出此时的面积；(2)如图2，若以为斜边作等腰直角，且点F恰好在边上，过C作交BF于G，连接．①依题意将图2补全；②用等式表示此时线段之间的数量关系，并证明；(3)如图3，以为边作，且，．若，直接用等式表示此时与的数量关系．31．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，在中，点E在上，点F在上，且．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若为的平分线，且，，求的周长．32．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考期中）下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程．已知：如图，在Rt中，，O为的中点．求作：四边形，使得四边形为矩形．作法：①作射线，在线段的延长线上截取；②连接，，则四边形为矩形．根据小丁设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：点O为的中点，．又①____________，四边形为平行四边形（②_____）．（填推理的依据），为矩形（③____________）．（填推理的依据）

参考答案1．D【分析】根据平行四边形的性质得出，利用勾股定理得出，进而利用平行四边形的性质得出即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，，∴，∵，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解答本题的关键．2．D【分析】利用矩形的性质求得，据此求解即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，掌握矩形的性质并准确识图是解题的关键．3．B【分析】先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据平行线的性质即可得．【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，是的角平分线，，又，，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．4．D【分析】根据过菱形对角线交点的直线l将该菱形分成面积相等的两部分，设直线l交于点F，交于点E，则的长即为a的值．根据当时a最小，当线段与线段重合时a最大，结合题干所给条件和含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．【详解】解：∵过菱形对角线交点的直线l将该菱形分成面积相等的两部分，设直线l交于点F，交于点E，∴“等积线段”即为线段，即的长即为a的值．∵当直线时，最短，∴的最小值即为此时的长．过点作于点N，∵四边形为菱形，∴，∴．∵，，∴，∴四边形为平行四边形，∴．∵，，∴，∴，∴，∴，即的最小值为；∵当线段与线段重合时，最长，∴的最大值即为的长．∵，∴，∴，∴，∴，即的最大值为，∴的取值范围是．故选D．【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识．理解当时a最小，当线段与线段重合时a最大是解题关键．5．B【分析】根据矩形的性质，证明是等边三角形，再根据勾股定理即可求出的长．【详解】解：四边形是矩形，，，，，是等边三角形，，在中，，故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．6．D【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．【详解】解：∵F是的中点，∴，∵在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故选项A不符合题意；延长，交延长线于M，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵F为中点，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故选项B不符合题意；∵，∴，设，则，∴，，∴，∵，∴，故选项C不符合题意，∵，∴，∵，∴，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出．7．C【分析】利用等腰三角形的性质得到平分，利用平行四边形的性质得到，，据此即可求解．【详解】解：∵，，∴平分，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．8．B【分析】根据平行四边形的性质即得出，，，再根据三角形的周长公式求解即可．【详解】解：∵的对角线相交于点O，∴，，，∴．故选B．【点睛】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形的对角线互相平分，对边相等是解题关键．9．A【分析】根据题意和勾股定理，可以求得的长，设，利用勾股定理列出方程，进而求得和的值，证明四边形是平行四边形，从而可以得到面积．【详解】解：由折叠可知：，，，则在矩形中，，，，，，设，则，，，，解得，，，，，，，，四边形是平行四边形，四边形的面积是：，故选A．【点睛】本题考查翻折变化、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．10．B【分析】连接、，、交于点，判定是等边三角形，即可得到，再根据等边三角形的性质得到，求出，根据勾股定理即可得到的长．【详解】解：如图所示，，连接、，、交于点，四边形是菱形，，，又菱形的周长为16，，又，是等边三角形，，，在中，，．故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．关键是画图并找出图中的等边三角形．11．B【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：点，分别是边，的中点，，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．12．6【分析】直接根据三角形中位线定理即可得．【详解】解：在中，，分别为，边的中点，且，故答案为：6．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．13．1【分析】根据勾股定理确定的长度，进而确定的长度；再根据等腰三角形三线合一的性质确定E为中点，再根据中位线的性质求出的长度．【详解】解：∵，，，∴，∵，，∴E为中点，．∴，又∵F是的中点，∴是的中位线，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形三线合一的性质和中位线的性质，熟练掌握以上知识点并运用数形结合的思想是解题关键．14．【分析】利用菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理，求出菱形的边长，即可求解．【详解】解：∵菱形的两条对角线，交于点O，，，∴，，∴，∴菱形的周长为；故答案为：．【点睛】本题考查求菱形的性质、勾股定理．熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是解题的关键．15．/135度【分析】根据正方形的性质，得到，进而得到，利用三角形的内角和定理，进行求解即可．【详解】解：∵正方形中，点E是对角线上的一点，且，∴，，∴，，∴；故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握等边对等角，是解题的关键．16．【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得，即可得到答案．【详解】解：为直角三角形，，点D为AB的中点，，，即，之间的距离是，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边中线的性质．17．/【分析】（1）延长至点M，使，连接、，先证明，得出，则，再证，得，据此即可求解；（2）连接，取的中点N，作射线，先由等腰三角形的性质得，再由三角形中位线定理得，则，得出点F的轨迹为射线，且，当时，最短，然后由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：（1）如图1，延长至点M，使，连接、，∵点F是线段的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，

∵是等边三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴是等边三角形，∴；故答案为：；（2）如图2，连接，取的中点N，作射线，∵，，∴，∵点N是的中点，∴是的中位线，∴，∴，∴点F的轨迹为射线，且，当时，最短，∵，∴，在，，∴，∴线段长度的最小值为：．故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形和判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理，作出合适的辅助线，是解题的关键．18．②④【分析】根据中位线，平行线间的距离处处相等，进行判断即可．【详解】解：∵点M，N分别为的中点，∴是的中位线，∴，，∵为定值，∴为定值，①不符合要求；的周长为，∵为变化的量，∴的周长变化，②符合要求；∵，，∴，∴到的距离为定值，∴为定值，③不符合要求；设减少的量为，增加的量为，由题意知，，，∵，与不一定相等，∴的大小随着的变动而变化，④符合要求；∵，直线与之间的距离是定值，⑤不符合要求；∴发生变化的为②④，故答案为：②④．【点睛】本题考查了中位线，平行线之间距离处处相等．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．19．两组对边分别平行的四边形是平行四边形【分析】根据题意可证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质即可得到．【详解】解：蕴含的数学原理是两组对边分别平行的四边形是平行四边形，∵，，∴四边形是平行四边形，∴．故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”．20．/30度【分析】利用平行四边形的性质求得，根据三角形内角定理即可求得；利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求得的长．【详解】解：∵四边形是平行四边形，，∴，∵，∴，∴；∵四边形是平行四边形，，∴，∴，，故答案为：，．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．21．两组对边分别平行的四边形是平行四边形真【分析】写出原命题的逆命题，根据平行四边形的判定定理判断即可．【详解】解：“平行四边形的两组对边分别平行”的逆命题是：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，是真命题，故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，真．【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．22．(1)①画图见解析，8；②(2)(3)①；②【分析】（1）①先根据题意画出对应的图形，然后利用网格求出面积即可；②先画出线段关于线段的巡逻区域，过点G作交延长线于M，由关于的巡逻面积为1，求出，由此即可得到答案；（2）如解析图，先画出三角形区域关于平行四边形区域的巡逻区域，然后利用网格求出面积即可；（3）①如图所示，是边长为1的正方形，则由平行四边形和正方形组成的区域即为线段关于正方形区域的巡逻区域，其中，过点作于N，过点K作于M，证明，得到，设，由线段关于正方形区域的巡逻面积为3，推出，再由勾股定理得到，则，即可求出线段长度的最小值为；②如图所示，线段，则由平行四边形和正方形组成的区域即为区域S关于线段的巡逻区域，过点C作于T，于W，证明四边形是矩形，则，设，正方形区域S的边长为，由正方形区域关于线段的巡逻面积为12，推出，由勾股定理得，再证明，得到进而求出或（舍去），则边长的最小值为．【详解】（1）解：①如图所示，平行四边形即为线段关于线段的巡逻区域，其面积为；②如图所示，设，则平行四边形是线段关于线段的巡逻区域，即平行四边形是线段关于线段的巡逻区域，∴，过点G作交延长线于M，∵关于的巡逻面积为1，∴，∴，∴，∴；（2）解：如图所示，即为三角形区域关于平行四边形区域的巡逻区域，∴三角形区域关于平行四边形区域的巡逻面积为；（3）解：①如图所示，是边长为1的正方形，则由平行四边形和正方形组成的区域即为线段关于正方形区域的巡逻区域，其中，过点作于N，过点K作于M，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，设，∵线段关于正方形区域的巡逻面积为3，∴平行四边形和正方形组成的区域的面积为3，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，，∵，∴，∴，∴，∴线段长度的最小值为；②如图所示，线段，则由平行四边形和正方形组成的区域即为区域S关于线段的巡逻区域，过点C作于T，于W，∴，∴四边形是矩形，∴，设，正方形区域S的边长为，∵正方形区域关于线段的巡逻面积为12，∴平行四边形和正方形组成的区域的面积为12，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵都是非负数，∴，∴，∴，即，∴，∴由乘法的性质可得或，∴或（舍去），∴边长的最小值为．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，完全平方公式的变形求值，矩形的性质与判断，全等三角形的性质与判定等等，正确画出对应的巡逻区域示意图是解题的关键．23．(1)不是(2)14(3)见解析（答案不唯一）【分析】（1）先利用勾股定理分别求出的长，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可得；（2）利用分割法求解即可得；（3）先利用平行四边形的性质找到格点，再利用等高模型画出图形即可．【详解】（1）解：，，，，不是直角，故答案为：不是．（2）解：四边形的面积为，故答案为：14．（3）解：如图，点和四边形即为所求．【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．24．2【分析】先利用勾股定理可得，从而可得，再根据等腰三角形的三线合一可得点是的中点，然后根据三角形中位线定理即可得．【详解】解：在中，，，，，，，又，，点是的中点，是边的中点，．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的三线合一、三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．25．证明见解析【分析】先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定可得，然后根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：四边形是平行四边形，，，，在和中，，，．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．26．(1)见解析(2)6【分析】（1）如图所示，延长到F，使得，证明，得到，则，再由点D是的中点，得到，即可证明四边形是平行四边形，则，，再由，即可证明；（2）如图所示，连接并延长交延长线于E，证明，得到，，即点N是的中点，由（1）的结论可知，则．【详解】（1）证明：如图所示，延长到F，使得，∵点E是的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵点D是的中点，∴，∴四边形是平行四边形，∴，，又，∴，∴，且；（2）解：如图所示，连接并延长交延长线于E，∵，∴，∵点N是的中点，∴，在和中，，∴，∴，，即点N是的中点，又∵点M是的中点，∴由（1）的结论可知，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．27．(1)6，或5(2)或(3)或【分析】（1）①由矩形的性质结合图形和“相关矩形”的定义即可得出点A，B的“相关矩形”的面积为6；②分类讨论：当点B在点A左侧时和当点B在点A右侧时，画出图形，结合矩形的性质结合“相关矩形”的定义即可得出的值为或5；（2）由题意可知点A到直线l的距离为，即得出点A，的“相关矩形”是正方形时的边长为3．分类讨论：当点C在点A左侧时和当点C在点A右侧时，画出图形，结合正方形的性质和“相关矩形”的定义即可得出点C的坐标；（3）由题意可求出，，．分类讨论：①当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或；②当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或；③当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或，即得出答案．【详解】（1）解：①当时，点的坐标为，如图．∵，∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为．故答案为：6；②分类讨论：当点B在点A左侧时，如图点，由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为，解得：；当点B在点A右侧时，如图点，由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为，解得：．综上可知的值为或5．故答案为：或5；（2）解：∵点在过点且平行轴的直线上，，∴点A到直线l的距离为，∴点A，的“相关矩形”是正方形时的边长为3．分类讨论：当点C在点A左侧时，如图点C，∴，，即；当点C在点A右侧时，如图点，∴，，即．综上可知点的坐标为或；（3）解：∵点M的坐标为，∴点M在直线上．∵是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，，∴，∴，∴．分类讨论：①当点N在边上时，若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时，若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时，则此时m的取值范围为；若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时，若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时，则此时m的取值范围为，∴此时m的取值范围为或；②当点N在边上时，若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时，若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时，则此时m的取值范围为；若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时，若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时，则此时m的取值范围为，∴此时m的取值范围为或；③当点N在边上时，点M，N的“相关矩形”为正方形，其边长为定值2，若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时，若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时，则此时m的取值范围为；若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时，若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时，则此时m的取值范围为，∴此时m的取值范围为或．综上可知的取值范围是或．【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的性质，坐标与图形，等边三角形的性质，勾股定理等知识．理解”相关矩形”的定义，并利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．28．(1)5(2)见解析【分析】（1）根据割补法即可求出的面积；（2）根据平行四边形的判定，画出图形，即可得到点的位置．【详解】（1）解：的面积，故答案为：5；（2）解：如图所示，即为所有点的位置．【点睛】本题考查了割补法求三角形面积，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定条件是解题关键．29．(1)2，1，2(2)①6；②或或或(3)当且时，【分析】（1）如图1，过作于，过作于，与轴交于，则四边形是正方形，由题意知，当与或重合时，最大，当与重合时，最小，求，，根据(点，)，计算求解即可；（2）①如图2，设直线的解析式为，则，解得，即，，由题意知，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，根据(线段，)定义求解即可；②将代入，解得，即，分当时；当时；当时；当时；表示出最大与最小距离，然后解一元一次不等式组求解满足要求的解即可；（3）如图3，将代入，解得，即，由，可得，由（2）可知，将的边等同于线段时求的求解方法求解即可．【详解】（1）解：如图1，过作于，过作于，与轴交于，则四边形是正方形，由题意知，当与或重合时，最大，当与重合时，最小，∴，，∴最大为2，最小为1，(点，)，故答案为：2，1，2；（2）解：如图2，设直线的解析式为，则，解得，∴，当，，∴，由题意知，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，∴(线段，)，故答案为：6；②解：将代入，解得，