北京市顺义区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题【含答案解析】

顺义区2023—2024学年第一学期期末质量监测高二数学试卷考生须知1.本试卷共6页，共两部分，21道小题，满分150分.考试时间120分钟.2.在答题卡上准确填写学校、姓名、班级和教育ID号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.考试结束后，请将答题卡上交.第一部分（选择题共40分）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.直线l：的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据斜率即可求解倾斜角.【详解】直线的斜率为1，故倾斜角为，故选：B2.在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则点B的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，从而得到方程组，求出，得到答案.【详解】设，则，故，解得，所以点坐标为故选：C3.圆：与圆：的位置关系是（）A外离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】A【解析】【分析】根据圆心距大于半径之和，得到位置关系.【详解】圆：的圆心为，半径为1，圆：的圆心为，半径为3，圆心距，故两圆外离故选：A4.在数列中，，且，则等于（）A.4 B.6 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】根据条件得到为公比为2的等比数列，从而求出答案.【详解】因为，，所以为公比为2的等比数列，所以.故选：C5.在长方体中，，，，则点D到平面的距离为（）A.1 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量为，以及，由公式即可得解.【详解】由题意，以为原点，分别为轴所在直线建立如图所示的空间直角坐标系：因为，，，所以，则，不妨设平面的法向量为，所以，不妨令，解得，即取平面的法向量为，所以点D到平面的距离为.故选：D.6.已知双曲线C经过点，其渐近线方程为，则双曲线C的方程为（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由渐近线方程可设双曲线为且，再由点在双曲线上，将点代入求参数m，即可得双曲线方程.【详解】由题设，可设双曲线为且，又在双曲线上，所以，则双曲线的方程是.故选：C.7.已知直线：，：.若，则实数（）A.0或 B.0 C. D.或2【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行得到方程，求出或，检验后得到答案.【详解】由题意得，解得或，当时，直线：，：，满足，当时，直线：，：，两直线重合，不合要求，舍去，综上，.故选：B8.已知等比数列的首项，公比为q，记（），则“”是“数列为递减数列”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前项和公式、充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】因为等比数列公比，，所以，，当时，对于不一定恒成立，例如；当为递减数列时，对于恒成立，又因为，所以得，因此“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件，故选：C.9.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气.立竿测影，得其最短日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，春分日影长为7.5尺，则这十二个节气中后六个（春分至芒种）日影长之和为（）A.8.5尺 B.30尺 C.66尺 D.96尺【答案】B【解析】【分析】利用等差数列基本量列方程组、方程求解.【详解】设这个等差数列为，公差为，首项为冬至日最短日影长，根据题意有即，解得所以.故选:B10.如图，在正方体中，E是棱上的动点，则下列结论正确的是（）A.直线与所成角的范围是B.直线与平面所成角的最大值为C.二面角的大小不确定D.直线与平面不垂直【答案】D【解析】【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，由直线方向向量夹角余弦的范围即可判断；对于B，由线面角正弦值的公式即可判断；对于C，由两平面的法向量夹角余弦即可判断；对于D，由即可判断.【详解】以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：不妨设正方体棱长为1，，对于A，，不妨设直线与所成角为，所以，当增大时，分别减小，增大，所以关于单调递减，所以，所以，故A错误；对于B，由题意，且显然平面的法向量为，不妨设直线与平面所成角为，则单调递增，，所以，所以，故B错误；对于C，，所以，不妨设平面与平面的法向量分别为，所以有和，令，解得，即取平面与平面的法向量分别为，二面角为锐角，不妨设为，则，所以二面角的大小为，故C错误；对于D，，所以，所以与不垂直，所以直线与平面不垂直.故选：D.【点睛】关键点睛：C选项的关键是看两平面法向量夹角是否固定不变，由此即可顺利得解.第二部分（非选择题共110分）二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡上.）11.已知等差数列的首项为，且，则______.【答案】24【解析】【分析】由等差数列的通项公式可得.【详解】因为是等差数列，，，设公差为d，可得，解得，所以，故答案为：24.12.已知平面的法向量为，，若直线AB与平面平行.则______.【答案】1【解析】【分析】根据题目条件得到与垂直，从而得到方程，求出答案.【详解】因为直线AB与平面平行，所以与垂直，即，解得.故答案为：113.已知圆C：，若直线与圆C有两个不同的交点，写出符合题意的一个实数k的值______.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】运用直线和圆的位置关系直接求解即可.【详解】已知直线与圆C有两个不同的交点，且设圆心到直线的距离为，化简圆方程得，故有，解得.故答案为：(答案不唯一)14.探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线C：，一条光线经过点，与x轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点M到点N经过的总路程为______.【答案】24【解析】【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解.【详解】由题意可知：抛物线C：的准线，设入射光线所在直线与抛物线和准线分别交于点，两次反射后反射光线所在直线与抛物线和准线分别交于点，可知，所以光线从点M到点N经过的总路程为.故答案为：24.15.在数列中，若，（，，p为常数），则称为“等方差数列”，给出以下四个结论：①不是等方差数列；②若是等方差数列，则（，k为常数）是等差数列；③若是等方差数列，则（，k、l为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列也一定是等比数列.其中所有正确结论的序号是______.【答案】②③【解析】【分析】根据等方差数列定义可判断①③；根据等方差数列定义结合等差数列的定义判断③④.【详解】对于①，时，为常数，故是等方差数列，①错误；对于②，若是等方差数列，即有，（，，p为常数）则为常数，故（，k为常数）是等差数列，②正确；对于③，若是等方差数列，即有，（，，p为常数），则，故为常数，则（，k、l为常数）也是等方差数列，③正确；对于④，若既是等方差数列，又是等差数列，则时，，且（d为常数），则，当时，则为常数列，满足是等方差数列，若，则不为等比数列，④错误；故答案为：②③【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于理解等方差数列的定义，明确其含义，并由此结合等差数列以及等比数列的定义求解即可.三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知数列是等比数列，，（）.（1）求数列的通项公式；（2）若为等差数列，且满足，，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出公比，得到通项公式；（2）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到答案【小问1详解】设等比数列的公比为q，因为，，所以，所以，所以；【小问2详解】等差数列的公差为d，则，，解得，，所以数列的前n项和公式为.17.已知是正方体，点E为的中点，点F为的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用的数量积来判断垂直关系；（2）利用空间向量法求二面角余弦值即可.【小问1详解】∵是正方体，∴两两垂直，∴以为x轴，以为y轴，以为z轴如图建系:设，∴，，，，，，，∴，，∴，∴【小问2详解】平面FCB的法向量，设平面EFC的法向量，，，，令，得，；∴，设二面角的平面角为，则，∴二面角余弦值为.18.如图，已知M是抛物线C：（）上一点，F是抛物线C的焦点，以Fx为始边，FM为终边的，且，l为抛物线C的准线，O为原点.（1）求抛物线C的方程；（2）若直线FM与抛物线C交于另一个点N，过N作x轴的平行线与l相交于点E.求证：M，O，E三点共线.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）方法1：作出辅助线，由焦半径公式和得到为等边三角形，求出，得到抛物线方程；方法2：过M作轴，垂足为G，设点M的横坐标为，得到方程组，求出答案；方法3：点，求出，代入抛物线方程中，得到方程，求出，得到答案；（2）求出直线FM的方程，联立抛物线方程，得到M，进而得到E，从而求出，，证明出结论.【小问1详解】方法1：过M作，垂足为A，连结FA，则，因为，所以，为等边三角形，故.因为，所以，即，故抛物线C的方程为.方法2：过M作轴，垂足为G，则.设点M的横坐标为，根据题意得：解得.抛物线C的方程为.方法3：设点，则，因为在抛物线C上，所以，化简得，解得或（舍）.抛物线C的方程为.【小问2详解】证明：抛物线C的焦点，，直线FM的方程为.联立方程得，解得，，所以，M点坐标为，E点坐标为，因为，.所以M，O，E三点共线.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系，处理三点共线，四点共圆，或两直线倾斜角互补或相等问题时，往往会转化为斜率之和为0或斜率相等，进而列出方程，代入计算即可.19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，是等边三角形，平面平面，M为PC的中点.（1）求证：平面；（2）求MD与平面ABCD所成角的正弦值；（3）设点N在线段PB上，且，PA的中点为Q，判断点Q与平面MND的位置关系，并说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）点Q在平面MND内，理由见解析【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行；（2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，进而得到OB，OD，OP两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到线面角的正弦值；（3）求出平面MND的法向量为，计算出，得到，从而得到点Q在平面内.【小问1详解】连接交于E，连接.∵四边形是菱形，∴E为中点，∵M是线段中点，∴ME是中位线，∴，又∵平面，平面，∴平面.【小问2详解】取中点O，连接、，∵是等边三角形，∴.∵四边形是菱形，，∴是等边三角形.∴.∵平面平面，平面平面，在平面内，∴平面.∵平面，∴⊥，∴，，两两垂直.∴以为坐标原点，以为x轴，以为y轴，以为z轴建立坐标系.如图，∴，，，，，，，∴∴平面的法向量为.设与平面所成角为，则.∴与平面所成角正弦值.【小问3详解】点Q在平面内，理由如下：连接，∵，∴，∴，设平面的法向量为，则，令得，，∴.∵的中点为Q，∴，.∴.∴.∵D在平面内，∴DQ在平面内.∴点Q在平面内.20.已知椭圆E：（）与y轴的一个交点为，离心率为.（1）求椭圆E的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆E交于点B，过点A与l垂直的直线与直线交于点C.若为等腰直角三角形，求直线l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据椭圆上的点和离心率求出椭圆方程；（2）方法1，设出l的方程与椭圆联立方程组，求出点的坐标，根据为等腰直角三角形列式运算得解；方法2，过点A作直线的垂线，垂足为D，再过点B作直线的垂线，垂足为F，易判断，可得，求出点坐标，得解.【小问1详解】由已知得解得，.所以椭圆E的方程为.【小问2详解】方法1：由题意可知，直线l与y轴不垂直，又当l与x轴垂直时，显然.所以，设直线l的方程为（），联立方程，消去y整理得（*），易得，设点，则由点及方程（*）的根与系数的关系得，，，因为，所以直线的方程为，将代入，解得.故点C的坐标为.由为等腰直角三角形知，即，化简整理得，即，解得所以直线l的方程为或.方法2：由题意可知，直线l与y轴不垂直，又当l与x轴垂直时，显然.过点A作直线的垂线，垂足为D，再过点B作直线的垂线，垂足为F.因为，所以.当时，易判断.所以.由，求得，由此可知点B的坐标为或，直线l的斜率或，所以直线l的方程为或.【点睛】关键点睛：本题第二问方法二，关键利用点到直线的距离为1，利用图形构造全等三角形得到点B的坐标为或，得到直线l的方程.21.设数列的前n项和为.若对任意.总存在.使得.则称是“M数列”.（1）判断数列（）是不是“M数列”，并说明理由；（2）设是等差数列，其首项.公差.且是“M数列”①求d的值和数列的通项公式：②设，直接写出数列中最小的项.【答案】（1）不是，理由见解析（2）①，；②【解析】【分析】（1