2022-2023学年北京市高一年级上册期末试题数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年北京市高一上册期末试题数学模拟试题

（含解析）

一、单选题

I.已知集合A={-1,0,1},集合B=WX2=ι},那么A8=（）

A.{1}B.{-l,l}C.{0,l}D.{-1,0,1）

【答案】B

【分析】先化简集合B=NX2=]},再根据集合间的运算关系即可求解AC3.

【详解】√=1,：.x=±l,.∙.β≈{x∣x2=l}={-l,∣},.∙.AB={-l,0,l）{-l,l}={-l,l}.

故选：B

2.下列说法正确的是（）

A.若1>h,PPJac2>bc2B.若a>b,c>d,则α+c>8+d

C.若a>b,c>d,则呢>bdD.若b>α>0,c>0,则一十）

a+ca

【答案】B

【分析】利用特殊值判断A、C,根据不等式的性质判断B,利用作差法判断D.

【详解】对于A：当C=O时，ac2=bc2,故A错误；

对于B：若。>人，od,则α+c>6+d,故B正确；

对于C：当。=-1力=-2,c=4,d=l时满足α>"c>d,但acva/,故C错误；

h+cba（b-irc∖-b（a+c}c（a-b∖C

对于D：若人>。>0,c>0,则α-b<O,a+c>0.所以-------=------;----;----=—7------c<θ,

a+caa[a+c）a（a+c）

所以故D错误.

a+ca

故选：B.

JT

3.已知弧长为4;T的扇形圆心角为丁，则此扇形的面积为（）

6

A.24万B.36%C.48;TD.96π

【答案】C

【分析】根据题意求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式即可得解.

【详解】解：设扇形的半径为R，

因为弧长为4;T的扇形圆心角为f,

所以丁R=44,所以R=24,

6

11TT

所以此扇形的面积为77xgR2=48-

故选：C.

4.函数/(x)=3x+k>g2X的零点所在区间为()

A∙(悬)b∙(U)c∙(H)D团

【答案】C

【分析】由函数/(x)=3x+log?x,分别求得区间端点的函数值，结合函数的单调性和函数零点存在

定理，即可求解.

【详解】函数〃尤)=3x+log2%,可得函数”x)在(O,+e)上单调递增，

S⅛∕⅛=3×⅛+log2⅛=ɪ-4<0,∕φ=∣-3<0,/(l)=l-2<0,/(∣)=∣-l>0,

/⑴=3>0,所以fg)∕(g)<O,

所以函数/(x)的零点所在区间为

故选：C.

5.“α=kπ+∕JMeZ"是“tana=tanQ”成立的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由题意分别考查充分性和必要性即可求得最终结果.

【详解】当tanα=tan/时，一定有α="+尸，Z∈Z,即必要性满足；

当α=苧,/?=]时-，其正切值不存在，所以不满足充分性；

所以“α=氏兀+6MeZ”是“tanα=tan?”成立的必要不充分条件，

故选：B.

【点睛】关键点点睛：该题主要考查的是有关充分必要条件的判断，正确解题的关键是要注意正切

值不存在的情况.

6.若对任意的Xe(O,+∞)都有x+1≥α,则。的取值范围是()

X

A.(~∞,2]B.(-∞,2)

C.(2,-Ko)D.[2,-Ko)

【答案】A

【解析】利用基本不等式，可求得χ+L的最小值，即可求得答案.

X

【详解】因为Xe(0,+∞),则x+∙S∙≥2jx'=2,

当且仅当X=L,即X=I时等号成立，

X

所以α≤2,

故选：A

7.函数/(x)=∕∙SinX在区间上的图象大致为()

e*+lL22」

【分析】根据函数奇偶性结合当xe1θg时函数值的符号性分析判断.

e*—1e7x—1(Pr—]]-ex1

【详解】∙.∙∕W-∕(-^)=^r^∙sinx--7^∙sin(-x)=l-7-^+y--7Isinx=O,即/(x)=∕(-x),

∙∙.∕(χ)为偶函数;

又•；当Xe(O时，则SinX>O,e*>e°=l,i⅛e'+1>0,et-l>0,

Λ∕(x)>0;

综上所述：A正确，B、C、D错误.

故选：A.

8.若函数y=Jfcc2-2χ+l的定义域为R,则实数Z的取值范围是()

A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.[l,+∞)D.R

【答案】C

【分析】对参数分类讨论，结合三个二次的关系可得结果.

【详解】函数y=¼2-2X+1的定义域为R等价于辰2-2x+1..0恒成立，

当k=0时，显然不恒成立;

当女片0时，由左>0,Δ=4-<,0,得∕≥1,

综上，实数女的取值范围为［1,E)∙

故选：C.

fu

9.设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(y,0)上单调递增，设α=0.3,b=l,C=Iog30.2,则

()

A./(c)>∕(a)>∕(⅛)B./(a)>∕(c)>∕(⅛)

C./(«)>/(/?)>/(c)D.f(c)>f(b)>f(a)

【答案】C

【分析】先根据指对数判断〃c,-c的大小关系，在根据单调性结合偶函数的性质分析判断.

【详解】：O<α=O.3°2<0.3°=b,c=log30.2<log,∣=-l,.,.-c>∖=h.

又函数/(x)是定义域为R的偶函数，且在(—,0)上单调递增，

.∙.f(-c)=/(c),且在(0,«o)上单调递减.

X0<α<⅛<-c,Λf(a)>f(b)>f(-c)=f(c).

故选：C.

10.下列结论中错误的是()

A.终边经过点(〃4机)("?>0)的角的集合是1ɑ=；+2E次€21

B.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是1；

C.M=∣x∣x=45+Z∙90,攵∈z},N={y∣y=90+h45次∈z},则Λ/qN；

D.若α是第三象限角，则［是第二象限角.

2

【答案】D

【分析】根据终边相同的角的集合的概念以及特征可判断AC：定义根据角的概念可判断B；由象限

角的概念可判断D.

【详解】终边经过点(利，〃)(〃?>0),则该终边为第一象限的角平分线，

即角的集合是Iaa=E+2E,LeZ∣,故A正确：

将表的分针拨慢10分钟，则旋转的角度为60°,即分针转过的角的弧度数是故B正确；

M={x∖x=45+h90,AwZ}表示终边为一三象限、二四象限的角平分线的角的集合，

N=}∣y=90+%∙45,ZeZ}表示终边为一三象限、二四象限的角平分线以及坐标轴上的角的集合，

即MUN,故C正确；

3Jr

由于α为第三象限角，所以2E+ττ<α<2E+-(A:eZ),

2

故⅛π+∙^W<E+,*∈Z),所以六是第二或第四象限角，故D错误；

故选：D.

11.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：IOOmI血液中酒精

含量达到2079mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上人定为醉酒驾车，某驾驶员喝了一定量的

酒后，其血液中酒精含量上升到了0.6mg/mɪ,如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%

的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车(参考数据：lg2=0∙301,lg3=0.477)()

A.3B.4C.5D.7

【答案】B

【分析】由题意可知经过“、时后，体内的酒精含量为0.6x(；]mg∕ml,令0∙6x(1)'<0.2求出，的

取值范围，即可求出结果.

【详解】解：经过f小时后，体内的酒精含量为：0.6χ(qJmg∕ml,

只需0.6x(]<0.2,

.•.,>凡」=普=-妒―/°477=38,

;3ɪg-21g2-lg30.602-0.477

.∙.他至少要经过4个小时后才能驾车.

故选：B.

12.定义域为R的函数的图象关于直线X=I对称，当x∈[0,l]时，f(x)=x,且对任意XdR,

有〃》+2)=-〃力，8(幻=：/,则方程g(x)-g(—x)=0实数根的个数为()

[―IOg2023(一幻，X<U

A.2024B.2025C.2026D.2027

【答案】B

【分析】由于题意可得函数/(X)以4为周期，分x>0,x<O,X=O三种情况讨论，把问题转化函

数图象交点个数问题，作出函数图象，结合函数的周期性即可得解.

【详解】对任意XeR有/U+2)=-∕(χ),得/(x+4)=-∕(x+2)=∕(x),则函数/(x)以4为周期，

由于函数/(x)的图象关于直线X=I对称，则"x)=∕(2-力，又〃x+2)=—

所以“x+2)+∕(2-x)=0,则函数/(χ)的图象关于(2,0)对称.

当x>0时，-x<Q,由g(x)-g(τ)=0得g(x)=g(-x),则/(x)=-k>g2Q23X,

作出y=/(χ)与y=-iog2a23^的大致图象如图，

4-Iog2023X=-I,则x=2023,而2023=4x505+3,

由图可知，y=∕(x)与y=-log2023X在(0,+8)上有3+504x2+1=1012个交点；

当x<0时，-x>0,由g(x)=g(-x)得：Tog2o23(-x)=∕(-x),

令-X=f,t>0,f⅜∕(r)=-log202√,

由上述可知，丫="。与产-1。82023，在(0，+8)上有3+504*2+1=1012个交点,

故y=/(-χ)与γ=-Iog2023(-χ)在(-8,0)上有1012个交点，

又X=O时，g(x)_g(-x)=O成立，

所以方程g(x)-g(-x)=0实数根的个数为2x1012+1=2025.

故选：B.

二、填空题

0

13.3×2-log28+(27)5=•

【答案】3

【分析】利用指数嘉和对数的运算性质求解即可.

ɪɪ

0335

【详解】3×2-log28+(27)3=3-log22+(3)=3-3+3=3-

故答案为：3.

14.函数y=lgx+二；的定义域是________.

X-I

【答案】(0,1)一(1,物)

【分析】根据函数表达式,列出不等式组即可解得其定义域.

【详解】因为函数y=⅛χ+-

所以1I：：。解得x>0且x/l,即函数的定义域为(0,l)(I,—).

故答案为：(0,1)(l,+∞).

15.已知函数/(x)可用列表法表示如下，则/lθ/fɪɔ的值是

Xx≤l↑<x<2x≥2

ʃ(ɪ)123

【答案】3

【分析】根据表格由内向外求解即可.

【详解】根据表格可知=

ʌʃ2f(j=/(10)=3.

故答案为：3.

35

16.已知Sina=tcos(α+〃)=],a,£为锐角，贝IJSin/的值是.

、.33

【答案】⅛

OJ

【分析】利用平方关系求出CoSa及sin(α+/?),又Sin尸=sin[(e+月)-α],利用两角差的正弦公式

即可求解.

【详解】因为α,4均为锐角，所以0<c+∕J<π,

又Sina=3,cos(α+Q)=2,

5v713

_______4I____________12

所以cosα=√1-sin2ɑ=—,sin(α+尸)=JI-COSXa+β~)=—,

/..1245333

所以sin/?=Sin[(α+—α]=sin(a+/?)CoSa-COS(α+zp7λ)sma=—X-------×-=—

'L)13513565

故答案为：33

OJ

17.定义：若存在常数3使得对定义域。内的任意两个不同的实数A,巧，均有

∣∕α)-"w)∣≤堀-到成立，则称函数“X)在定义域C上满足利普希茨条件.已知函数

/(x)=4(x≥l)满足利普希茨条件，则常数k的可能取值是.(写出一个满足条件的值即可)

【答案】1(答案不唯一)

【分析】根据函数满足利普希茨条件，分离参数，并化简，求得常数的范围，即可写出答案.

【详解】当x21时，F(X)=五单调递增，

由题意，不妨设士＞々之1，则与-X2＞0,北＞,

由|/(内)一/(马)|4川不一占|，得上2号=嘉:口，

因为x∣＞X2≥l,所以衣+后＞2,所以。＜喜：7＜；,

所以&2；,所以常数上的取值可以是：1.

故答案为：1(答案不唯一).

18.已知函数/(x)=SinwX+0)(其中0＞0,阚苦)，J[-1]=。，/(x)≤/(高恒成立，且/(x)

(TtTt\

在区间卜五,五)上单调，给出下列命题：

①“X)是偶函数；②/(O)=./"用：③0是奇数；④”的最大值为3.

其中正确的命题有.

【答案】②③④

【分析】W√(x)≤/[y]

得到＜y=2Z+l,根据单调区间得到3≤3,得到＜o=l或0=3,故③④

正确，求得了(x)的解析式即可判断①，由函数的对称性可判断②.

【详解】设/(X)的周期为T,

πTkTɪɛ2π

0,fω≤—=√÷-，攵∈N,故T=»则G=2%+1,

2422k+↑

⅛∈N,

则故一工πφ=-cυπ+kπ

由一=0,Sinl-SG+9|=0,G+O=E,tZeZ,

I8)888

t(兀兀1,ωπωπ\,

当XE[_内'五J时，ωx+φ≡+k1π,-^~+k1πI,keZ,

24

*∙*/(x)在区间上内,五J上单调，工五π~≤—,故T≥E∙,即Ovo<8,

24824

则0<署≤],故詈≤],即0<o≤3,又<y=2Z+l,Z∈N,所以/=1或。=3,故③④正确;

当<y=l时，φ=^+kπ,keZ,又陷<弓，则《?=?，此时/(力=SinX+]J不是偶函数；当0=3

828

,则夕痔3π，此时〃X)=Sin(3x+芝I不是偶函数，故①错误;

时，φ=――+kτt,ZeZ,又冏<彳

828

E3π

由题可知X=W是函数/(x)的一条对称轴，故/(0)=/成立，故②正确.

O4

故答案为：②③④.

三、解答题

19.己知角α终边上一点P(-2,1).

⑴求Sina和CoSa的值;

π

cos(π-a)+cos∣三十α

⑵求2的值.

sin(2π+α)

2√5

【答案】(I)Sina——,cosa=------

55

(2)1

【分析】(1)根据三角函数的定义即可求出Sina,cosα的值;

(2)由诱导公式化简后求解.

【详解】(1)由题意可得X=-2,y=1,r=∣OP∣=J(^^2)?+F=布，

」=)%-22√5

,sin=——,cosα=—=——=------

r√55r√55

cos(π-α)+cosl—+aι冬色一交

(2)(2J-CoSa—sma55马

sin(2π+α)Sinaʌ/ʒ

5

20.已知函数/(x)=log.(x+α),a>0Ha≠∖.

(I)若"2)=2,求4的值.

(H)若/(x)在［1,3］上的最大值与最小值的差为1,求“的值.

【答案】(1)2；(H)6或07

【分析】(1)根据题意，代入数据，化简计算，即可得答案.

(II)若a>l,则，O)为单调递增函数，根据X的范围，可得/O)的最大值和最小值，结合题意，

列出方程，化简计算，即可求得“值；若0<“<l,则〃x)为单调递减函数，根据X的范围，可得/S)

的最大值和最小值，结合题意，列出方程，化简计算，即可求得“值，综合即可得答案.

【详解】(I)因为“2)=2,所以Iog“(2+0=2

所以∕=2+α,即/-α-2=0,

解得α=2或α=-l(舍)：

(H)若α>l,则/(x),xe［l,3］上为单调递增函数，

所以F(X)的最大值为/(ɜ)=bg.(3+。)，最小值为ʃ(l)=loga(l+a),

根据题意可得∣ogβ(3+4)-log,,(1+a)=∖,

所以k>g.H4=l,所以警=α,即°2+q=3+α,

解得α=√J或α=-G(舍)；

若0<α<l,则〃x),xe[l,3]上为单调递减函数，

所以/O)的最大值为F(I)=ɪog,,(ɪ+a),最小值为/(3)=Ioga(3+a),

根据题意可得Iogw(1+«)-Iogn(3+«)=1,

所以IOg“譬2=1,所以瞥=”,即/+30=l+α,

解得α=√∑-l或α=-√Σ-l(舍)

综上，α的值为6或0-l∙

21.己知函数/(x)=2KSinXCOSx+2sir?x

(1)求/(X)的最小正周期及单调递减区间;

TtTT

⑵求“X)在区间上的最值.

【答案】(1)最小正周期为兀；单调递减区间为E+g,E+m,ZeZ

3O

(2)最大值3；最小值2

【分析】(1)利用二倍角公式、辅助角公式化简/(x)=2Sin(2尤-《1+1,由周期公式计算得最小正

周期，由三角函数的性质求出函数/(x)的单调递减区间；

(2)求出2x-J的范围，然后结合三角函数的性质即可求得最值.

【详解】(1)

÷1=2sin(2.x——J+1.

/(x)=2V3sinxcoScX+2sin2x=>∕3sin2x+l-cos2x=2—sin2x-i∞s2x

22

\/(x)的最小正周期T=E=兀，

TTTr3TT7Γ5冗

⅜2kπ+—≤2x——≤2kπ+—,AeZ,国军得⅛π+-≤x≤⅛π+—,AeZ,

26236

πSTT

∖/(x)的单调递减区间为Λπ+-,⅛π+^-,⅛eZ;

(2)因为Xe，所以2x-'e2当，

42」O|_ɔO_

当2x-∙J=W,即x=S时，/(x)取最大值3；

62ɔ

当2χ-J=.，即X=S时，/(x)取最小值2.

OO2

22.己知函数/(耳=3+1为奇函数.

⑴求。的值；

(2)判断/(x)的单调性，并用函数单调性的定义证明；

⑶对于任意xe[L4],/(f-4x)+∕(>-(m-2)x)≥0恒成立，求加的取值范围.

【答案】⑴-2

(2)答案见解析

(3)m5吐且或加22.

2

【分析】(1)由函数的奇偶性的定义可得结果;

(2)利用单调性的定义判断并证明即可;

(3)由/O)的奇偶性和单调性，可得V-(仅+2)x+∕√Z0恒成立，令g(x)=/-(祖+2)》+m2,

xe[l,4],由二次函数的性质分类讨论求得g(x)的最小值，即可得机的取值范围.

【详解】(I)/(x)为奇函数，且定义域为R,

则/GX)+/(X)=0对于任意XeR恒成立，

・a、a,atx+αCʌʌ

••---------F1H---------Fl=----------F2=Q+2=0

e^x+lev+lex+l

.*∙a=—2.

⑵小)=岛+1,

在定义域R上任取士，％,且X＜々，

r

则/U)"⑸=★>(岛+1)2(e'-eʃɪ)

(ev'+l)(eλ2+l)

vx,x2v,A2

X1<x2,Λe'<e⅛,e-e<0,Xe+l>0,e+l>0,

故-/(芍)<0,即/(xj<"w),

因此，函数f(x)在定义域R上为增函数.

(3)函数f(χ)在定义域R上为增函数.

对于任意Xe[1，4],fy_4x)+/(〃—(%—2)X)≥0恒成立，

则/(ɪ2-4x)>-f(m2-(Jn-2)x)=f((m-2)x-nr),

因为/(x)在R上为增函数，可得χ2-4x≥-nr+(m-2)%,即x2-(a+2)%+M2。恒成立,

令g(x)=Y-(W+2)x+m2,%w[1,4]

当竺9≤1,即机≤0时，g(x)在[1,4]上单调递增，^ωmin=^(1)=A∕r-m-l,

则加1—〃?一l≥0,解得或一≥1+亚-，又"7≤O,则~亚•；

222

当等≥4,即m≥6时，g。)在[1,4]上单调递减，

g(x)min=8(4)=病一4〃?+8=("7-2)2+4≥0恒成立，则加之6符合题意;

当1<-l+-<4,即Ovm<6时，

2

∕n+20+2)2(2)2232

g(x)min=g(∙~^-)=---------z-π--+-----+"=WM-rn-∖1,

32

则二"「一机一l≥0