中考数学复习函数16 反比例函数中的三角形问题（教师版）

专题16反比例函数中的三角形问题

1知识对接

考点一、反比例函数中的三角形问题

类型1单支双曲线上一点一垂直形成的三角形的面积

类型2双曲线上不在同一象限上两点一垂线形成的三角形的面积

类型3双曲线上在同一象限上任意两点与原点形成的三角形的面积

作AE±x轴于点E,交OB于点M,BF±x轴于点F,S∆OAM=S四边形MEFB,S∆AOB

=S直角梯形AEFB

PL专项训练

一、单选题

1.如图所示，双曲线y=L上有一动点A,连接04以。为顶点、OA为直角边,构造等

腰直角三角形，则三角形面积的最小值为（)

【答案】C

【分析】

根据等腰直角三角形性质得出5∆OAB=OA-OB=OA2,先求得OA取最小值时4的坐

标，即可求得OA的长，从而求得AOAB面积的最小值.

【详解】

解：∙.∙Z∑A0B是等腰直角三角形，OA=OB,

ΛS∆OAB=IOMOB=ɪOA2,

.'.OA取最小值时，△0A8面积的值最小，

,/当直线OA为y=x时，04最小，

（x=}fX=-I

解{1得，或,,

y=-卜=1［）'=T

X

.∙.此时4的坐标为（1,1）,

OA=0,

.".S∆OAB=-OA2--×^'∕2^-1,

...△048面积的最小值为1,

故选：C.

【点睛】

本题考查反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.

2.两个斜边长为2全等的等腰直角三角形按如图所示位置放置，其中一个三角形45。角的

顶点与另一个.ΛBC的直角项点A重合.若ABC固定，当另一个三角形绕点A旋转时，它

的一条直角边和斜边分别与边8C交于点E,F,设BF=X,CE=y,则y关于X的函数图

象大致是（）

Ei

B

【答案】D

【分析】

由题意得，B=Nt=45。，∕G=NZE4F=45°,推出AACEs△尸区4,得至∣J/AEC=NBAF,根

AD0日

据相似三角形的性质得到而=就，于是得到结论.

【详解】

解：如图,

G

由题意得NB=NC=45。，NG=NEAF=45。，

YNAFE=NC+NCAF=45"NCAF,ZCAE=450+ZCAF,

ΛZAFB=ZCAE,

Λ∆ACE^∆FBA,

AB_CE

.∙.ZAEC=ZBAF,~BF~~AC

又YAABC是等腰直角三角形，且BC=2,

.*.AB=AC=λ∕2,

又BF=x,CE=y,

.叵_y

「丁忑’

即xy=2(l<x<2),

故选D.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证

ΔFBASaACE是解题的关键.

3.如图，6鸟,A是双曲线上的三点.过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形AA。、

640、PiAiO,设它们的面积分别是£,邑，$3,则().

A.S]=S2=S3B.S2<S1<S3C.S1<S3<S2D.S1<S2<S3

【答案】A

【分析】

根据反比例函数比例系数的几何意义，即可得到答案.

【详解】

：片,，A是双曲线上的三点.过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形耳A。、P2A2O.

故选A.

【点睛】

本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义，是解

题的关键.

4.如图，已知A,B是反比例函数y=—(k>0,x>0)图象上的两点，BC〃x轴，交y

X

轴于点C,动点P从坐标原点O出发，沿OTATBTC(图中“T”所示路线)匀速运动，

终点为C,过P作PM,X轴，垂足为M.设三角形OMP的面积为S,P点运动时间为3

则S关于X的函数图象大致为()

【分析】

结合点P的运动，将点P的运动路线分成OTA、ATB、B-C三段位置来进行分析三角形

OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案.

【详解】

设/A0M=α,点P运动的速度为a,

当点P从点O运动到点A的过程中，S=CoSa)2(a'Sina)=ɪa2.cosα.sjnα.t2,

由于a及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；

当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知AOPM的面积为^k,保持不变，故本段

图象应为与横轴平行的线段；

当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，AOPM的高与在B点时相同，故本段图象

应该为一段下降的线段：

故选A.

点睛:本题考查J'反比例函数图象性质、锐角三角函数性质,解题的关键是明确点P在O-A、

A-B、B→C三段位置时三角形OMP的面积计算方式.

5.过反比例函数y=心型2图象上一点向A分别向X轴作垂线，垂足为B,若三角形

X

C)AB的面积为3,则此函数图象必经过点()

A.(4,3)B.(-2,-3)C.(1,-3)D.(3,-1)

【答案】B

【分析】

根据三角形OAB的面积为3,可得出m2+2m-2的值，再根据图象上的点，纵横坐标的积等

于m2+2m-2,进行验证即可得出答案.

【详解】

解：：三角形OAB的面积为3,

Λm2+2m-2=6或nτ2+2m-2=-6(舍去)，

而选项中只有(-2)x(-3)=6,

因此选项B符合题意，

故选：B.

【点睛】

本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数y=Kα为常数，际0）

X

图象上任一点P，向X轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩

形的面积等于常数网，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于

^∖k∖.也考查了一元二次方程根的判别式.

6.如图，点尸在y轴正半轴上运动，点C在X轴上运动，过点P且平行于X轴的直线分别交

42

函数>=-一和>=—于A、B两点,则三角形ABC的面积等于（）

XX

A.1B.2C.3D.6

【答案】C

【分析】

设点P的纵坐标为a,利用双曲线解析式求出点A、B的坐标，然后求出AB的长度，再根

据点C到AB的距离等于点P的纵坐标，利用三角形的面积公式列式计算即可得解.

【详解】

设点P的纵坐标为明

42

则nl——=a-=a

XX91

解得χ=-4T=-2

aa

所以点A、：,ɑ),

所以AB=2-1-w)=g,

a∖aJa

QAB平行于X轴,

点C到AB的距离为。，

∙*∙AABC的面积=彳X—∙a=3.

2a

故选C.

【点睛】

本题考查了反比例函数系数k的几何意义，设点P的纵坐标表示出点A、B的坐标，然后求

出AB的长度是解题的关键∙

7.如图，PHP2、P3是双曲线上的三点，过这三点分别作了轴的垂线，得到三个三角形,

它们分别是APlAQ、∆P2A2OsΔP3A3O,设它们的面积分别是Si、S2、S3,则()

A.S,<S2<S3

B.S2VS]VS3

C.S3<S1<S2

D.Sl=S2=S3

【答案】D

【分析】

由于P|、P2、P3是同一反比例图像上的点,则围成的三角形虽然形状不同,但面积均为gMI.

【详解】

根据反比例函数的k的儿何意义，APiAQ、ΔP2A20,2∖P3A3O的面积相同，均为:|口，

所以S1=S2=S3,故选D.

【点睛】

本题考查反比例函数系数k的几何意义,过同一反比例上的任意一点分别向两条坐标轴作垂

线，与坐标轴围成的矩形面积就等于∣k∣,而围成的三角形的面积为gkl,本知识点是中考

的重要考点，应高度关注.

8.三角形面积为7cι√,底边上的高y(cm)与底边X(cm)之间的函数关系的图象大致是

()

【答案】B

【分析】

根据题意有：x）=2S=8α/,故高y与底边X之间的函数关系图象为反比例函数，且x、y应

大于0,即可得出答案.

【详解】

"."xy=2S=Scm2,,}=g（x>0,y>0）.

故选B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问

题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限.

9.以下说法：

①若直角三角形的两边长为3与4,则第三次边长是5；

②两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；

③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°

④反比例函数y=-当>0时∙y随X的增大而增大，

正确的有（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】C

【解析】

试题分析：分别利用勾股定理、全等三角形的判定、圆周角定理及反比例函数的性质判断:

①若直角三角形的两边长为3与4,则第三次边长是5或√7,故错误；

②两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确；

③长度等于半径的弦所对的圆周角为30。或150。，故错误；

④反比例函数y=-当>0时y随X的增大而增大，正确，

故选C.

考点：1、反比例函数的性质；2、全等三角形的判定；3、勾股定理；4、圆周角定理

10.如图，点A是反比例函数y='（加是常数，x〉0）上的一个动点，过点A作X轴、y

X

轴的平行线交反比例函数y=V（Z为常数，k>0）于点8、c.当点A的横坐标逐渐增大

时，三角形ABC的面积（)

A.先变大再变小B.先变小再变大C.不变D.无法判断

【答案】C

【解析】

试题分析：设点A的坐标为(X。，y0),则点B坐标为(x∣,%),点C坐标为(Λ0,y2),ΔABC的面

sλsc,x,χ

积为Mβc=ɪ∙=ɪ(⅞-ɪɪ)∙(⅞-Λ)=ɪ(ɪo>o-ɪo⅜-ι>o+∣y2)=^u-w-m+χ∣y2)•因为

XM=欠&且％=上，XI)=上，则&二，所以为方=戈，所以Sy=%-”一加+月)，故点A

mm

y0y0为Λ2m

的横坐标逐渐增大，DABC的面积的面积不变.

【考点】反比例函数.

二、填空题

2

11.如图，已知点A是双曲线尸一在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另

X

一分支于点8,以AB为边作等边AABC,点C在第四象限.随着点A的运动，点C的位置

也不断变化，则三角形ABC面积最小值等于一.

【答案】4√3

【分析】

根据等边三角形的面积求解公式可知当AB最小时，三角形A8C面积最小，即AB在一、三

象限角平分线上时为所求，故可求解.

【详解】

依题意可得当AB最小时，三角形ABC面积最小，

此时A8在一、三象限角平分线上，即产X

y=—{x=λ∕2{x=—√2

联立,X,解得厂或r

y=χIy=J2[v=-√2

.∙.A(√2.√2)，B(-√2.-√2)

AB=^(√2+√2)2+(√2+√2)2=4

三角形ABC面积为且/=且*42=

44

故答案为：4√3.

【点睛】

此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、一次函数与反

比例函数的特点.

12.两个反比例函数y=2,y=9在第一象限内的图象如图所示，点斗鸟,鸟，…，go.在反

XX

比例函数y=£图象上，它们的横坐标分别是再，吃，占，…，∙⅛∏9,纵坐标分别是1，3,5,

X

共2019个连续奇数，过点％R,A,…，I。.分别作y轴的平行线，与y=：的图象交点依

次是Ql(Xl，¥1)，。2*2,必)，。3(工3,必)，…，。2019(“2019,丁2019)，则%019='二角形

ʃɔθ19°QO19的面积为-

40372

【答案】ʒ-

22

【分析】

首先根据P2019在y=9匕可得P2019的纵坐标为4037,再计算X2019,再结合y=3可得>2019,

XX

13

56019。。2019=](6-3)=]

【详解】

根据题意可得P20I9的纵坐标为2x2019-1=4037

^o∣9在y=9上

X

.∙.y=-=4037

X

•••修小焉,4037)

。239和的横坐标相同

34037

*,•372O19=-6—=一厂

4037

13

5‰O‰=-(6-3)=-

【点睛】

本题主要考查反比例函数的解析式，关键在于比例函数的横纵坐标的乘积不变.

3

13.如图，双曲线y=1(x>0)经过四边形OAeC的顶点A、C,NABC=90。，OC平分。4

与X轴正半轴的夹角，AB∕∕x轴，将ABC沿AC翻折后得VA8'C,夕点落在上，则三

角形ABC的面积是.

【答案】43

【分析】

延长BC,交X轴于点D,设点C(X,y),AB=a,由翻折的性质得，

BC=&C,NA&C=NΛBC=90。,由AB〃x轴，得出BDLy轴，由角平分线的性质得，

CD=CB',即可得出5C=5'C=C0,从而得到点A(x-a,2y),根据反比例函数系数k的几

何意义从而得出三角形ABC的面积.

【详解】

解:延长BG交X轴于点D,设点C(x,y),AB=a,

由翻折的性质得，BC=B,C,ΔABfC=ZABC=90°,

・・AB〃x轴，

・・BDJ_y轴，

・•OC平分OA与X轴正半轴的夹角,

•・CD=CB',

r

・.BC=BC=CD9

,.B(x,2y),

,•点A(x-a,2y),

,.2y(x-a)=3,

.*xy=3

故答案为，

【点评】

本题考查反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，翻折的性质以

及角平分线的性质，表示出A的坐标是解题的关键.

14.如图，已知平面直角坐标系中A点坐标为(0,3),以OA为一边在第一象限作三角形

OAB.E为AB中点，OB=4.若反比例函数y=上的图象恰好经过点B和点E,则％的值

为

X

【答案】715.

【分析】

设B点坐标为（a,b）（a、b均大于0）,则有a2+b2=16,点E的坐标为（：，券），然后

22

再将B、E的坐标代入y=±求解即可.

X

【详解】

解：设B点坐标为（a,b）（a、b均大于O）

.∙.a2+b2=16,点E的坐标为（gɪ）

；反比例函数y=A的图像恰好经过点B和点E

■X

....。传+3）

..k=ab,k=--

4

*.*a2+b2=16

•∙a=Jl5，b=I

Λk=ab=715

故答案为岳.

【点睛】

本题属于反比例函数与几何综合题，考查了反比例函数图像的性质、两点间距离公式、中点

坐标公式等知识点，其中根据函数图像列出关系式是解答本题的关键.

15.如图，点A是反比例函数），=七（&>0）图象第一象限上一点，过点A作ABLx轴于B

X

点，以AB为直径的圆恰好与y轴相切，交反比例函数图象于点C,在AB的左侧半圆上有

一动点连结CD交AB于点E.记..由龙的面积为S-ACE的面积为S2,连接BC,则，ACB

是______三角形，若的值最大为1,则无的值为.

【答案】等腰直角；4√2+4

【分析】

（1）如下图，连接0'C,过点C作CHj_x轴于点H,由一CT和两坐标轴相切可知_0,和反

比例函数y=K（QO）的图象都关于直线y=x对称，若设点A的坐标为（m,2m）,则点C

X

的坐标为（2m,m）,结合题意易证四边形BHCO，是正方形，从而可得∕ABC=45t∖由AB

为：0'直径可得NACB=90。，由此可得^ABC是等腰直角三角形；

（2）由下图，连接DOl并延长交BC于点F,由匚知易得S∣-S2=SABCD-SAABC,SAABC是

定值，BC是定值，从而可得当DF最长，即当DFLBe时，S1-S2的值最大，用含m的代数

式表达出SABCD和SAABC的面积，结合S1-S2的最大值为1歹IJ出方程，解方程求得m的值即

可得到点A的坐标，从而可得k的值.

【详解】

解：（1）如下图，连接OC,过点C作CH_Lx轴丁点H,由_O,和两坐标轴相切可知C0,

和反比例函数y=乙伙>0）的图象都关于直线y=x对称，

X

・•・若设点A的坐标为（m,2m）,则点C的坐标为（2m,m）,

ΛBOz=CH=m,BCT〃CH,

・・・四边形BHCcr是平行四边形，

VBH=CH,ZBHC=90o,

・•・四边形BHCO'是正方形.

ΛZABC=450,

•「AB为Cr直径，

ZACB=90o,

AAACB是等腰宜角三角形；

（2）由下图，连接DCT,并延长交BC于点F,

:由图可得SLSZ=SABCD-SAABC,SAABC是定值，BC是定值，

・・・当DF最长,即当DKLBC时,S∣-S2的值最大，

•..△ABC中，ZACB=90o,ZABC=450,AB=2m,ɪDFlBC,

/7

BC=AC=y∣2m,DF=Do'+O'F=m+芋m,

又S]S=SaBCD-S∆ABC=1，

•e•—X∖[lm×（m÷ni）--×ImXm=I>

222

化简得：川=2>/2+2»

k

・・・点A（m,2m）在反比例函数函数y=—（Qo）的图象上，

X

.*.k=2m2=4>∕2÷4.

故答案为：（1）等腰直角；（2）4√2+4∙

点睛：这是一道反比例函数与圆和三角形综合的题目，作出如图所示的辅助线，熟悉“反比

例函数的图象和性质及圆的相关性质”是正确解答本题的关键.

三、解答题

16.如图，平行四边形OABC的顶点A在X轴的正半轴上，顶点8的坐标为（小3）,点。

15k

在边AB上，己知三角形ODC的面积是?，反比例通数y=：（Z>0,x>0）的图象经过C、。

两点.

（I）求点C的坐标；

（2）求点。的横坐标.

【答案】（I）C（2,3）；（2）

【分析】

（1）过点。作ON,AC于点N,过点B作BELx轴于•点E,根据面积公式可得平行四边形

OABC的面积=2Sos,进而可得点C的坐标；

k59

（2）结合（1）将C（2,3）代入y="得k=6,将A（万，O）,B3）代入y=kx+b,

然后联立方程组，即可求出点D的横坐标.

【详解】

解：（1）如图，过点D作DNLAC于点N,过点8作BEJ_x轴于点E,

.∙.平行四边形OA8C的面积=OC∙ON=OA∙8E,

•：SAOCo=WXOC∙DN,

「・平行四边形OABC的面积=2S∕OCDf

.1515

・・OA∙BE=2x—=—1

42

,9

•••3的坐标为(7，3),

2

JBE=3,

5

•∙OA—-,

2

/.BC=OA=-,

2

.'.A(一,0)»

2

'C点的横坐标为：ɪ9-15=2,

・・・C点的纵坐标等于B点的纵坐标，

・・・点。的坐标为(2,3)；

(2)将C(2,3)代入y=人,得上6,

X

・・・反比例函数y=9,

X

设直线AB解析式为y=kx+bf

59

将A(—,O),B(-,3)代入y=fcx+b,

315

可得：y=2x-7,

315

y=-x---

所以联立方程组，得:24

O

y=一

X

fe24B5+√895-√89..

解得X=---,X2=---<0,

・・・点D在第一象限，

.β.x>0,

•••点D的横坐标为纪画.

4

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握反比例函

数的图象和性质.

17.RtAABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y=K伏≠0）在第一象限内的图

X

象与BC边交于点。（4,机），与AB边交于点E（2,〃），ABCE的面积为2.

（1）求〃?与〃的数量关系；

（2）当tan∕84C=g时•，求反比例函数的解析式和直线AB的解析式；

（3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P,以B,C,P为顶点的

三角形与AEQB相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

41389

【答案】（1）〃=2皿（2）当y=—,y=%x+l;（3）存在，点P的坐标为。,彳）；

X2255

【分析】

（1）将。（4,用）、E（2,〃）代入反比例函数y='解析式，进而得出，1,的关系；

X

（2）利用A8DE的面积为2,得出的值，进而得出。，E,8的坐标，利用待定系数法求

出一次函数与反比例函数关系式即可；

（3）利用AAEO与aEFP相似存在两种情况，分别利用图形分析得IH即可.

【详解】

解：⑴VD（4,/〃）、E（2,〃）在反比例函数y=±的图象上，

Λ4m=kf2n=kf

整理，得"=2∕n;

(2)如图1,过点E作EH_L8C,垂足为从

H

AQCX

在Rt△8EH中，tanZBE∕∕=tanZA=^-,EH=2,所以BH=L

因此。(4,m),E(2,2m),B(4,2∕M+1).

已知的面积为2,

；.；BD，EH=；Cm+D×2=2,

因此O(4,1),E(2,2),B(4,3).

因为点。(4,1)在反比例函数y='的图象上,

所以k=4.

4

因此反比例函数的解析式为：丁=一.

X

设直线48的解析式为y=⅛x+b,代入B(4,3)、E(2,2),

[4k+b=3

得∣2A+0=2

k=-

解得：2

b=1

因此直线48的函数解析式为：γ=∣x+l.

(3)如图2,作£77_LBC于”，PELBC于凡

当ABEgABPC时,—=—=

BH_2

BF-I

,.∙BH=I,

3

/.BF=-

2

：.CF=-,

2

3ɪ

5=5x+1l,x=l,

3

点P的坐标为（I,-）；

如图3,

当ABED^ABCP时,—,

BCBP

EH=2,BH=∖,由勾股定理，BE=y∕5,

正=2BP_6后

3BP'5

同理可得：器=器,BK

点P的坐标为（］8,|9）

389

点P的坐标为（1,5）；（］，P

【点睛】

本题属于反比例函数综合题，主要考查的是反比例函数的性质，待定系数法求出一次函数解

析式，相似三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想，属于中考压轴题.

1L

18.如图，已知直线y=：x,与双曲线y=一伏＞0）交于A、B两点，且A点的横坐标为4.

4X

（1）求Z的值及B点的坐标;

(2)若双曲线y=4(%>0)上一点C的纵坐标为2,求AAOC的面积；

X

(3)在X轴上找一点P,使以点0、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，试写出P点的坐

标.

【答案】(1)k=4,8-4,-1)；(2)3；(3)(2√2,0).(-2√2,0)、(4,0)、(2,0).

【分析】

(I)由于A点的横坐标为4,所以把k4代入产;X得产1,得到A点坐标为(4,I),再把

A点坐标代入反比例函数解析式可求出人的值；然后利用正比例函数与反比例函数的交点关

于原点对称确定B点坐标；

(2)作CCX轴于。，AELX轴于£,先确定C点坐标为(2,2),根据反比例函数的比例

系数的几何意义得到SAOCD=SA6>4E=y×4=2,再利用SAOCD+S林柩CDEA=SA<M∆+S∆AOCi得到

SAΛOC=SM.CDEA,然后根据梯形的面积公式进行计算；

(3)分类讨论：当OC=OP时，△OCP是等腰三角形，即P点落在Pi或Pi的位置：当Co=CP

时，AOCP是等腰三角形，即P点落在E点的位置；当PO=PC时，AOCP是等腰三角形，

即P点落在D点的位置，然后根据X轴上点的坐标特征写出满足条件的P点坐标.

【详解】

解：(1)把x=4代入y=gx得y=l,

JA点坐标为(4,1),

把A(4,1)代入)：=一得k=4xl=4,

'X

14

Y直线y=：X与双曲线y=一的交点关于原点对称，

4X

・・・8点坐标为(-4,-1)；

(2)作CZ)_Lx轴于。，AEj_x轴于E,如图，

4

把x=2代入y=一得y=2,

X

・・・C点坐标为(2,2),

∙*∙5∆OCD=SAOAE=∙^∙×4=2,

"∙"5ΛOCD+S槎柩CDEA=SAOAE+SAA。。，

∙'∙SΛAOC=y(l+2)×(4-2)=3；

(2)VC(2,2)

ΛOC=2√2,

当OC=OP时,AOCP是等腰三角形,即P点落在P1或P2的位置,此时P点坐标为(-2夜,

0)或(20,0)；

当Co=CP时，AOC尸是等腰三角形，即P点落在E点的位置，此时P点坐标为(4,0)；

当Po=PC时，AOCP是等腰三角形，即P点落在。点的位置，此时尸点坐标为(2,0),

满足条件的尸点坐标为(2&，0)、(-2√2,0)、(4,0)、(2,0).

【点睛】

本题是一道反比例函数与一次函数的综合题，考查/反比例函数图象上点的坐标特征、反比

例函数的比例系数的几何意义和等腰三角形的判定与性质.

19.如图，在平面直角坐标系中，矩形。ABC的顶点B的坐标为(4,2),OA、OC分别落在

落在X轴和>轴上，OB是矩形的对角线.将。48绕点。逆时针旋转，使点8落在y轴上，

得到ODE,OD与C8相交于点尸，反比例函数.y=g(χ>O)的图像经过点尸，交AB于点G.

(1)填空：Z的值等于;

(2)连接FG,图中是否存在与一BFG相似的三角形？若存在，请找一个，并进行证明；若

不存在，请说明理由；

(3)在线段OA上是否存在这样的点P,使得△P打；是等腰三角形.请直接写出OP的长.

【答案】(1)k=2;(2)存在，4AOBs丛BFG;(3)4-而或£或空叵

82

【分析】

(I)证明ACOFS2∖AOB,则K=要，求得：点尸的坐标为(1,2),即可求解;

ABOA

(2)△COF^ABFG；AAoBS4BFG；△ODE^∕∖BFG↑△CBO^ABFG.证

,八,AB24

△OABSABFG:一=一,BG33，即可求解；

BF3-

(3)分GF=PF、PF=PG、GF=PG三种情况，分别求解即可.

【详解】

解：(I)•••四边形OABC为矩形，点8的坐标为(4,2),

/OCB=N043=NA8C=90。，OC=AB=2,OA=BC=A,

♦.•△00E是△。48旋转得到的，即：Δ0DE^∆0A8,

：.ACOF=AAOB,

,△CO尸SA4O8,

.CFOC

'^^∖B~~OA'

.CF2

"~Γ4'

ΛCF=1,

点尸的坐标为(1,2),

k

Yy=-(χ>0)的图象经过点尸，

X

L

,2=7，得上=2；

(2)存在与△8尸G相似的三角形，比如：&AOBsRBFG.

下面对△OABS∕∖BFG进行证明：

；点G在AB上，

点G的横坐标为4,

对于y=—,当χ=4,得y=!，

・•・点G的坐标为(4,ɪ-),

∙,∙AG=ɪ,

VBC=0A=4,CF=I,AB=2,

：・BF=BC-CF=3,

BG^AB-AG=~,

2

,A。4四。，

••丽=TBGI3，

.AOAB

"~BF~~BG'

":ZOAB=ZFBG=90o,

：.AOABsAFBG.

(3)设点尸(，小0),而点F(l,2)、点G(4,ɪ),

9451

贝I]FG2=9+—=—，PFQ=Gn-1)2+4,PG2=Cm-4)2+-,

444

2

当GF=P/时，即^=(W-I)+4,解得：w=^√29(舍去负值)；

42

当PF=PG时，同理可得：m=^-∙

O

当Gb=PG时，同理可得：m=4-TH；

综上，点/＞的坐标为(4-Jn0)或(£,0)或J+叵,0),

82

.∙.OP=4-√∏或?或2+5..

82

【点睛】

本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到旋转的性质、三角形相似、等腰三角形的性质等,

其中(3),要注意分类求解，避免遗漏.

20.如图，己知一次函数X==X-3的图像与反比例函数%=*第一象限内的图像交于点

2X

A(4,〃)，与X轴相交于点8,交y轴于点C.

(1)求"和％的值;

（2）观察函数图像

①当x≥-3时，y?的取值范围是:

②当0<X<%时，X的取值范围是；

（3）如图，以AB为边作菱形AB/D，使点F在X轴正半轴上，点。在第一象限，双曲线

交。尸于点E,连接AE、BE,求SAB£；

（4）若P为坐标轴上一点，请你探索：当以点4、P、C为顶点的三角形是直角三角形时，

请求出所有可能的P点坐标.

【答案】（1）〃=3次=12；（2）①％4Y或％>。；②2<x<4;（3）SABE=^-i（4）

当以点4、C、P为顶点的三角形为直角三角形时，点P（0,3）或（0,或［-∙∣,θ）或

（2-/,0）或（2+疝0）或（*0）.

【分析】

（1）先把点A的坐标代入直线解析式进行求解"，然后再求解反比例函数的我即司>

（2）①当4-3时，则有必=-4,然后结合图象及分当-3Wx<O和X>O可直接进行求解；

②根据题意可得8（2,0）,然后结合函数图象可直接进行求解；

（3）过点E作EFLAB于点F,过点A作AGlx轴于点G,然后由题意易彳导AB=BF=回,

进而可得SAHf：=^S^abfd,然后问题可求解；

（4）根据题意可分当点尸在X轴上时，点A、C、P为顶点的三角形为直角三角形；当点P

在y轴上时，点A、C、P为顶点的三角形为直角三角形；进而根据两点距离公式及勾股定

理可进行求解.

【详解】

解：（1）由题意可把点A（4,〃）代入一次函数y=1x-3可得：

3

〃=—χ4-3=3,

2

/.A（4,3）,

**.k=3×4=12；

12

（2）由（1）可得力=一,

^X

12

①当X=—3时，贝!］有％=v=^4,

・.・由图象可得当x≥-3时，J2的取值范围是%≤-4或%>O;

②令X=O时，则有0=?-3,解得：χ=2,

∙∙.3(2,0),

•••根据图象可得当。<乂<%时，*的取值范围值是2<X<4；

故答案为必V-4或%>0；2<x<4;

（3）过点E作EHUB于点H,过点A作AGJ_x轴于点G,如图所示:

由⑴(2)可得5(2,0),A(4,3),

/.AG=3,

；四边形ABFO是菱形,

22

.∙.AB=A∕(4-2)+(3-0)=√13BF,

VSABE=^AB∙EH,S菱形ABFD=ABEH=BFAG,

∙∙∙S.E=gs菱形ABFD=；*屈义3=^^

（4）由题意可得C（0,-3）,则当以点A、C、P为顶点的三角形为直角三角形时，可分:

①当点P在X轴上时，点4、C、P为顶点的三角形为直角三角形，如图所示:

设点P(4,0),

当=90。时，根据勾股定理及两点距离公式可得：

2

(4-0)+(3+3)2+("a)?+。0="0)2+(0+3^,

17

解得:α=y,

••・噌，。)；

当NC?A=90。时，同理可得乙(后+2,0)；

当NCEA=90。时，同理可得A(2-屈,0)；

当NACA=90。时，同理可得巴卜∣,θ);

②当点尸在y轴上时，点A、C、尸为顶点的三角形为直角三角形，如图所示:

设点P(0,m),

当NGAC=90。时，同理可得A(O,蓝｝

当NCAA=90。时,

.,.RA∕α轴，

∙∙∙E(0,3);

综上所述：当以点A、C、P为顶点的三角形为直角三角形时，点P(0,3)或或,(0)

或(2-疝0)或(2+屈,0)或得,0).

【点睛】

本题主要考查反比例函数与一次函数、几何的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象

与性质是解题的关键.

21.RfAABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y='(⅛≠0)在第一象限内的

X

图象与BC边交于点。(4,1),与AB边交于点E(2,〃).

(1)求反比例函数的解析式和〃值；

(2)当黑=；时，求直线AB的解析式；

AC2

(3)设尸是线段AB边上的点，在(2)的条件下，是否存在点P,以8、C、P为顶点的

三角形与AEDB相似？若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

41389

【答案】(1)y=—♦n=2；(2)y=—x+1；(3)(1,—),(—,—)

X2255

【分析】

(1)将以4,1)、E(2,〃)代入反比例函数y=A解析式，进而得出〃的值；