2024年高考数学一轮复习艺体生高频考点专用复习讲义 数列综合应用

【艺体生专供一选择填空抢分专题】备战2023年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）

专题17数列综合

一、考向解读

考向：数列部分高考题一般是中等难度，分数在10-17分，一般以等差、等比数列的定

义、性质或以通项公式、前n项和公式为基础考点，结合数列的递推公式进行命题，侧

重于数列的基本量运算、数列的概念及表示法的理解。

考点：数列的递推公式、等差、等比数列的性质、通项公式及前n项和公式、数列求和、

构造新数列求通项、求和、数列有关的数学文化问题。

导师建议：新文化题主要是读题抓住题眼，同时找到a1和d、a1和q的式子也是解决问题

的关键！

二、知识点汇总

1.数列的第n项与前n项的和的关系

0，n=l

（数列｛4｝的前n项的和为5“=。］+。,++。“）.

2.等差数列的通项公式

an=q+(n-l)J=dn+ax-d{neN")•

3.等差中项：若a,A）成等差数列，则A叫做。与b的等差中项，且4=三^。

4.等差数列前n项和公式为s.=72（囚；4）=叫+“（\1）d=-1w2+（«1

5.等比数列的通项公式4=%尸=幺0（〃€河）；

q

6.等比中项：若a,A）成等比数列，则A叫做a与b的等差中项，且A?=ab。

空匕4g

7.等比数列前n项的和公式为“=i-q或%=<1-q

na^q=1navq=1

【常用结论】

1.p+q=m+n=>ap+aq=am+an(m,n,p,q&N*)

2.p+q=2m^ap+aq=2a，“(m,p,qw；

3.Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,S4m-S3m构成等差数列.

4.1=42+(%-g)是关于〃的一次函数或常数函数，数列岛也是等差数列.

n22n

5.在等差数列{4“},总}中，它们的前〃项和分别记为则+=A.

%T2n«

6q=a,『(m,neN*).

7.若加+刃wp+q,则am-an=ap-aq{m,n,p,q^N*)

8.公比qH-1时,S“，S2n-Sn,S3；1-S2n,S4n-S3n成等比数列(〃eN*).

三、题型专项训练

目录一览

①等差等比数列的综合

②数列的函数性质

③求数列的通项公式

④数列求和

⑤数列的新文化题

高考题及模拟题精选

题型精练，巩固基础

①等差等比数列的综合

一、单选题

1.在递增等比数列｛4｝中，%=4,且3%是必和力的等差中项，则4。=（）

A.256B.512C.1024D.2048

2.已知等比数列｛4｝中，若弓=2,且4%,%,2%成等差数列，则%=（）

A.2B.2或32C.2或-32D.-1

3.已知各项均为正数的数列｛4｝为等比数列，S,,是它的前"项和，若$3=7生，且生与知的等差中项为5,

则&=（）

A.29B.31C.33D.35

4.已知各项均为正数的等比数列｛q｝的前"项和为若2S-S3,邑成等差数列，则数列｛%｝的公比为（

）

11

A.—B.—C.2D.3

32

5.已知｛%｝是各项不相等的等差数列，若6=4,且％,%，%成等比数列，则数列｛。”｝的前6项和品=（）

A.84B.144C.288D.110

6.已知递增等差数列｛4｝中，4=18且出是为，%的等比中项，则它的第4项到第11项的和为（）

A.180B.198C.189D.168

7.正项等比数列｛4｝中，4%是%与-2%的等差中项，若g=；，则%%=（）

A.4B.8C.32D.64

8.各项不为零的等差数列｛%｝中，4%-耐+4%=0,数列也｝是等比数列，且以=%,则贴8=

A.4B.8C.16D.64

②数列的函数性质

9.下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（）

A-B.=1-n

fn+3,n<2

C-%=">2

D.an=2n2—5"+1

设为等差数列｛%｝的前〃项和.

10.已知53=-3,a5=二2,则（

A.｛%｝为递减数列B.%=°

c.s“有最大值D.久=。

已知（«eN*）是等差数列｛%｝的前〃项和,

11.且%>0,a5+aw<0,则下列选项正确的是（）

A.数列｛4｝为递增数列B.“8<0

C.S”的最大值为SgD.514>0

12.等差数列｛%｝的前"项的和为S“，已知$9<。，510>0,则等差数列的前〃项的和中，最小值为（）.

A.S5B.S6C.S[D.Ss

13.在数列｛q｝中，“寓」>综”是“数列｛。"｝为严格递增数列”的（）.

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

14.已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，若％+22=0,且则实数a的取值范围是

O

()

1八一13"-33-八3

A.——,0B.C.D.0,-

L2__2'4__42_2

③求数列的通项公式

15.已知数列｛%｝中，％=1,g=4,%=9,且｛q用-4｝是等差数列，则4=（）

A.36B.37C.38D.39

1

16.在数列｛q｝中，6=1,"〃+1=""+小+1），则〃“等于（)

12〃一1n-\1

A.-B.-------C.-----D.

nnn2n

=1,入=n

17.数列｛%｝中，%（"为正整数），则。2022的值为（)

ann+i

1120212022

A.------B.------C.------D.

2022202120222021

=5；)"",且4=1,贝U=

18.已知数列｛。,｝的前〃项和S“：()

A.14B.28C.56D.112

19.在数列｛%｝中,若。则"的最小值是（

4=2,a„+1=2a„-l,">513,

A.9B.10C.11D.12

20.已知数列｛%｝中，a1=4,an+1=4an-6,则a,等于（）

A.22n+1+2

C.22"-1+2D.22n-1-2

总（〃eN*）,则%为（

21.已知数列｛里,｝中,%=1且％=)

22.在数列｛%｝中，％=1,S“M=4a”+2,则出019的值为（）

A.757x22020B.757x22019C.757x22018D.无法确定

④数列求和

23.若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等差数列，则称此数列为二阶等差数列.现有二

阶等差数列：2,3,5,8,12,17,23,设此数列为｛%｝,若数列也｝满足£=，？，则数列也,｝的

an+\]

前n项和Sn=（）

〃

+1R2(n+l)

A.-----D.

nn

-2〃

C.—D.——

〃+1n+1

24.已知数列｛%｝满足％=1,(2%+l)a"+i=a”,令a=44+i，则数列也｝的前2022项和$2022=（)

4044「20224043一2024

A.------B.------D.------

40454045・40454045

2021

25.记印表示不超过实数x的最大整数，记a,=[log2"],weN*,则wx=()

n=l

A.18154B.18164C.18174D.前三个选项都不对

已知数列｛%｝的通项公式为：羿

26.4,=,〃eN*,则数列｛巴｝的前100项之和为（）

z201Z2031000010100

AA.6-^-B.6-^55-C.2100—1D.*。_1

27.已知数列｛%｝的前"项和为S”,%=1,当〃之2时，+2S1=〃，贝”2必等于（）

A.1008B.1009C.1010D.1011

⑤数列的新文化题

28.“中国剩余定理，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中被3除余1且被

5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列｛%｝,则此数列的项数为（）

A.134B.135C.136D.137

29.我们都听说过一个著名的关于指数增长的故事：古希腊著名的数学家、思想家阿基米德与国王下棋.国

王输了，问阿基米德要什么奖赏？阿基米德说：“我只要在棋盘上的第一格放一粒米，第二格放二粒，第三

格放四粒，第四格放八粒……按此方法放到这棋盘的第64个格子就行了.”通过计算，国王要给阿基米德

1+2+4++263=2M-1粒米，这是一个天文数字.100年后，又一个数学家小明与当时的国王下棋，也提出

了与阿基米德一样的要求，由于当时的国王已经听说过阿基米德的故事，所以没有同意小明的请求.这时候，

小明做出了部分妥协，他提出每一个格子放的米的个数按照如下方法计算，首先按照阿基米德的方法，先

把米的个数变为前一个格子的两倍，但从第三个格子起，每次都归还给国王一粒米，并由此计算出每个格

子实际放置的米的个数.这样一来，第一个格子有一粒米，第二个格子有两粒米.第三个格子如果按照阿基米

德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于归还给国王一粒米，就剩下三粒米；第四个格子按照

阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的方案，就只剩下五粒米.“聪明”的国王一看，每个格子上放的

米的个数都比阿基米德的方案显著减少了，就同意了小明的要求.如果按照小明的方案，请你计算64个格子

一共能得到（）粒米.

A.262+1B.263+1C.262+62D.263+63

30.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每

111

一行的第三个数1,木，L构成数列{%},其前〃项和为S",贝"2。=（）

1

11

111111

1JTOT031

,39「40「41一419

A.—B.—C.—D.

202121210

31.我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚十六尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，

大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意思是：今有土墙厚16尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第

一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是

前一天的一半，问两鼠相逢需要的最少天数为（）

A.3B.4C.5D.6

32.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项依次为0,2,4,8,12,18,

24,32,40,50,现将大衍数列各数按照如图排列形成一个数表，则该数表中第8行第3个数是（）

0第1行

24第2行

81218第3行

24324050第4行

…第〃行

A.152B.480C.512D.840

33.大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项为：0、2、4、

金,"为奇数

8、12、18、24、32、40、50,通项公式为%=:，若把这个数列｛见｝排成下侧形状，并

巴，〃为偶数

I2

记4（帆〃）表示第加行中从左向右第"个数，则4（9,5）的值为（）

0

248

1218243240

50...........

A.2520B.2312

C.2450D.2380

34.高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函

数”为：设XER,用印表示不超过x的最大整数，则丁=国称为“高斯函数”，例如：[-2的=-3,[2.7]=2.已

知数列｛%｝满足q=1,。2=3,4,+2+2。“=34+1，若也,=[1082%+]],S"为数歹人1―1的前”项和，贝!IS2023=

（）

2022202420232025

A.------B.------C.------D.------

2023202320242024

35.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生

原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的

世界数学史上第一道数列题.已知该数列｛%｝的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,记

/7eN*,则数列圾｝的前20项和是（）

A.110B.100C.90D.80

四、高考真题及模拟题精选

一、单选题

1.（2022・北京.统考高考真题）设｛qj是公差不为0的无穷等差数列，贝广｛«„｝为递增数列”是“存在正整数N。,

当"N。时，an>0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2018・广东江门•校联考一模）已知数列｛%｝的前〃项和S“，若。“=20-3〃，则S”的最大值为

（）

A.60B.57C.54D.51

3.（2020・北京・统考高考真题）在等差数列｛%｝中，at=-9,a5=-l.记7；=q的…%（"=1,2,…），则数列

｛Tn｝（）.

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D,无最大项，无最小项

4.（2020•云南昆明・云南民族大学附属中学校考一模）已知数列｛%｝的前〃项和S“满足=2%-1.若对任

意正整数〃都有人向-S“<0恒成立，则实数2的取值范围为

A.（-8,1）B.1°°'曰C.100，；］D.100,J

5.（2022・浙江•统考高考真题）己知数列｛%｝满足q=L%+i=",-gd（〃eN*）,则（）

一5577

A.2<IOOQJQQ<5B.2<lOOq00<3C.3<lOOq。。<~D.,<lOOq。。<4

G

6.（2021・浙江•统考高考真题）已知数列｛%｝满足q=1，%=N*）.记数列｛an｝的前n项和为Sn,

贝I（）

309

A.-<Woo<3B.3<Sloo<4C.4<S100<-D.5VSI00<5

7.（2021•全国•统考高考真题）等比数列｛4｝的公比为4,前〃项和为S“，设甲：4>0,乙：｛S,｝是递增

数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.（2021.北京・统考高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为

旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长4，%,%，%，%（单位:cm）成等差数列,

对应的宽为耳也也也也（单位:cm）,且长与宽之比都相等，已知％=288,a5=96,々=192,则a=

A.64B.96C.128D.160

9.（2022•贵州•校联考模拟预测）如图所示的三角形叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成，

第”行有〃个数且两端的数均为每个数是它下一行左右相邻的两数的和，如

n

?=!++上……，则第8行第4个数（从左往右数）为（）

1222363412

1

1

11

22

111

363

1111

412124

A.-----B.C.-----D.

280168140105

10.（2022.河南驻马店•河南省驻马店高级中学校考模拟预测）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英

国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出

此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余

定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2022这2022个数中，能被5除余1且

被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{4},则此数列的项数为（）

A.58B.57C.56D.55

11.（2022.河南洛阳•新安县第一高级中学校考模拟预测）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载

堵发明的，明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学

意义是：在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之

和为插入H个数后这13个数之和为N,则依此规则，下列说法错误的是（）

A.插入的第8个数为血B.插入的第5个数是插入的第1个数的次倍

C.M>3D.N<7

12.（2022•江苏连云港•江苏省赣榆高级中学校考模拟预测）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集,

亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间OU平均分

12

成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和[§/];第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段,

ioio7Q

各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：©g],[§目，如此不断的构造下去，最后剩下

2021

的各个区间段就构成了三分康托集.若经历"步构造后,2G不属于剩下的闭区间，则"的最小值是（）.

B.8C.9D.10

五、题型精练，巩固基础

一、单选题

2a,

1.（2023•四；lI泸州・泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知数歹！J｛a“｝中，q=2,〃eN*）,则

a“+2

数列的前10项和S10=（）

〃+1

A.318C20

DC.—D.2

111111

2.（2023•全国•开滦第二中学校考模拟预测）已知等比数列｛%｝的前w项和为S,,,若%+2%=。，S3=1,

O

且aWS"Va+2,则实数。的取值范围是（）

3.（2023•甘肃兰州•校考一模）数列｛%｝满足％=1,且对任意的“eN*都有%M=%+“”+〃，则的前

100项和为

100r99c101c200

A.----B.-----C.-----D.-----

101100100101

4.（2022・广东・统考三模）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数、公式和定理,

如：欧拉函数。5）（〃eN*）的函数值等于所有不超过正整数"且与w互素的正整数的个数，（互素是指

两个整数的公约数只有1）,例如：夕。）=1;姒3）=2（与3互素有1、2）；9（9）=6（与9互素有1、2、4

、5、7、8）.记S“为数歹也"（3"）｝的前w项和，则几=（）

210I。121.I1

A.B.—x310+-C.D.—x3n+-

224444

5.（2023•山东潍坊•校考一模）已知S,是数列｛g｝的前"项和,且%=%=1，an=2〃〃_1+3〃~2（n>3）,

则下列结论正确的是（）

A.数列｛%-”"J为等比数列B.数列｛“m+2%｝为等比数列

C.%沙一1）D.J+尸产

6.（2022.河南・安阳一中校联考模拟预测）在数列｛q｝中，4=；且（〃+2）“]=加〃，则它的前30项和$3。二

（）

,30「29-28-19

A.—B.—C.—D.—

31302929

7.（2022・贵州贵阳•校联考模拟预测）《孙子算经》一书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子60颗，

人别加3颗.问：五人各得几何？”其大意为“有5人分60个橘子，他们分得的橘子数构成公差为3的等差

数列，问5人各得多少个橘子？”根据上述问题的已知条件，则分得橘子最多的人所得的橘子数为（）

A.15B.16C.17D.18

8.（2022.河北邯郸•统考二模）在我国古代著作《九章算术》中，有这样一个问题：“今有五人分五钱，令

上二人与下三人等，问各得几何？”意思是有五个人分五钱，这五人分得的钱数从多到少成等差数列，且得

钱最多的两个人的钱数之和与另外三个人的钱数之和相等，问每个人分别分得多少钱.则这个等差数列的

公差d=