2022-2023学年广东省惠州五中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省惠州五中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下面的图形是用数学家名字命名的,其中有多条对称轴的轴对称图形是（）

笛卡尔心形线

斐波那契螺旋线

2.下列二次根式是最简二次根式的是（

A.B.V^^5C.√-02D.02

3.下列计算中，正确的是（）

A.B.2+>Γ2=2>J~2

C.V^^3XΛ∕^^5—√15D.2C-2=y∏>

4.二次根式√Σ不！有意义的条件是（)

A.%>3B.X>—3C.X≥—3D.X≥3

5.在下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（）

A.a=2h=3c=4B,α=6h=8c=10

C.a=3b=4c=5D.a=Ib=√-3c=2

6.如图，为了测量池塘边4、B两地之间的距离，在AB的同侧

取一点C,连接C4并延长至点。，连接CB并延长至点E,使得点4、

B分别是C。、CE的中点，若测得DE=I8m,则4、8间的距离

是（）

A.7m

B.8m

C.9m

D.IOm

7.菱形具有而矩形不具有的性质是（）

A.对角线互相平分B.四条边都相等C.对角相等D.邻角互补

8.如图，在QABeD中，AE1BCsfE,AF1CDTF,若AE=4,

AF=6,丐4BCD的周长为40,则丐4BCD的面积为()

BE

A.48B.24C.36D.40

9.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的

骄傲.如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼

成的一个大正方形,如果大正方形的面积是5,小正方形的面积是1,直角三

角形的两直角边长分别是a、b(b>a),则(a+b)2的值为()

A.16

10.如图，将含有30。角的直角三角板04B按如图所示的方式放置在

平面直角坐标系中，OB在X轴上，若04=4,将三角板绕原点。逆时

针旋转，每秒旋转60。，则第2023秒时，点B的对应点B'的坐标为()

B.(2/3,4)

C.(2λΛ^,2)

D.(0,4)

二、填空题(本大题共5小题，共15.0分)

11.E与最简二次根式5，■中是同类二次根式，贝Ua=

12.已知Q4BCD中，乙4+NC=240。，则NB的度数是.

13.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,Bn相交于点0,

添加一个条件：使平行四边形ABCD是菱形.

14.如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，已知A4BC,4(2,3),B(-2,0),C(0,-l).

若以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形，则点。的坐标为.

A>'

15.如图，边长为8的菱形ABCD两条对角线相交于点0,以4。

为斜边向外作RtZiAOE,连接OE,则线段OE长度的最大值为

三、解答题（本大题共8小题，共75.（）分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题8.0分）

计算/而_6ʃɪ

—√18÷V^^6;

17.（本小题8.0分）

为了绿化环境，某中学有一块四边形的空地ABCD,如图所示，学校计划在空地上种植草皮,

经测量乙4=90。，AB=3m,DA=4m,BC=12m,CD=13m,求出空地4BCD的面积.

18.（本小题8.0分）

如图，在MBCD中，点E、F分别是AD、BC边的中点，求证：BE//DF.

B

FC

19.(本小题9.0分)

下面是小明同学对于题目“化简并求值：2α+√α2-6α+9,其中a=l”的解答过程，请

认真阅读并完成相应任务.

解：原式=2a+√(a-3)2..........................第一步

=2a+a-3....................................................第二步

=3a-3........................................................第三步

把a=1代入得，原式=3a-3=0..................第四步

任务一：填空：第步开始出现错误，错误原因是.

任务二：请直接写出代数式正确的值.

20.(本小题9.0分)

超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所

学的知识检测车速，观测点设在到公路/的距离为Ioonl的P处.这时，一辆红旗轿车由西向东

匀速驶来，测得此车从4处行驶到8处所用的时间为3s.并测得NAPO=60°,ABPo=45°.

(I)求AP和BO的长.

(2)试判断此车是否超过了80∕σn∕∕ι的限制速度？(G≈1.732)

21.(本小题9.0分)

如图，在Rt△力BC中，∆BAC=90°,。是BC的中点，E是40的中点，过点4作4F//BC交BE的

延长线于点F∙

(1)求证：四边形4。CF是菱形；

(2)若AC=12,AB=16,求菱形4DCF的面积.

B∑)C

22.(本小题12.0分)

如图，在Rt△力BC中，NC=90o,AB=5cm,AC=4cm,动点P从点B出发沿射线BC以3cτn∕s

的速度移动，设运动的时间为t秒.

(1)用含t的代数式表示PC.

①当点P在线段BC上时，PC=.

②当点P在线段BC的延长线上时，PC=

(2)当AHBP为直角三角形时，求t的值.

备用图1

23.(本小题12.0分)

如图①，点E为正方形ABCD内一点，=90°,将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90。,

得到aCBE'(点4的对应点为点C),延长AE交CE'于点F,连接DE.

(1)试判断四边形BENE的形状，并证明你的判断：

(2)如图①，若Zλ4=DE,证明：CF=FE';

(3)如图②，若BC=I5,CF=3,请直接写出ABCE'的周长.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4、该图形不是轴对称图形，没有对称轴，不符合题意；

B、该图形有1条对称轴，不符合题意；

C、该图形有多条对称轴，符合题意；

。、该图形不是轴对称图形，没有对称轴，不符合题意.

故选：C.

分别利用轴对称图形的性质和轴对称图形的定义分析得出即可.

本题考查了轴对称的性质和轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性

质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是

一条，也可以是多条甚至无数条.

2.【答案】B

【解析】解：ʃɪ=1.√32=4√^,=

所以ʃɪ,√^32,√^破都不是最简二次根式，门为最简二次根式.

故选:B.

根据最简二次根式的条件对各选项进行判断.

本题考查了最简二次根式：熟练掌握最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因

式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式.把二次根式化简为最简二

次根式是解题关键.

3.【答案】C

【解析】解：4C与「不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；

氏2与√N不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；

C.√~^X√r^5=、15,此选项正确，符合题意；

D2/3与2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意.

故选：C.

根据二次根式的运算你法则逐项判断即可.

本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握同类二次根式的概念、二次根式的乘法、

减法法则及二次根式的性质.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件可得X+3≥0,解不等式即可.

【解答】

解：要使√x+3有意义,必须X+3≥0,

•••X≥-3,

故选：C.

【点评】

本题考查了二次根式有意义的条件，注意：要使气有意义，必须α≥0.

5.【答案】A

【解析】解：4、22+32≠42,故不能组成直角三角形，符合题意；

B、62+82=102,故是直角三角形，不符合题意；

C、32+42=52,故是直角三角形，不符合题意；

。、M+(C)2=22,故是直角三角形，不符合题意.

故选：A.

由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要

利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

6.【答案】C

【解析】解：••・/!、B分别是C。、CE的中点，

.∙.ZB是^CDE的中位线，

.∙.AB=^DE=^×18=9.

故选：C.

根据三角形中位线定理解答即可.

本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解

题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：4、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不选；

8、菱形四条边相等而矩形四条边不一定相等，只有矩形为正方形时才相等，故B符合题意；

C、平行四边形对角都相等，故C不选；

D、平行四边形邻角互补，故。不选.

故选:B.

与平行四边形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等.

考查菱形和矩形的基本性质.

8.【答案】A

【解析】解：设BC=X,

IBCD的周长为40,

•••CD=20—X,

EBC。的面积=BC-AE=CD-AF,

:，4x=6(20—x).

解得X=12,

二口4BCD的面积=BC-AE=12×4=48.

故选:A.

设BC=x,根据平行四边形的周长表示出CD,然后根据平行四边形的面积列式求出X,再根据平

行四边形的面积公式列式进行计算即可得解.

本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的周长与面积的求解，根据面积的表示出

列式求出平行四边形的一条边的长度是解题的关键.

9.【答案】B

【解析】解：由题意可知：大正方形的面积=Q2+∕J2=5,4个直角三角形的面积之和=4X2Qb=

2αh=5-1=4,

所以（α+bp=a2+b2+2ab=5+4=9.

故选：B.

由勾股定理得a?+/=5,由小正方形面积是1,得出2αb=4,即可得出结果.

本题考查了以弦图为背景的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

10.【答案】A

【解析】解：•；三角板每秒旋转60。，

点小的位置6秒一循环.

2023=336×7+1,

・•・第2023秒时，点B的对应点B'的位置与第IS时，位置相同，如图所示：

OA=4,

根据旋转可知，04'=04=4,∆A'OB'=∆AOB=30°,/.BOB'=60%

：.∆A'OB=90°,

.∙∙此时点4'在y轴上，

.∙.B,A'Ly^,

•••B'的纵坐标为4,

VWOB'=30°,

.∙.OB'=2A'B',

.∙.2A'B'2+A'B'2=42,

解得：A'B'=φ,负值舍去，

此时点8'的坐标为（殍,4）.

故选：A.

求出第1秒时，点4的对应点⑷的坐标为（0,4）,由三角板每秒旋转60。，得到此后点4的位置6秒一

循环，根据2023除以6的结果得到答案.

此题考查了坐标与图形的变化中的旋转以及规律型中点的坐标，勾股定理，含30度角直角三角形

的性质，根据每秒旋转的角度，找到点4'的位置6秒一循环是解题的关键.

11.【答案】2

【解析】

【分析】

先将一五化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于α的方程，解

出即可.

本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同

类二次根式.

【解答】

解：∙.∙Q五与最简二次根式5√α+l是同类二次根式,且，19=2/耳，

二α+1=3,解得：α=2.

故答案为2.

12.【答案】600

【解析】解：•••四边形ABCO是平行四边形，

••・Z-A=乙C,Z-A+Z-B=180°,

V乙4+乙。=240°,

・•・∆A=120°,

Λ乙B=60°；

故答案为：60°.

由平行四边形的性质得出NA=Z∙C,∆A+∆B=180°,再由已知条件求出乙4,即可得出Z∙B.

本题考查了平行四边形的性质：熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关

键.

13.【答案】AB=4。（答案不唯一）

【解析】解：添加一个条件为：AB=AD,理由如下：

四边形4BCD是平行四边形，AB=AD,

•••平行四边形4BC。是菱形，

故答案为：AB=AD（答案不唯一）.

由菱形的判定即可得出结论∙

本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质；熟练掌握菱形的判定是解题的关键.

14.【答案】(0,4)或(4,2)或(一4,一4)

【解析】解：如图，若以A，B,C,。为顶点的四边形为平行

四边形，则点。的坐标为Dl(0,4)或外(4,2)或。3(-4,-4)(填一

个即可).

故答案为：(0,4)或(4,2)或(一4,一4).

首先根据题意画出图形，然后根据图形即可求得平行四边形

中点。的坐标.

Da

此题考查了平行四边形的性质，此题难度适中，注意掌握数

形结合思想的应用.

15.【答案】8

【解析】解：取4D的中点F,连接OF,EF,

•••四边形ABCO是菱形，

.∙.AC1BD,

・；点尸是4。的中点，

.∙.OF=^AD=4,

•••以4D为斜边向外作RtΔADE,点F是4D的中点,

.∙.EF=∖AD=4,

在4OEZ7中，OE<OF+EF,

■■■OE≤4+4,

.∙.OE<8,

••・线段OE长度的最大值为8,

故答案为：8.

取AD的中点F,连接OF,EF,利用菱形的性质可得AAOD是直角三角形，根据直角三角形斜边上

的中线可得。F=EF=^力。，由三角形的三边关系即可求解.

本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键.

16.【答案】解：原式=4「一2/3—「

=√-3-

【解析】先算除法，把二次根式化简，再合并同类二次根式即可.

本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则.

17.【答案】解：如图，连接BD,

在RtZkABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52,

在ACBD中,CD2=132,BC2=122,

而122+52=132,BPfiC2+BD2=CD2,

所以4DBC=90°,

\典∖S四边形ABCD=SAABD+SADBC=3x4÷2+5xl2+2=36(m2).

答：空地ABCD的面积是36T∏2.

【解析】直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理得出NDBC=90。，然后利用“割补法”求得空

地ABCD的面积.

此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理的逆定理推知ZDBC=90。是解题关键.

18.【答案】证明：四边形ABCz）是平行四边形，

.∙.AD∕∕BC,AD=BC,

点E、F分别是d4BCD边4D、BC的中点，

.∙.DE="D,BF=^BC,

：.DE=BF,

••・四边形BFDE是平行四边形，

.∙.BE//DF.

【解析】由四边形ABCD是平行四边形，^^AD∕∕BC,AD=BC,又由点E、尸分别是%BCD边4。、

BC的中点，可得。E=BF,继而证得四边形BFDE是平行四边形，即可证得结论.

此题考查了平行四边形的判定与性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.

19.【答案】二算术平方根必须是非负数4

【解析】解：任务一：第二步开始出现错误，错误原因是算术平方根必须是非负数，

故答案为：二，算术平方根必须是非负数；

任务二：原式=2a+3-a

=α+3,

当α=1时，原式=1+3=4.

故答案为：4.

根据二次根式的性质进行解答即可.

本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关

键.

20.【答案】解：(1)由题意知：PO=100米，∆APO=60°,乙BPo=45°,

在直角三角形BPO中，

,,,Z.BPO=45°,

BO=PO=IOOm,

在直角三角形4P。中，

•••/-APO=60°,

AO=PO-tan60°=100V-3m,

.∙.AP=√AO2+PO2=√30000+10000=200m;

(2)由题意知：PO=100X,∆APO=60°,乙BPO=45°,

在直角三角形BPO中，

.∙.AB=AO-BO=(100√3-100)≈73米，

•••从4处行驶到B处所用的时间为3秒，

•••速度为73÷3≈24.3米/秒=87.6千米/时＞80千米/时，

•••此车超过每小时80千米的限制速度.

【解析】(1)利用勾股定理计算即可；

(2)首先利用两个直角三角形求得4B的长，然后除以时间即可得到速度.

本题考查了解直角三角形的应用，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目

的关键.

21.【答案】解：(1)证明：∙∙∙E是4。的中点，

・•・AE-DE，

VAF//BCf

∆AFE=∆DBE,

在△4EF和ADEB中，

/-AFE=Z-DBE

∆AEF=乙DEB,

AE=DE

:AAEF三ZkOEB(AAS),

・•・AF=DB,

∙∙∙D是BC的中点，

∙∙∙BD-CD,

.∙.AF=DC,S.AF//DC,

四边形ADC尸是平行四边形，

∙.∙∆BAC=90°,。是BC的中点，

.∙.AD=CD=；BC,

二四边形/WCF是菱形；

(2)设4尸到C。的距离为九，

•：AF/∕BC,AF=BD=CD,/.BAC=90°,

111

S菱形ADCF~CD∙h—NBC∙h—SAABC=]"B∙AC=X16X12=96.

【解析】本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、三角形和菱形的面积.

(1)先证明△力EF三ADEB(44S),得AF=OB,根据一组对边平行且相等可得四边形4DCF是平行

四边形，由直角三角形斜边中线的性质得4。=C。，根据菱形的判定即可证明四边形4。C尸是菱形;

(3)先根据菱形和三角形的面积可得菱形ADCF的面积=直角三角形ABC的面积，即可解答.

22.【答案】(3—3t')cm(3t-3)cm

【解析】解：(I)(T)VzC=90o,AB=5cm,AC=4cm,

.∙.BC=√AB2-AC2=√25-16=3(cm)，

当点P在线段BC上时，PC=BC-BP=(3-3t)cm,

故答案为：(3—3t)cm；

②当点P在线段BC的延长线上时，PC=BP-BC=(3t-3)cm,

故答案为：(3t—3)cτ∏;

(2)①当NaPB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=3cm,BPt=1；

②当Z∙B4P为直角时，BP=Stem,CP=(3t—3)czn,

AC—4cm,

在Rt∆ACP'V,AP2=42+(3t-3)2,

在中，222

RtABAPAB+AP=BP,图①图②

即：52+[42+(3t-3)2]=(3t)2,

解得：t=得

故当AABP为直角三角形时，t=l或t=年

(1)由勾股定理可求BC的长，由线段和差关系可求解；

(2)分两种情况讨论，由直角三角形的性质和勾股定理可求解.

本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题

的关键.

23.【答案】(1)四边形BE'FE是正方形，

证明：•・•△CBE'是由RtΔABE绕点B按顺时针方向旋转90。得到的，

•••乙CE'B=UEB=90。，NEBE'=90%

Xv乙BEF+乙AEB=90°,

乙BEF=90°,

•••四边形8E'FE是矩形，

由旋转可知BE=BE',

二四边形BE'FE是正方形；

(2)如图②中，过点。作DH