立体几何-2023上海市高三数学一模汇编【学生版】

2023一模汇编【立体几何】

一、填空题

L【普陀2】若正四棱柱的底面周长为4、高为2,则该正四棱柱的体积为.

2.【虹口3】己知一个球的半径为3,则这个球的体积为.

3.【浦东5】若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，则圆锥的侧面积是.

4.【金山5】已知一个圆锥的底面半径为3,高为4,则该圆锥的侧面积为.

5.【长宁5】如图，在三棱台ABC-ABIG的9条棱所在直线中,

与直线AiB是异面直线的共有条.

B

6.【嘉定5】已知某一个圆锥的侧面积为20π,底面积为16兀，则这个圆锥的体积为.

7.【松江6］已知圆锥的母线长为5,侧面积为20兀，则此圆锥的体积为（结果中保留兀）.

8.【宝山7】将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为.

9.【静安7】有一种空心钢球，质量为140.2g,测得球的外直径等于5.0cm,若球壁厚度均匀，则它的内直

径约为__________cm.（钢的密度是7.9g∕cm3,结果保留一位小数）.

10.【徐汇7］已知圆锥的侧面积为2兀，且侧面展开图为半圆，则底面半径为.

11.【闵行7】如图，对于直四棱柱ABCZ)-AIgC01，要使ACLgq,则在四边形ABCr)中，满足

的条件可以是.(只需写出一个正确的条件)

12.【黄浦8】已知一个圆锥的侧面展开图是一个面积为2π的半圆，则该圆锥的体积为.

13.【崇明8】将半径为2的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥筒的高为.

14.【青浦9】已知空间三点A(T,3,1),8(2,4,()),C(0,2,4),则以AB、AC为一组邻边的平行四边

形的面积大小为.

15.【长宁9］若OA=(I,—2,0),03=(2,1,0),OC=(1,1,3),则三棱锥O-ABC的体积为.

16.【嘉定9】如图为正六棱柱ABCOEF-A'B'C'O'E'L，其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与

直线48异面的共有条.

17.［奉贤10］长方体ABC。—A4GA的底面是边长为1的正方形，若在侧棱AA∣上至少存在一点£,

使得NGEB=90,则侧棱A4的长的最小值为.

18.【静安11】在空间直角坐标系。-孙Z中，点P(7,4,6)关于坐标平面Xoy的对称点P1在第卦

限；若点。的坐标为(8,T,5),则向量P。与向量pp，夹角的余弦值是.

19.【嘉定11】在空间直角坐标系中，点4(1,0,0),点8(5,-4,3),点。(2,0,1),则AB在CA方向上的

投影向量的坐标为.

20.【宝山11】某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC,遮阳篷是一个直角边长为6

的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30。角，则当遮阳

篷ABC与地面所成的角大小为时，所遮阴影面ABC'面积达到最大.

21.【青浦11］已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，C

为下底面圆周上一点，则三棱锥尸-ABC外接球的体积为.

22.【松江11】动点P在棱长为1的正方体ASCQ-AqGR表面上运动，且与点A的距离是半，点P

的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为.

23.【长宁11］己知Aa是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A,B

的两点，若圆柱的侧面积为4兀，则三棱锥AlTBC外接球体积的最小值为.

二、选择题

24.【普陀13］已知直线/、，〃和平面α、β,下列命题中的真命题是()

(A)若加_|_/,IHa,则加_La(B)若〃α∕,aLβ,则

(C)若Uα,allβ,则/_L#(D)若Uα,mLβ,贝i"〃加

25.【杨浦14】对于平面α和两条直线机、〃，下列说法正确的是（）

A.若机J_。，mLn,则〃〃α

B.若加、〃与α所成的角相等，则〃

C.若“〃α,n//a,则优〃〃

D.若WUa,m//n,”在平面C外，则”〃。

26.［奉贤14］紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，

经典的有西施壶、掇球壶、石飘壶、潘壶等.其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台.如图给出了一个石瓢

壶的相关数据（单位：cm）,那么该壶的容积约接近于（）

A.1OOcm3B.200cm3

C.300cm,D.400cm,

27.【青浦14］己知m,〃是两条不同直线，a，尸是两个不同平面，则下列命题错误的是（）.

A.若α,方不平行，则在C内不存在与方平行的直线

B若优，〃平行于同一平面，则加与〃可能异面

C.若加，〃不平行，则加与〃不可能垂直于同一平面

D.若α,仅垂直于同一平面，则α与£可能相交

28.【黄浦14］如图，四边形ABcD是边长为1的正方形，MDj"平面ABcO,NB，平面ABa）,且

MD=NB=I,点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（）.

A.MCLAN

B.平面DCM〃平面ABN

（第14题图）

C.直线GB与AM是异面直线

D.直线GB与平面AW无公共点

29.【浦东15］己知直线/与平面α相交，则下列命题中，正确的个数为（）

①平面ɑ内的所有直线均与直线/异面；

②平面ɑ内存在与直线/垂直的直线；

③平面ɑ内不存在直线与直线/平行；

④平面α内所有直线均与直线/相交.

A.lB.2C.3D.4

30.【金山15］己知正四面体ABCz）的棱长为6,设集合Q={P∣∣AP∣≤2",点p∈平面BCD},则C

表示的区域的面积为（）

A.πB.3π

C.4πD.6π

31.【徐汇15］已知平面a、B、/两两垂直，直线a、b、C满足：aua,buβ,CUy,则直线八

反C位置关系不可能是（）

A.两两垂直B.两两平行

C.两两相交D.两两异面

32.【静安16]“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.《九章算术》总结了先秦时期

数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响.书中有如下问

题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底

面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则

这个四棱锥的外接球的表面积为()平方尺.

A.142万B.140〃n

C.138乃D.128〃

三、解答题

33.【嘉定17](本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分

如图，已知正四棱柱A88—44G。，底面正方形ABCQ的边长为2,AA1=3.

(1)求证：平面AAICC_L平面ABD；Bl

(2)求点A到平面A,BD的距离.√J-

VI-

哄

34.【崇明17](本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分

如图，长方体ABCD-A6CQl中，AB=BC=亚,AC与底面ABC。所成的角为45。.

(1)求四棱锥A-ABC。的体积:

(2)求异面直线AB与g2所成角的大小.

35.【松江17](本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

已知AB_L平面BCQ,BClCD

(1)求证：平面ACDJ_平面ABC；

(2)若A5=l,CD=BC=2,求直线AO与平面ABC所成角的正弦值大小.

36.【金山17］如图，在四棱锥P—ABCD中，己知Q4，底面43CD,底面ABC。是正方形，PA^AB.

(1)求证：直线BO上平面PAC；

(2)求直线PC与平面尸如所成的角的大小.

P

A∖D

BC

37.【徐汇17](本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

如图，在直三棱柱ABC-ABCl中，AB=AC=2,AΛ1=4,ABlAC,BE,ABl交AA于点

E,。为CG的中点.

(1)求证：BE，平面AgC;

(2)求直线用。与平面AgC所成角的大小.

38.【青浦18］（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.

如图，在正三棱柱ABC-A用G中，EF分别为BB∣,AC中点.

（1）求证：BF〃平面AlEC；

（2）求证：平面AEed■平面ACCI4.

39.【杨浦18](本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

如图所示圆锥P-O中，CD为底面的直径，A,B分别为母线PD与PC的中点，点E是底面圆周上

一点，若NoCE=30。，AB=阻,圆锥的高为JiI.

(1)求圆锥的侧面积S；

(2)求证：AE与PC是异面直线，并求其所成角的大小.

40.【普陀19](本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

如图，“复兴”桥为人行天桥，其主体结构是由两根等长的半圆型主梁和四根竖直的立柱吊起一块圆环

状的桥面.主梁在桥面上方相交于点S且它们所在的平面互相垂直，S在桥面上的射影为桥面的中心。.主

梁连接桥面大圆，立柱连接主梁和桥面小圆，地面有4条可以通往桥面的上行步道.设CD为其中的一根立

柱，A为主梁与桥面大圆的连接点.

(1)求证：Co〃平面SQ4；

(2)设AB为经过A的一条步道，其长度为12米且与地面所成角的大小为30°∙桥面小圆与大圆的半径之

比为4:5,当桥面大圆半径为20米时，求点C到地面的距离.

41.【浦东18](本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，三棱锥P—A5C中，侧面RW垂直于底面ABC,24=依，底面AsC是斜边为AB的直

角三角形，且NΛBC=30°,记。为AB的中点，E为OC的中点.

(1)求证：PC±AE；

(2)若A5=2,直线PC与底面ABC所成角的大小为60°,求四面体PAoC的体积.

P

B

43.【闵行18］（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分

如图，已知圆柱Oa的底面半径为1,正AABC内接于圆柱的下底面圆0,点。I是圆柱的上底面的圆

心，线段A4∣是圆柱的母线.

（1）求点C到平面AAB的距离；

（2）在劣弧BC上是否存在一点D,满足QD〃平面Λ14B?若存在，求出/80力的大小；若不存在，

请说明理由.

44.[黄浦18](本题满分14分)本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分.

如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ΛBCD为菱形，且Q4，平面ΛBCD,又棱∕¾=45=2,E为

棱CD的中点，NABC=60。.

(1)求证：直线A£J_平面R4B；

(2)求直线AE与平面PCD所成角的正切值.

(第18题图)

45.【长宁19](本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分

如图，在三棱锥£>—ABC中，平面AeD_L平面ABC,ADLAC,ABLBC,E、b分别为棱BC、

Co的中点.

(1)求证：直线Eb〃平面AB。；

(2)求证：直线BC_L平面ABr)；

(3)若直线CD与平面ABC所成的角为45。，直线CD与平面ABZ)所成角为30°,求二面角3-AD-C

的大小.

B

(第19题)

46.【静安1