第03章电阻电路的一般分析(丘关源)教材

第三章电阻电路的一般分析重点:1.支路电流法;2.网孔电流法;3.回路电流法;4.节点电压法。1对于简单电路，通过电阻串、并联关系或Y—△等效变换关系即可求解。如：u+-2Ru+-R2RRR2R2R2Ri=?i总i总2对于复杂电路仅通过串、并联无法求解，必须经过一定的解题方法，才能算出结果。如：

E4-I4+_E3+R3R6R4R5R1R2I2I5I6I1I3+_E23§3.1电路的图一、电路的图一个元件作为一条支路若抛开元件性质，则：65432178543216有向图元件串并联组合成一条支路支路方向(电压电流的关联方向)图R4R1R3R2R6uS6+-iR54二、图的定义(Graph，简称G)——图G是结点和支路的集合，每条支路的两端连在相应的结点上。注意：a.图中的结点和支路各自是一个整体。b.若移去图中的任一条支路，与它所联接的结点要保留下来，因此允许有孤立结点存在。c.如把某个结点移去，则与该结点联接的全部支路都要同时移去。5结论：n个结点的电路中,

独立的KCL方程为n-1个。§3.2KCL和KVL的独立方程数一、KCL的独立方程数——在某图的KCL方程组中，按独立结点列写的方程组就是独立KCL方程。

①：i1－i4－

i6＝0②：－

i1－i2＋

i3＝0③：i2＋i5＋

i6＝0④：－

i3＋

i4－i5＝0其中：①＋②＋③＋④＝0654321①②③④或:上面任意三个方程相加减＝第四个方程。说明有一个方程重复,因此上图KCL独立方程(独立结点)有三个。6二、

KVL的独立方程数1、名词解析(1)路径——从一个节点到达另一节点所经过的支路。(2)连通图——任意两节点间至少有一条路径时称为连通图。非连通图至少存在两个分离部分。例如：加此路径后为连通图非连通图7(3)回路(Loop

)

由支路构成的闭合路径。确切说：一条路径的起点和终点重合，且经过的结点都相异，则这条闭合路径就构成回路。12345678253124578128457不是回路235是回路共有几个回路？答：13个回路。(4)独立回路列出的KVL组彼此之间不重复、彼此独立的回路。8(5)树T(Tree,简称T)——树是一个包含电路的全部结点、不包含回路的连通图。注意：连通、包含所有节点、不含闭合路径不是树树注意：对应同一个图有很多的树。9树支(

简写bt)：构成树的支路。连支(简写bl)：树支以外的支路。12345678注意：树支的数目是一定的，比结点少一个。若：b——支路数；n——结点数则：树支数：

bt＝n－1连支数：bl＝b－(n－1)树25782578是树支1346是连支10(6)基本回路(单连支回路,简写l)——在树中加入一条连支，该连支与若干条树支所组成的回路。12345678树2578注意：

1)基本回路具有独占的一条连枝的特点。用基本回路列出KVL彼此之间一定不会重复，彼此独立。因此基本回路一定是独立回路。2)独立回路数目=基本回路的数目=连支数=b－(n－1)

。3)对于平面电路，独立回路数目=网孔数

。基本回路3112、KVL的独立方程数

——在某图的KVL方程组中，按独立回路列写的方程组就是独立KVL方程。

12345678(127):u1+u2-u7＝0……(1)(235):u3-u5–u2＝0……(2)(1357):u1+u3-u5-u7＝0……(3)上面任意两个方程相加减＝第三个方程。说明有一个方程重复,不是独立的。上图KVL独立方程有多少？根据前述知识：结论：n个结点、b条支路的电路中独立KVL数目=独立回路数＝基本回路数＝b－(n－1)4个123、电路的独立方程数任意一个n个结点、b条支路的电路中：独立的KCL数目：(n－1)独立的KVL数目：b－(n－1)

则该电路的独立方程总数为：(n－1)

＋b－(n－1)＝

b问题：

对于有n个节点、b条支路的电路，若需要求解各支路电流——未知量共有b个,应怎求？——列出

(n－1)个独立的KCL

再列出[b－(n－1)]

独立的KVL

联立求解即可。13§3.3支路电流法一、支路电流法——以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。未知数：各支路电流。解题思路：根据克氏定律，列出独立节点电流方程和独立回路电压方程，然后联立求解。142.列电流方程若电路中有n个节点,则可任选(n–1)个节点,列出(n－1)个KCL独立方程。本电路节点数n=4，只能列3个KCL方程。二、支路电流法解题步骤节点a：I3+I4=

I1节点c：I2=

I5+I3节点b：I1+I6=

I2例1I2I5I6I1I4I3U4U3-+R3R6R4R5R1R2+_bacd1.标定各支路电流(电压)及其参考方向;设网孔(或基本回路)绕行方向。列支路电流法方程。15bacdU4U3-+R3R6R4R5R1R2I2I5I6I1I4I3+_3.列电压方程选定b–(n–1)个独立回路，列出所有独立KVL方程。①按基本回路列KVL。先画树,每一连支与若干树支组成基本回路一定是独立回路。②按网孔列KVL。平面图中每个网孔就是一个独立回路。本电路有3个网孔，可列出3个KVL方程。abda：I4R4+I1R1–

I6R6-

U4=0bcda：I2R2+I5R5+I6R6=0adca：–

I4R4–

I5R5+I3R3–

U3+U4=0164.

联立方程组，求解得到b个支路电流；进行其它分析与计算。上述电压、电流方程联立求得：I1~I6

I3+I4=

I1I1+I6=

I2I2=

I5+I3I4R4+I1R1–

I6R6-

U4=0I2R2+I5R5+I6R6=0–

I4R4–

I5R5+I3R3–

U3+U4=0支路电流法的优缺点优点：能解决所有复杂电路缺点：电路中网孔、节点数多时，所需方程的个数较多，求解不方便。17n=4m=3例2支路中含有恒流源的情况电流方程:a点：I1＋I3S＝I2b点：

I4＋I5＝I2c点：

I6＋I3S＝I4电压方程:abda回路:I1R1＋I2R2＋I5R5－Us＝0bcdb回路:I4R4＋I6R6－I5R5＝0abca:I2R2＋I4R4－Ux

＝0结果:5个电流+1个电压=6个未知数,由6个方程求解。+Ux-dUs+_bcI1I2I4I5I6R5R4R2R1aI3sR6列支路电流法方程。若只求支路电流,可不要18电路中含有受控源的情况有受控源的电路，方程列写分两步：(1)先将受控源看作独立源列方程；(2)将控制量用未知量(支路电流)表示，列写增补方程。解：节点a:–I1–I2+I3=0回路1:7I1–11I2-

70+5U

=0回路2:11I2+7I3-

5U

=0增补方程：U=7I312a+70V–7

bI1I3I27

11

+5U_+U-例3列支路电流法方程。19§3.4网孔电流法网孔电流——假想每个网孔中有一个网孔电流。方向可任意选择。im1代数和中：网孔电流方向与该支路电流方向一致时取“＋”。图示支路电流可表示为：i1＝im1i3＝im2i2＝im2－im1i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2im2任一支路电流＝流过该支路网孔电流的代数和。可见:求出网孔电流后,便可方便地求出其余电电量。一、网孔电流法(适用于网孔较少的电路)——以网孔电流为未知量列写KVL方程分析电路的方法。20二、网孔电流法的简单推导

网孔1：R1i1－R2i2－uS1＋uS2＝0网孔2：R2i2＋R3i3－uS2＝0将i1＝im1

，

i3＝im2

，

i2＝im2－im1

代入上两式，得：R1im1+R2(im1-im2)-uS1+uS2=0R2(im2-im1)+R3im2

-uS2=0整理得：(R1+R2)

im1-R2im2=uS1-uS2-R2im1+(R2+R3)

im2=uS2im1i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2im2网孔电流法方程21例1U4U3－+R3R6R4R5R1R2+_三、网孔电流法解题步骤(1)在m个网孔中注明网孔电流名称并确定其绕行方向；i1i2i3(2)以m个网孔电流为未知量，按网孔列写m个KVL方程。第k网孔KVL方程形式为:ik∑Rkk+∑Rjkij=∑uSkk其中：ik＝第k

网孔电流;

Rkk＝第k

网孔所有电阻之和;ik

Rkk总是取“＋”。ij=第j网孔电流;Rjk=j

k网孔之间的公共电阻之和;

Rjkij代数和中:ij与ik

方向一致时,Rjkij取“＋”。22∑uSkk＝第k网孔所有恒压源电压的代数和。当uSkk与ik方向一致时，uSkk取“－”。(3)联立求解上述方程，得到m个网孔电流；(4)进行其它计算与分析。本题中共有3个网孔：i1i2i3U4U3－+R3R6R4R5R1R2+_(R1+R4+R6)i1－R6i2－R4

i3=U4－R6i1+(R2+R5+R6)i2－R5

i3

=0－R4i1－R5i2+(R3+R4+R5)

i3

=U3－U423理想电流源(恒流源)支路的处理①若恒流源支路仅有一个网孔电流穿过，则该网孔电流=±该恒流源电流。②非上述情况时:引入恒流源电压(当恒压源处理)，增加恒流源电流与网孔电流的关系方程。RSR4R3R1R2US+_iS+

-Uim1im3im2恒流源看作恒压源列方程增补方程：例2解：网孔电流方向如图所示。(RS+R1+R4)im1-R1im2-R4

im3=US－R1im1+(R1+R2)im2=U－R4im1+(R3+R4)

im3

=－UiS＝im2－

im3列网孔电流方程。24例3列网孔电流方程。解：网孔电流方向如图所示。(R1+R2+R5)im1-R2im2-R5im3=USim2=-

I3s-R5im1-R4im2+(R4+R5+R6)im3=0im1im3im2Us+_R5R4R2R1I3sR6IRISºº转换+_RISIRºº提醒：电阻并联的电流源，为减少回路，可先做电源等效变换后再列方程：25列网孔电流方程。解:网孔电流方向如图所示。i1i4i3i2+--+U2U3增补方程：R1R4R5gU1R3R2

U1_++_U1iS例4(R1+R3)i1-R3i3=-U2R2i2=U2-U3-R3i1+(R3+R4+R5)

i3-R5i4=0-R5i3+R5

i4

=U3-

U1iS

=i1-i2gU1=i4-i2U1=-R1i1受控电源支路的处理①先把受控源看作独立电源按上述方法列方程;②再找出控制量与网孔电流的关系，列写增补方程。

26网孔电流法解题要点总结(1)m个网孔的电路，可列m个网孔KVL方程；(2)第k网孔KVL方程形式为：ik∑Rkk

+∑Rjkij=∑uSkk

其中：ik＝第k

网孔电流；∑Rkk＝第k

网孔所有电阻之和；ik∑Rkk总是取“＋”。ij=第j网孔电流;Rjk=j

k网孔之间的公共电阻之和;∑Rjkij代数和中：ij

与ik

方向一致时，Rjkij取“＋”。∑uSkk＝第k网孔所有恒压源电压的代数和。当uSkk与ik方向一致时，uSkk取“－”。(3)某条支路电流＝流过该支路网孔电流的代数和。——若流过该支路网孔电流方向与该支路电流方向一致时取“＋”。27§3.5回路电流法(loopcurrentmethod)回路电流——假想的电流。方向可任意选择。任一支路电流＝流过该支路独立回路电流的代数和。代数和中:若独立回路电流方向与该支路电流方向一致时取“＋”。一、回路电流法(适用于独立回路较少的电路)——以独立回路电流(独立回路中的回路电流)为未知量列写KVL电路方程分析电路的方法。当以网孔为独立回路，取网孔电流为未知量时，称网孔电流法。所以，网孔电流法是回路电流法的特例。网孔电流法只适用于平面电路。而回路电流法适用于任何形式的电路。回路电流法(网孔电流法)与支路电流法相比，方程数减少(n－1)个，为：b－(n－1)28二、回路电流法的证明——与网孔电流法相似。略。对于具有l=b-(n-1)个独立回路的电路，有:其中iLk：k回路电流。Rkk：回路k的自电阻(取＋)。Rkk＝等于回路k中所有电阻之和。自电阻总为正。R11iL1+R12iL2+…+R1L

iLL=uS11R21iL1+R22iL2+…+R2L

iLL=uS22……RL1iL1+RL2iL2+…+RLL

iLL=uSLL29Rjk:回路j、k之间的互电阻。互电阻正负号取法：当两个回路j、k之间的回路电流方向相同时，互电阻取正号“＋”；否则取负号“－”。对于不含受控源的线性网络

Rjk＝Rkj——

系数矩阵为对称阵。uSkk

:回路k中所有电压源电压的代数和。uSkk正负号取法：当回路k中各电压源电压方向与该回路绕行方向一致时，取负号；反之取正号。可见：与支路电流法相比，方程数减少(n－1)个，为：b－(n－1)

30三、回路电流法解题步骤例1U4U3－+R3R6R4R5R1R2+_i1i2i3(1)选定[b-(n-1)]个独立回路(可以先画树找出基本回路),注明回路电流名称并选择其绕行方向;(2)以独立回路电流为未知量,按回路列写KVL方程。第k回路KVL方程形式为:ik∑Rkk

+∑Rjkij=∑uSkk

其中：ik＝第k回路电流;

Rkk＝第k回路所有电阻之和;ik

Rkk总是取“＋”。ij=第j回路电流;Rjk=j

k回路之间的电阻之和;

Rjkij代数和中:

ij与ik

方向一致时,Rjkij取“＋”。31(R1+R4+R6)i1+(R1+R4)i2+R1i3=U4(R1+R4)i1+(R1+R2+R4+R5)i2+(R1+R2)i3

=U4R1i1+(R1+R2)i2+(R1+R2+R3)

i3

=U3∑uSkk＝第k回路所有恒压源电压的代数和。当uSkk与ik方向一致时，uSkk取“－”。本题中共有3个独立回路：(3)求解上述方程,得到[b-(n-1)]

个回路电流；(4)进行其它计算与分析。U4U3－+R3R6R4R5R1R2+_i1i2i332例2RSR4R3R1R2US+_iSi1i3i2为已知电流，实际减少了一方程列出最简回路电流方程组。(RS+R1+R4)i1-R1i2-(R1+R4)

i3=USi2=iS-(R1+R4)i1+(R1+R2)i2+(R1+R2+R3+R4)i3

=0理想电流源支路的处理①若恒流源支路仅有一个回路电流穿过,则该回路电流=±该恒流源电流。②非上述情况时:引入恒流源电压(当恒压源处理),增加恒流源电流与回路电流的关系方程。33i1=iS增补方程：i1i4i3i2例3R1R4R5gU1R3R2

U1_++_U1iS受控电源支路的处理

①先把受控源看作独立电源，并按上述方法列方程;②再找出控制量与回路电流的关系,列写增补方程。列出最简回路电流方程组。R1i1+(R1+R2+R4)i2+R4i3=-

U1-R3i1+R4i2+(R3+R4+R5)i3-R5i4=0i4=gU1U1=

-R1(

i1+i2)34回路电流法解题要点总结(1)[b-(n-1)]个独立回路的电路，可列[b-(n-1)]个回路KVL方程;(2)第k回路KVL方程形式为：ik∑Rkk

+∑Rjkij=∑uSkk

其中：ik＝第k回路电流；∑Rkk＝第k回路所有电阻之和；ik∑Rkk总是取“＋”。ij=第j回路电流；Rjk=j

k回路之间的电阻之和;

∑Rjkij代数和中：

ij与ik

方向一致时，Rjkij取“＋”。∑uSkk＝第k回路所有恒压源电压的代数和。当uSkk与ik方向一致时，uSkk取“－”。(3)某条支路电流＝流过该支路回路电流的代数和。——若流过该支路回路电流方向与该支路电流方向一致时取“＋”。35§3.6结点电压法(nodevoltagemethod)结点电压:任一独立结点与参考点之间的电压(位)差。方向规定为从独立结点指向参考点。参考点可任意选择。uR2＝u1－u2i1＝u1/R1i2＝(u1－u2)/R2i3＝u2/R3iS1R1R3R2gmuR2+uR2_i1i3i2各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合。求出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。1u12u2一、结点电压法(适用于结点较少的电路)——以结点电压为未知量列写KCL方程分析电路的方法。结点电压法独立方程数为：(n－1)36二、结点电压法的简单证明iS1uSiS2R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_132列(n－1)个独立KCL方程：1结点：i1+i2=iS1+iS22

结点：－i2+i3+i4=03

结点：－i3+i5=－iS2令各结点电压分别为un1,un2,un3,上面三个方程可变为:37整理，得：等效电流源iS1uSiS2R1R2R5R3R4+_13238整理，得：令Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5……上式简记为：G11un1+G12un2

＋G13un3

=iSn1G21un1+G22un2

＋G23un3

=iSn2G31un1+G32un2

＋G33un3

=iSn3标准形式的结点电压方程等效电流源iS1uSiS2R1R2R5R3R4+_13239G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2

Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1其中：自电导Gii＝接在结点

i上所有支路的电导之和(与恒流源串联的电阻除外)。总为正。互电导Gij＝结点

i与结点

j之间的所有支路的电导之和(与恒流源串联的电阻除外)。总为负。当电路不含受控源时，Gij

=Gji→系数矩阵为对称阵。

对于具有n个结点的电路，有(n－1)个方程:40iSni

＝结点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。

uSi/Ri、iSi流入结点取正号，流出取负号。结点电压法独立方程数为：(n－1)与支路电流法相比，方程数减少b－(n－1)个。41(1)选定参考结点，标定(n-1)个独立结点；三、结点电压法解题步骤例1列结点电压方程。(2)以(n-1)个结点电压为未知量，按结点列写(n-1)个结点电压法方程；第k结点KCL方程形式为:uk

Gkk+

Gjkuj=

iSkk其中：G1－uS3＋iS2uS4＋－－uS1＋G3G5G6G4231uk＝第k结点电压;

Gkk＝与第k结点相连接的所有电导之和(与恒流源串联的电导除外);uk

Gkk总是取“＋”。uj=第j结点电压;Gjk=j

k结点之间的总电导(与恒流源串联的电导除外);Gjkuj总是取“－”。42(3)求解上述方程，得到(n-1)个结点电压；(4)求各支路电流、电压或进行其它分析。(G1+G4+G5)un1-G5un2–G4un3＝G1uS1+G4uS4-G5un1+(G5+G6)

un2–G6un3=iS2–G4un1–G6un2+(G3+G4+G6)

un3=G3uS3–G4uS4∑iSkk＝第k结点所有恒流源电流的代数和。(恒压源与电阻串联→恒流源与电阻并联,则恒流值=uSk/Rk)

当uSk/Rk或iSk流入结点取“＋”。G1－uS3＋iS2uS4＋－－uS1＋G3G5G6G4231本题共有3个独立结点：43与恒流源串接的电阻不参与列方程90V＋＋＋－－－2

1

2

1

100V20A110V＋－UI312例2应用结点法求U和I。理想电压源的处理①若恒压源支路的一端为参考点，则另一端结点电压=±该恒压源电压。②非上述情况时:引入恒压源电流(当恒流源处