2024届新高三开学数学摸底考试卷含解析

2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）01

数学

本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证

号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第∏卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知全集U=R,集合N={x∣χ2-4x+3<θ},B={x∖log,x<a},且满足∕c8={x∣l<x<2},贝IJ

为（入B）=（）

A.（0,3）B.（-∞,0]∪[3,+∞）C.（1,3）D.（-∞,l]u[3,+∞）

2.已知复数Z满足2-~i=l+i（i为虚数单位），_[是Z的共轨复数，则4zi=（）

z

A.5B.√5C.10D.√10

3.已知复数Z在复平面内对应的点为"，三在复平面内对应的点为N,i是虚数单位，贝心点"在第一象限”

1

是“点N在第四象限”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40Cm

的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50Cm的球。的球面上，且一个底面的

中心与球。的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（）

C,史D.2

AY≡∙l55

且满足¾÷1=1一^L,则,022=(

5.若数列｛%｝的首项q=-",)

册

1Dr

A.——B.5C.-

454

6.函数/（X）=（2'-；'）COSX的部分图象为（）

X2-4

7.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”,

它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若

BC=a,BA=h,BE=3EF,则族=()

f)

2525

设/(x)是定义在R上的周期为3的函数，当xe[0,2)时,/(x)='

C.τ

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某省2021年美术联考约有5000名学生参加，现从考试的科目素描(满分IOO分)中随机抽取了500名考生

的考试成绩，记录他们的分数后，将数据分成7组：[20,30),[30,40),…，[80,90],并整理得到如图所示的

频率分布直方图.则下列说法不正确的是()

i频率/组距

0.02

0.01

O2030405060708090分数

A.由频率分布直方图可知，全省考生的该项科目分数均不高于90分

B.用样本估计总体，全省该项科目分数小于70分的考生约为2000人

C.若样本中分数小于40的考生有30人，则可估计总体中分数在区间[40,50)内约200人

D.用样本估计总体，全省考生该项科目分数的中位数为75分

10.已知函数/⑺=然^^+夕^/沈初点^^苫)的图象过点“^^和何喇3/⑴的最小正

周期为T,则()

A.T可能取庠

B./(x)在(0,4π)上至少有3个零点

Q

C.直线X=*π可能是曲线y=∕(x)的一个对称轴

D.若函数/(x)的图象在［0,2可上的最高点和最低点共有4个，则0

6

11.如图所示，有一个棱长为4的正四面体P-/8C容器，。是尸8的中点，E是CD上的动点，则下列说

法正确的是()

B.A∕8E的周长最小值为4+后

C.如果在这个容器中放入1个小球(全部进入)，则小球半径的最大值为巫

3

D.如果在这个容器中放入10个完全相同的小球(全部进入)，则小球半径的最大值为m-2

12.下列命题中正确的是()

xx

A.3x∈(0,+∞),2>3B.3x∈(0,l),Iog2x<Iog3x

C.VXe(O,+8),>log,xD.∀x∈(θ,gj,(g)<log∣x

第∏卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在(3χ2+l)(X-∙∣)的展开式中X的系数为.

14.现有一圆桌，周边有标号为1,2,3,4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学

课题，卷人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有种.(用数字作答)

15.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于4B两点,

与抛物线C的准线交于点E,若∣Z8∣=∣M∣2,则P=.

,,

16.设Sl,={α∣α=(a∣,α2,∙∙∙,⅛),a,∈{0,l},z=l,2,∙∙,n}(n∈N,n>2),α=(α1,α2,∙∙∙,α,,)∈5π,定义我的差分运

算为D(α)=弧-RM-劭I，∙∙∙h-α“」猿S…用DM(«)表示对a进行5例∈N*,m≤〃)次差分运算，显然，

ZT(α)是一个(〃-加)维数组.称满足Zrs)=(0,0,…,0)的最小正整数机的值为α的深度.若这样的正整数〃？

不存在，则称。的深度为〃.

(1)已知a=(0,l,l,l,0,l,l,l)∈S8,则。的深度为.

(2)S,,中深度为d(d∈N*,d≤〃)的数组个数为.

四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程成

演算步骤

17.设数列加,J满足q=2,a“=3*i.求｛4｝的通项公式.

18.已知锐角ΔJ8C的内角Z,8,C所对的边分别为a,6,c,向量而=(SinC,cosC),万=(2sin/-cos8,-sinB),

且而-L弁.

⑴求角C的值；

(2)若α=2,求A∕J8C周长的取值范围.

19.如图，在圆锥尸。中，已知尸O/底面。O,Po=6,0。的直径48=2,C是筋的中点，D为AC

的中点.

(1)证明：平面PODi■平面尸”C：

(2)求三棱锥D-PBC的体积：

(3)求二面角8-P∕-C的余弦值.

y2

20.已知椭圆三+1(。>6>0)上一点与它的左、右两个焦点耳,玛的距离之和为2及，且它的离心率

Cr

与双曲线V-必=2的离心率互为倒数.

(1)求椭圆的方程；

(2)如图，点/为椭圆上一动点(非长轴端点)，XG的延长线与椭圆交于点B,NO的延长线与椭圆交于点C.

①当直线48的斜率存在时，求证：直线48与BC的斜率之积为定值；

②求A48C面积的最大值，并求此时直线AB的方程.

21.已知函数/(x)=+α∕+⅛x+αb.

(1)若/(x)是奇函数，且有3个零点，求b的取值范围；

⑵若"X)在X=1处有极大值-y,求当XC[-1,3]时f(x)的值域.

22.已知函数/(x)=(COSX-I)e",g(x)=α√+(l-eτ)x(α∈R).

⑴当χ∈(0㈤时,求函数f(χ)的最小值;

(2)当χ∈时，不等式M∙(x)≥半ɪ恒成立，求实数。的取值范围.

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数学.答题卡

/\

姓名：___________________________\I

II

II

I贴条形码区t

II

II

1.答题前，考生先将自己的姓名、准II

II

考证号填写清短，并认真检查监考、/

员所粘贴的条形码。\_____√

2.选择题必须用2B铅笔填涂:非选____n准E考证号

择题必须用0∙5mm黑色签字笔答

题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字

体工整、笔迹清晰。

3.请按题号顺序在各题H的答题区域

内作答，超山区域书写的答案无

效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄

破。

5.正确侦涂■

缺考标记I口

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

I[ʌl[B][C][D]4[Λ][B][C][D]7[A][B][C][D]

2[ʌ][B][C][D]5[A][B][C][D]8[A][B][C][D]

3[A][B][C][D]6[ʌ][B][C]（D]

二、多项选择题（每小题5分，共20分）

9[A][B][C][D]Il[A][B][C][D]

IO[A][BJ[C][D]12[A][B][C][D]

三、填空题（每小题5分，共20分）

13.___________________14.___________________

15.___________________16.__________,________________

四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）

请在各题目的答题区域内作答，依山黑色矩形边框限定区域的答案无效！

请在各题H的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！|[请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！、请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！

20.（12分）21∙（时分）22.（12分）

⅛

I请在各题H的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题H的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！）请在各题H的答题展域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！

√√

2024届新高三开学摸底考试卷(九省新高考专用)01

数学

本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证

号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知全集U=R,集合4={x∣χ2-4x+3<θ},B={x∖∖og1x<a},且满足ZC8={x∣1<x<2},贝IJ

电(”8)=()

A.(0,3)B.(-∞,0]∪[3,+∞)C.(1,3)D.(-∞,l]u[3,+∞)

【答案】B

【分析】首先求出集合A,5中的不等式，再根据/C8={x∣l<x<2}得出集合8,根据集合并集和补集的

定义计算即可.

【详解】由题可知Z=(1,3),B={x∖0<x<2a},

因为/CB={x∣l<x<2},

所以2"=2，即B={x∣0<x<2},

所以∕uB=(0,3),

所以名(ZUB)=(-8,0]33,+8),

故选：B.

2-i

2.已知复数Z满足——=l+i(i为虚数单位)，三是Z的共辄复数，则4z∙1=()

Z

A.5B.√5C.10D.√10

【答案】C

【分析】先根据复数的除法求出z,再计算4z∙)

【详解】由0=l+i

Z

彳耳Z=W-

1+i(l-i)(l+i)222'

-ι3

所以ZE'

所以4zS=(l-3i)∙(l+3i)=10.

故选：C.

3.已知复数Z在复平面内对应的点为A1,三在复平面内对应的点为N,i是虚数单位，贝心点M在第一象限”

1

是“点N在第四象限”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】设复数z=α+bi,复数Z在复平面内对应的点为MS力)在第一象限，求出。力的范围，彳在复平

面内对应的点为N(b,-α)在第四象限，求出“力的范围，再结合充分条件必要条件的定义即可求出答案.

【详解】设复数z=α+bi,复数Z在复平面内对应的点为Λ∕(0,6)在第一象限，则α>O,b>O,

za+b∖(o+bi)ia∖-b在复平面内对应的点为在第四象限，则

T=-7=b-ai,2N(A-α)6>0,α>0.

反之，也成立,

“点M在第一象限”是“点、在第四象限”的充要条件.

故选：C..

4.木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40Cm

的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50Cm的球。的球面上，且一个底面的

中心与球。的球心重合,则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为()

A平2

B.cd

3∙¥∙1

【答案】A

【分析】根据正四棱台的外接球的性质可得两底面的边长，进而根据直角三角形的边角关系，结合二面角

的定义即可求解.

【详解】如图：正四棱台，由题意可知：O是底面正方形的中心也是球。的球心,

12*422

且夫=50=∖OB∖,∖OO'∖=40,所以忸Cl=50√2,∖θ'B'∖=y∣R-∖θO'f=√50-40=30,进而可得∖B'C'∖=30√2,

取BC的中点为N,过"C'的中点P作尸"LCW,连接PN,

所以IOMT°'尸1=g忸Ni=I5√Σ.∣CW∣=；忸H=25√2,t⅛∣MV∣=IoMTOM=Io0,

PM40r-9F)

在宜角三角形PMN中，tan/PM/=Ry=二而=2J2,故SinNPNM=-----，

MN10√23

由于PN1BC,ON±BC,所以"NM即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，故正弦值为述，

3

11

5.若数列｛4｝的首项/=-且满足4川=1一一，则¾)22=()

145

A.—B.5C.-D.—

454

【答案】C

【分析】根据递推公式，结合代入法可以求出数列的周期，利用数列的周期性进行求解即可.

【详解】因为q=-J,一一，

4an

1_<1_41_1

所以的-一11一5，"3一1一?一『4一1-^--了，所以该数列的周期为3,

一45

4

「是有。2022=β674x3=%=1，

故选：C

6.函数∕∙(χ)=(2'-2')cosx的部分图象为()

X2-4

【分析】确定函数为奇函数，排除BD,当时，/(x)≤O,排除A,得到答案.

【详解】/(x)的定义域为{x∣x*±2},

(2-x-2x)cos(-x)(2*-2")cosx

/(-X)=ʌ----------------------=-ʌ——一一=-/(X,故/(X)为奇函数，

(-x)^-4ɪ-4

其图象关于原点对称，排除B,D；

JT

又Xe0,-时，2*-2τ≥0,cosx≥0,χ2-4<0,故/(x)≤0,排除A.

故选：C.

7.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”,

它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若

BC=a,BA=h,'BE=3EF,则版=()

C.912-

3+2BD.-a--b

25252525

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.

，，一,,1,3，1,31一",3，―9，，一,

【详解】依题意，AE=BE-BA=—BF—BA=-(BC+CF)-BA=—BC——AE-BA,

44416

25—∙3—►—•3--

于是一AE=-BC-BA=-a-b,

1644

VrI、I"τ?12-16r

所以力七=k〃-----b.

2525

故选：A

8.设/(x)是定义在R上的周期为3的函数，当xe[0,2)时，/(X)=仔一，则/(二)=()

2—X,1<X<22

11

A.-1B.1C.-D.—

24

【答案】D

【分析】根据题意，化简得到/(-g)=/(-g+3)=/(；),代入即可求解.

4丫2_C<γ<]

【详解】因为/(X)是定义在R匕的周期为3的函数，当xe[0,2)时，/(x)=:「’一:，

[2-x,l<x<2

则/(-j)=∕(-∣+3)=/(ɪ)=3Xψ2-∣=∣.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.某省2021年美术联考约有5000名学生参加，现从考试的科目素描(满分100分)中随机抽取了500名考生

的考试成绩，记录他们的分数后，将数据分成7组：[20,30),[30,40),…，[80,90],并整理得到如图所示的

频率分布直方图.则下列说法不正确的是()

“频率/组距

0.04--------------------------T—i

0.02----------------------------------

0.01--------------—

I~~~~IIlllx

O2030405060708090分数

A.由频率分布直方图可知，全省考生的该项科目分数均不高于90分

B.用样本估计总体，全省该项科目分数小于70分的考生约为2000人

C.若样本中分数小于40的考生有30人，则可估计总体中分数在区间[40,50)内约200人

D.用样本估计总体，全省考生该项科目分数的中位数为75分

【答案】AD

【分析】由样本和总体的关系判断选项A；利用样本频率计算总体中的频数判断选项BC；利用频率分布直

方图中位数的算法计算中位数判断选项D.

【详解】由题意可知，在500个样本中，该项科目分数是均不高于90分，样本可以用来估计总体，但不能

代替总体，在其余4500名考生中，该项科目分数中可能有高于90分的，故选项A不正确：

在样本中，分数不低于70分的频率为(0.04+0.02)X10=0.6,

则样本中分数小于70分的频率为1-0.6=0.4,

若用样本估计总体，则全省该项科目分数小于70分的考生约为5000x0.4=2000人，故选项B正确；

在样本中，成绩低于50分的频率为1-(0.04+2x0.02+0.01)x10=0.1,

当分数小于40的考生有30人时，其频率为老=0∙06,则分数在区间［40,50)内的频率为0.04,

用样本估计总体，则全省考生中分数在区间［40,50)内约5000x0.04=200人，故选项C正确；

用样本估计总体，通过频率分布直方图可知中位数即为将左右两边矩形面积等分所在位置，则该位置在区

间［70,80)内，且等于70+10x；=72.5分，故选项D不正确.

故选：AD.

10.已知函数/(町=然山(0》+9)(/>0,°>0,0<"弓卜勺图象过点出(0,£|和乂(兀,0),/(x)的最小正

周期为7,贝∣J()

12兀

A.7可能取手

B./(x)在(0,4n)上至少有3个零点

C.直线X=M可能是曲线N=∕(x)的一个对称轴

D.若函数/(x)的图象在［0,2可上的最高点和最低点共有4个，则

6

【答案】BCD

【分析】根据题意可知，/(0)=4sin0=g,/(兀)=∕sin(0π+9)=O,即可求出。M,从而根据函数的性

质即可判断各选项的真假.

【详解】由图可知，/(O)=Zsinp=W,HIlsine=L而O<p<g,所以夕=匹，

2226

兀1

又/(π)=?ISin(M+e)=0,所以即+一=而，即G=%—kwZ,

66

所以/(x)=4Sin(函+皆.

对A,若7=学=空，贝IJ,。=:，显然3=上-'=二，无整数解，错误；

7ω666

对B,由Xe(0.4π)可得，ox÷—∈|,4πcoH—|,因为<y=左—≥一,所以4τι<w^l—≥4τιx—I—=一π,

6(66)666662

故<υx+==π,2π,3π有解，即/(x)在(0,4兀)上至少有3个零点，正确；

对C,若直线X=等可能是曲线P=∕(x)的一个对称轴，则萼O+?="+:.

111162

即@=?。+口，f∈Z,又ω=kj,AreZ,所以，t=l,k=2,G=］符合，正确；

ok3/66

对D,因为xe[0,2兀],所以S+^,2πω+^,若函数/（x）的图象在[θ,2π]L：的最高点和最低点共有

o|_O6J

4个，则，—≤2τr<yd—<—,解得：一≤<w<—,而。=左—>O,kGZ,所以，:''ι"=2时，（0=—符合，

2623666

正确.

故选：BCD.

II.如图所示，有一个棱长为4的正四面体P-/8C容器，。是P8的中点，E是CO上的动点，则下列说

A.若E是。的中点，则直线NE与总所成角为1

B.AZ8E的周长最小值为4+A

C.如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为巫

3

D.如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为#-2

【答案】ACD

【分析】A选项：连接/D证明出PBLZE,即可求出直线/E与尸B所成角为?：B选项，把A4CQ沿着

2

CD展开与面5。C同一个平面内，利用余弦定理求出48r后，即可判断；C选项，判断出小球是正四面

体的内切球，设半径为，∙.利用等体积法求解；D选项，判断出要使小球半径要最大，则外层小球与四个面相

切，设小球半径为「，利用几何关系求出r=√^-2.

在正四面体P-42C中，。是PB的中点，所以PδJ_4。,PBJLCD.

因为/OU平面NS,Cr）U平面48,AD∏CD^D,

所以直线尸81平面/8.

因为/Eu平面/8.

JT

所以PB，ZE,所以直线AE与PB所成角为5.故A选项正确;

B选项，把AZCZ）沿着Cl）展开与面8。C同一个平面内，

由/。=Cz）=2√J,NC=4,CoSN/QC='

3

cosZ.ADB=cos[—+Z.ADC]=-sinZ.ADC--

12J3

所以ZB?=2?+。//-2x2x2√5{考ŋ=16驾1*34,所以/BH取，所以A48E的周长最小值为

4+后不正确.故B选项错误；

C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设半径为，.由等体积法可得：

%,=3"叱〃=[表十，所以半径r=L=迈x4=理.故C选项正确；

D选项，10个小球分三层（1个，3个，6个）放进去，要使小球半径要最大，则外层小球与四个面相切，

设小球半径为，四个角小球球心连线M-NGF是棱长为力的正四面体，其高为生色八由正四面体内切

3

球的半径是高只得,

则"尸二3尸，正四面体P—48。高为力+生反尸+尸=

×4，得r=ʌ/ð-2.故D选项正确.

33

故选：ACD

12.下列命题中正确的是（）

xx

A.3x∈(0,+∞),2>3B.Bx∈(0,1),Iog2X<Iog3X

VXW(OX

C.∀x∈(0,+∞),>Iog1XD.<lθg∣X

3

【答案】BD

【解析】本题可通过当xe(0,+8)时(I)<1判断出A错误，然后通过当Xe(O4)时bg2X<O∖∣og3'<0以

及警二=bgz3>l判断出B正确，再然后可通过取X=!判断出C错误，最后可通过当xe(θ,1)时

ɪogɜʃ2I3J

信)<l<k>g∣X判断出D正确.

【详解】A项：当Xw(0,+8)时，A(Ij<1,即丁<3，恒成立，A错误;

B项：当χe(0,l)时，Iog2Λ<0κIog3X<O,

IogLX

因为IogzX_log321所以bg2X<log3X恒成立，B正确;

11ICg2

Iog3XIog3ɪIog32

C项：当X=g时，［ɪʃɪɪ-loglx=1.此时log∣x>(gj,C错误;

D项：由对数函数与指数函数的性质可知，

时，(g)<l<log∣x恒成立，D正确,

当Xe

故选：BD.

【点睛】关键点点睛：本题考查全称命题和特称命题的真假判断，主要考查学生对指数函数和对数函数的

性质的理解，解题时全称命题为真与存在命题为假需要证明，而全称命题为假和存在命题为真只要举一例

即可，考查推理能力，是中档题.

第∏卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在(3χ2+l)[χ-2)

的展开式中X的系数为

【答案】-200

(分析］先利用多项式乘法变形为∣

(3χ2+l)χ-2,再利用二项式通项公式写出展

开式中X的项，即可得解.

【详解】仅+1)仆二丫=3/仆-2丫+q-2丫的展开式中X的项为

3X2C^X2-240x+40X=-2OOx,

所以展开式中X的系数为-200.

故答案为：-200.

14.现有一圆桌，周边有标号为1,2,3,4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学

课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有一种.(用数字作答)

【答案】8

【分析】先安排甲，有或种方法；再安排乙，只能在甲的对面；最后安排丙、丁，有团种方法，最后根据

分步乘法计数原理可得所求结果.

【详解】先按排甲，其选座方法有C：种，由于甲、乙不能相邻，

二乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有另种，

共有坐法种数为C：.片=4x2=8种.

【反思】排列、组合问题由于其思想方法独特、计算量大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就

要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则，先取后排原则，先分组后分配原则，正难则反原则

等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须考虑周全，做到不重不漏，正确解题.

15.已知抛物线C：/=2PX(p>0)的焦点为R过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于N,B两点,

与抛物线C的准线交于点E,若∣Z8∣=怪歼，则P=

【答案】2

【分析】过点尸且斜率为1的直线方程为y=x-g联立抛物线C的方程，求出|/邳，忸同，由∣48∣=∣E尸『，

即可求出P的值.

【详解】过点尸且斜率为1的直线方程为V=X-],

联立抛物线C的方程，得χ2-3px+f=0,

所以MM=3p+5+5=4p,

又因为令y=χ"中X=",贝可-3-p),又因为尸整0),

所以∣EF∣=√Ip,又因为MM=IE歼，所以4p=2p2,解得p=2.

故答案为：2.

16.设S"={Ha=(%,a2，一・,a,),a”{0,l},i=l,2,-、〃}("eN","N2),a=(%,a2「・,a”)eS“，定义。的差分运

算为。(α)=(∣α2-a,∣,∣α3-α2∣,∙∙∙,∣∕π-α,H∣>S,H.用D'"⑷表示对a进行心例∈N*,w≤n}次差分运算，显然,

ZT(α)是一个(〃-加)维数组.称满足Zrs)=(0,0,…,0)的最小正整数机的值为α的深度.若这样的正整数〃？

不存在，则称。的深度为〃.

(1)已知。=((M,1,1,0,1,1,l)eS「则。的深度为.

(2)S“中深度为d(deN*,d≤〃)的数组个数为.

【答案】42rf^'

【分析】利用新定义和集合的运算性质即可得出结论.

【详解】空1：因α=(0,l,l,L0,l,l,l)eSs,

则Ds)=(,0,0,1,1,0,0),D2(α)=(1,0,1,0,1,0),

Z>3(a)=(1,1,1,1,1),O4(α)=(0,0,0,0).

故答案为：4

空2：易知鼠中仅有一组(0,0,0,…,0),

SMM中深度〃=1的数组仅1组(LU,…,1)，

S..2中深度d=2的数组仅2组，

鼠+3中深度d=3的数组仅4组，

***9

SM中深度d=左的数组仅2t-'组，

**,9

所以S”中深度为d的数组仅有2rf-'组.

【点睛】关键点睛：本题考查新定义和集合运算的综合应用能力，属于高难度题，需要认真审题，抓住新

定义的本质.

四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程成

演算步骤

17.设数列｛?｝满足4=2,。角-勺=3.22"，求｛见｝的通项公式.

【答案】¾=22n-'

2lnυ2212,,32,,523

【详解】a„=an.,+3×2--'=(a„_2+3x2∙"^-')+3x2^==«„_2+3×2^+3×2"^

2”T2，T...

=(a„_a+3x2""-A)+3χ2+3χ2=

55252

=αl+3×(2+2+2+∙∙∙+2"-+2^)

2222I

=α,+3×~2^,=2+(2"-'-2)=2"^.

18.已知锐角”B已的内角4,B,C所对的边分别为0,6,c,向量M=(SinC,cosC),万=(2sin/-cos8,-sin8),

且所JL万.

(1)求角C的值；

(2)若α=2,求A∕8C周长的取值范围.

【答案】(I)C=?

O

(2)(3+√3,2+2√3)

【分析】(1)利用向量垂直的坐标表示得2sinCsin∕-(SinCCoS8+cosCsinB)=0,应用正余弦定理的边角

关系化简，结合锐角三角形求角C；

⑵法一：将仇。用A的三角函数表示出来，结合“呜,协求周长范围：法二：首先得到be",

再用6表示周长，利用函数的单调性求范围.

【详解】(1)w∙w=sinC(2sinA-cos5)-cosCsinS=2sinCSinZ-(SinCcosB+cosCsinB)=O,

(法一)2αsinC-(CCoSB+bcosC)=O,cosB=a+C,cosC=a~C,

2ac2ab

1兀

.∙.2.sinC-α=0,则SinC=一，又“8C为锐角三角形，故C=一.

26

(法二)则2sinCsin/—Sin(C+8)=2SinCSinN-Sin/=0,SinZH0,

j兀

∙∙∙sιnc=Γ且为锐角三角形，故C7

ɔ.5.

2sin兀一ZQSinC1

(2)QSin816cos4+ʌ/jsin力_百+cosA,c=----------

D=----------SinJSinZ

sinJsinJsinAsinA

由于为锐角三角形，则/e0,[,且0<C=?—∕<gππ

解得/e

I2J623,2

/d、HIl,,,ʌ∕τcos41_∕τcosA+1

(法—,)周长/=4+b+c=2+∙χ∕3d------