甘肃省兰州市第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题

兰州一中202020211学期期中考试试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是()A.0 B.1 C.2 D.32.已知z＝eq\f(1,1＋i)＋i(i为虚数单位)，则|z|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\f(\r(3),2)D.23.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于()A.12 B.18 C.24 D.364.等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于()A.6 B.5 C.4 D.35.已知向量,满足||＝1，||＝2，－＝(eq\r(3)，eq\r(2))，则|2－|等于()A.2eq\r(2) B.eq\r(17) C.eq\r(15) D.2eq\r(5)6.设，则()A.

B.C.

D.7.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且的充分不必要条件是，则a的取值范围是()A.[1，＋∞) B.(－∞，1]C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]8.函数y＝2|x|·sin2x的图象可能是()若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c),则2a＋2b＋2c的取值范围是()A.(16，32) B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)10.函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)))，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，则t的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))11.已知函数f(x)＝kx＋1，g(x)＝ex＋1(－1≤x≤1)，若f(x)与g(x)的图象上分别存在点M，N，使得点M，N关于直线y＝1对称，则实数k的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－e，\f(1,e)))C.[－e，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－e))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))12.已知f(x)在R上是奇函数，且f′(x)为f(x)的导函数，对任意x∈R，均有成立，若f(－2)＝2，则不等式f(x)>－2x－1的解集为()A.(－2，＋∞) B.(2，＋∞) C.(－∞，2)D.(－∞，－2)第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.则________．________.15.若均为正数,且,则的值是_______________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分12分)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)＝bsinC.(1)求角A的大小；(2)设a＝eq\r(3)，S为△ABC的面积，求S＋eq\r(3)cosBcosC的最大值.18.(本题满分12分)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角A－MA1－N的正弦值.序号分组（分数段）频数（人数）频率1[0,60)a0.12[60,75)15b3[75,90)200.44[90,100)cd合计50119.(本题满分12分)为迎接我校建校120周年，某班开展了一次“校史知识”竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，成绩均为整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：（1）求的值；（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列以及X的数学期望.20.(本题满分12分)已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(QB,\s\up6(→)).(1)求椭圆E的方程；(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.21.(本题满分12分)已知函数f(x)＝－alnx＋x＋eq\f(1－a,x).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)＝ex＋mx2－2e2－3，当a＝e2＋1时，对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，求实数m的取值范围.选考题:（请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.请在答题卷上注明题号.）22.(本题满分10分)平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1.(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程；(2)已知直线l与y轴交于点M，且与曲线C交于A，B两点，求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,|MA|)－\f(1,|MB|)))的值.23.(本题满分10分)已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.兰州一中20202021学年度高三第一学期期中数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是(C)A.0 B.1 C.2 D.32.已知z＝eq\f(1,1＋i)＋i(i为虚数单位)，则|z|＝(B)A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\f(\r(3),2) D.23.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于(D)A.12 B.18 C.24 D.364.等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于(C)A.6 B.5 C.4 D.35.已知向量,满足||＝1，||＝2，－＝(eq\r(3)，eq\r(2))，则|2－|等于(A)A.2eq\r(2) B.eq\r(17) C.eq\r(15) D.2eq\r(5).6.6.设，则(C)A.

B.C.

D.7.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且的一个充分不必要条件是，则a的取值范围是(A)A.[1，＋∞) B.(－∞，1]C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]8.函数y＝2|x|·sin2x的图象可能是(D)9.函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x≤2，,－x＋5，x>2.))若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是(B)A.(16，32) B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)10.函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)))，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，则t的取值范围为(B)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))11.已知函数f(x)＝kx＋1，g(x)＝ex＋1(－1≤x≤1)，若f(x)与g(x)的图象上分别存在点M，N，使得点M，N关于直线y＝1对称，则实数k的取值范围是(D)A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－e，\f(1,e)))C.[－e，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－e))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))12.已知f(x)在R上是奇函数，且f′(x)为f(x)的导函数，对任意x∈R，均有f(x)>eq\f(f′（x）,ln2)成立，若f(－2)＝2，则不等式f(x)>－2x－1的解集为(C)A.(－2，＋∞) B.(2，＋∞)C.(－∞，2)D.(－∞，－2) 第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数则．14.定积分eq\i\in(－2,2,)(eq\r(4－x2)＋x)dx＝___2π._____.15．若均为正数,且,则的值是___2____________．16．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－2a）x＋3a，x<1，,2x－1，x≥1))的值域为R，则实数a的取值范围是_0≤a<eq\f(1,2).___.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)＝bsinC.(1)求角A的大小；(2)设a＝eq\r(3)，S为△ABC的面积，求S＋eq\r(3)cosBcosC的最大值.解(1)∵(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)＝bsinC，∴根据正弦定理，知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝bc，即b2＋c2－a2＝－bc.∴由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2).又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(2,3)π.(2)根据a＝eq\r(3)，A＝eq\f(2,3)π及正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，∴b＝2sinB，c＝2sinC.∴S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2sinB×2sinC×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)sinBsinC.∴S＋eq\r(3)cosBcosC＝eq\r(3)sinBsinC＋eq\r(3)cosBcosC＝eq\r(3)cos(B－C).故当B＝C＝eq\f(π,6)时，S＋eq\r(3)cosBcosC取得最大值eq\r(3).18.（本题满分12分）如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角A－MA1－N的正弦值.(1)证明如图，连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝eq\f(1,2)A1D.由题设知A1B1∥DC，可得B1C∥A1D，故ME∥ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)解由已知可得DE⊥DA，以D为坐标原点，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(2，0，0)，A1(2，0，4)，M(1，eq\r(3)，2)，N(1，0，2)，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝(0，0，－4)，eq\o(A1M,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，－2)，eq\o(A1N,\s\up6(→))＝(－1，0，－2)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(0，－eq\r(3)，0).设m＝(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(A1M,\s\up6(→))＝0，,m·\o(A1A,\s\up6(→))＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋\r(3)y－2z＝0，,－4z＝0，))可取m＝(eq\r(3)，1，0).设n＝(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(MN,\s\up6(→))＝0，,n·\o(A1N,\s\up6(→))＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\r(3)q＝0，,－p－2r＝0，))可取n＝(2，0，－1).于是cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(2\r(3),2×\r(5))＝eq\f(\r(15),5)，则sin〈m，n〉＝eq\f(\r(10),5)，所以二面角A－MA1－N的正弦值为eq\f(\r(10),5).19.（本题满分12分）序号分组（分数段）频数（人数）频率1[0,60)a0.12[60,75)15b3[75,90)200.44[90,100)cd合计501为迎接我校建校110周年，某班开展了一次“校史知识”竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，分数为均匀整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列以及X的数学期望.解：(Ⅰ)(Ⅱ)X的可能取值为2，3，4.所以分布列为：X234P0.040.0640.89620.（本题满分12分）已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(QB,\s\up6(→)).(1)求椭圆E的方程；(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.解(1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2，0).设Q(x0，y0)，则由eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(QB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(6,5)，,y0＝－\f(4,5)，))代入椭圆方程得b2＝1，所以椭圆E的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,\f(x2,4)＋y2＝1，))y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(*)因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，解得k2>eq\f(3,4).设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(16k,1＋4k2)，,x1x2＝\f(12,1＋4k2)，))因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，所以eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))>0，即x1x2＋y1y2>0，又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)·eq\f(12,1＋4k2)－2k·eq\f(16k,1＋4k2)＋4>0，解得k2<4，综上可得eq\f(3,4)<k2<4，则eq\f(\r(3),2)<k<2或－2<k<－eq\f(\r(3),2).则满足条件的斜率k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(\r(3),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，2)).21.（本题满分12分）已知函数f(x)＝－alnx＋x＋eq\f(1－a,x).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)＝ex＋mx2－2e2－3，当a＝e2＋1时，对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，求实数m的取值范围.解(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－eq\f(a,x)＋1＋eq\f(a－1,x2)＝eq\f(（x－1）（x－a＋1）,x2)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝a－1.当a≤1时，a－1≤0，由f′(x)<0得0<x<1，由f′(x)>0得x>1，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.当1<a<2时，0<a－1<1，由f′(x)<0，得a－1<x<1，由f′(x)>0得0<x<a－1或x>1，所以函数f(x)在(a－1，1)上单调递减，在(0，a－1)和(1，＋∞)上单调递增.当a＝2时，a－1＝1，可得f′(x)≥0，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当a>2时，a－1>1，由f′(x)<0得1<x<a－1，由f′(x)>0得0<x<1或x>a－1，所以函数f(x)在(1，a－1)上单调递减，在(0，1)和(a－1，＋∞)上单调递增.(2)当a＝e2＋1时，由(1)得函数f(x)在(1，e2)上单调递减，在(0，1)和(e2，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(e2)＝－e2－3.对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，即存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)的函数值不超过f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值－e2－3.由ex＋mx2－2e2－3≤－e2－3得ex＋mx2≤e2，m≤eq\f(e2－ex,x2).记p(x)＝eq\f(e2－