数乘向量教学设计

5.3.1数乘向量【教学目标】1.通过实例掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义，掌握数乘向量运算的运算律．2.理解并掌握平行向量根本定理．3.通过教学，养成学生标准的作图习惯，培养学生数形结合的能力．【教学重点】数乘向量运算及运算律与平行向量根本定理．【教学难点】对数乘向量定义与平行向量根本定理的理解．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．在向量加法的根底上引入数乘向量的定义，教学过程中紧扣向量的两要素分析定义，始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近开展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1．非零向量a，求作：(1)a＋a＋a；a(2)(－a)＋(－a)＋(－a)．aaaaaa－a－a－a请观察3a与－3APQB2．eq\o(→,AB)，把线段ABAPQB三等分，分点为P，Q，那么eq\o(→,AP)，eq\o(→,AQ)，eq\o(→,BP)与eq\o(→,AB)的关系如何？教师提出问题，引入课题．学生观察解答．在向量加法的根底上引入数乘向量的定义，符合学生认知规律，有利于概念的同化．新课新课新课新课1．数乘向量的定义实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa．向量λa(a≠0，λ≠0)的长度与方向规定为：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反．当λ＝0时，0a＝0；当a＝0时，λ0＝02．数乘向量的几何意义把向量a沿着a的方向或a的反方向，长度放大或缩小．如2a的几何意义就是沿着向量a练习一任作向量a，再作出向量－3a，EQ\F(1,2)a，－EQ\F(1,3)a，并说出它们的几何意义．3．数乘向量运算的运算律设λ，μR，有：(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(2)λ(μa)＝(λμ)a；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．请观察，数乘向量运算律与实数乘法运算律有什么相似之处？例1计算以下各式：〔1〕(－2)EQ\F(1,2)a；〔2〕2(a＋b)－3(a－b)；〔3〕(+)(a－b)－(－)(a+b)．解〔1〕(－2)EQ\F(1,2)a＝(－2EQ\F(1,2))a＝－a；〔2〕2(a＋b)－3(a－b)＝2a－3a＋2b＝(2－3)a＋(2＋3)b＝－a＋5b．〔3〕(＋)(a－b)－(－)(a＋b)＝(＋)a－(＋)b－(－)a－(－)b＝(＋－＋)a－(＋＋－)b＝2a－2练习二化简：〔1〕2(a－b)＋3(a＋b)；(2)EQ\F(1,2)(a＋b)＋EQ\F(1,2)(a－b)．例2设x是未知向量，解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0．解原式可变形为5x＋5a＋3x－3b＝08x＝－5a＋3bx＝－EQ\F(5,8)a＋EQ\F(3,8)b．练习三解关于x的方程：(1)3(a＋x)＝x；(2)x＋2(a＋x)＝0．例3eq\o(→,OA)＝3eq\o(→,OA)，eq\o(→,AB)＝3eq\o(→,AB)，说明向量eq\o(→,OB)与eq\o(→,OB)的关系．解因为eq\o(→,OB)＝eq\o(→,OA)＋eq\o(→,AB)＝3eq\o(→,OA)＋3eq\o(→,AB)＝3(eq\o(→,OA)＋eq\o(→,AB))＝3eq\o(→,OB)．所以eq\o(→,OB)与eq\o(→,OB)共线且同方向，长度是eq\o(→,OB)的3倍．4．平行向量根本定理如果a＝λb，那么a//b；反之如果a//b，且b≠0，那么一定存在一个实数λ，使a＝λb．例如，如果a＝2b，那么a//b；如果c＝－2b，那么c//b；如果d//b，且d的长度是b的一半，并且方向相反，那么d＝－EQ\F(1,2)b．c－2bc－2bab2bb2b－EQ\F(－EQ\F(1,2)b5．非零向量a的单位向量与a同方向且长度为1的向量，称为非零向量a的单位向量．易知，a的单位向量为eq\f(a,|a|)．例4假设MN是△ABC的中位线，求证：MN＝EQ\F(1,2)BC，且MN∥BC．证明因为M，N是AB，AC边上的中点，所以eq\o(→,AM)＝EQ\F(1,2)eq\o(→,AB)，eq\o(→,AN)＝EQ\F(1,2)eq\o(→,AC)，eq\o(→,MN)＝eq\o(→,AN)－eq\o(→,AM)＝EQ\F(1,2)eq\o(→,AC)－EQ\F(1,2)eq\o(→,AB)＝EQ\F(1,2)(eq\o(→,AC)－eq\o(→,AB))＝EQ\F(1,2)eq\o(→,BC)．所以MN＝EQ\F(1,2)BC，且MN∥BC．练习四点D是线段BC的中点，求证：eq\o(→,AD)＝EQ\F(1,2)(eq\o(→,AB)＋eq\o(→,AC))．教师由具体例子引导学生得到数乘向量的定义．师生合作完成．教师提出问题．学生观察解答．师生合作完成．学生练习稳固．教师引导学生完成．学生练习稳固．教师给出问题并引导学生解答．学生根据向量加法的三角形法那么及数乘向量定义完成解答．教师由上例引导学生推广到一般的平行向量．教师引导学生分析．学生练习稳固．培养学生由特殊到一般的归纳总结能力．紧扣向量的两要素分析定义，便于理解数乘向量的几何意义．类比学习．有实数运算法那么做根底，学生解决这局部题目很容易，提醒学生向量上加箭头．由本例引入平行向量定理，由特殊到一般，便于学生接受．此题是首次应用向量知识来解