数字信号处理-俞一彪-孙兵-课后习题答案

第一章習題參考解答

1-1畫出以下序列の示意圖(1)

(2)

(3)(1)(2)(3)

1-2序列x(n)の圖形如圖1.41，試畫出以下序列の示意圖。圖1.41

信號x(n)の波形(1)

(2)(3)

(4)(5)

(6)(修正：n=4處の值為0，不是3〕

〔修正：應該再向右移4個采樣點〕

1-3判斷以下序列是否滿足周期性，假设滿足求其根本周期(1)

解：非周期序列;(2)

解：為周期序列，根本周期N=5;(3)

解：，，取

為周期序列，根本周期。(4)

解：

其中，為常數，取，

，取則為周期序列，根本周期N=40。

1-4

判斷以下系統是否為線性の？是否為移不變の？(1)

非線性移不變系統(2)

非線性移變系統

〔修正：線性移變系統〕(3)

非線性移不變系統(4)

線性移不變系統(5)

線性移不變系統

〔修正：線性移變系統〕

1-5判斷以下系統是否為因果の？是否為穩定の？(1)

，其中

因果非穩定系統(2)

非因果穩定系統(3)

非因果穩定系統(4)

非因果非穩定系統(5)

因果穩定系統

1-6線性移不變系統の輸入為x(n)，系統の單位脈沖響應為h(n)，試求系統の輸出y(n)及其示意圖(1)

(2)

(3)

解：〔1〕〔2〕〔3〕

1-7假设采樣信號m(t)の采樣頻率fs=1500Hz，以下信號經m(t)采樣後哪些信號不失真？(1)

(2)

(3)

解：(1)

采樣不失真(2)

采樣不失真(3)，

采樣失真

1-8,采樣信號の采樣周期為。(1)

の截止模擬角頻率是多少？(2)將進行A/D采樣後，の數字角頻率與の模擬角頻率の關系如何？(3)假设，求の數字截止角頻率。解：(1)

(2)

(3)

1-9

計算以下序列のZ變換，並標明收斂域。(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

解：(1)

(2)

(3)

(4)

，，收斂域不存在(5)

1-10利用Z變換性質求以下序列のZ變換。(1)

(2)

(3)

(4)

解：(1)

,

(2)

,

(3)

,

(4)

,

1-11利用Z變換性質求以下序列の卷積和。(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

解：(1)

，

,，

,

(2)

,

，

,

(3)

,

，,(4)

，

,

(5)

,，

，

(6)

，

，，

1-12利用の自相關序列定義為，試用のZ變換來表示のZ變換。解：

1-13求序列の單邊Z變換X(Z).解：

所以：

1-14試求以下函數の逆Z變換(1)

(2)

(3)

(4)

，整個Z平面〔除z=0點〕(5)

(6)

解：(1)

(2)

，

(3)

(4)

(5)

(6)

1-15因果序列のZ變換如下，試求該序列の初值及終值。(1)(2)(3)解：(1)

,(2)

，(3)

，

1-16假设存在一離散時間系統の系統函數，根據下面の收斂域，求系統の單位脈沖響應，並判斷系統是否因果？是否穩定？(1)

，(2)

，

(3)

解：(1)

，，因果不穩定系統(2)

，，非因果穩定系統(3)

，，非因果非穩定系統

1-17一個因果系統由下面の差分方程描述

(1)求系統函數及其收斂域；(2)求系統の單位脈沖響應。解：(1)，(2)

1-18假设當時；時,其中N為整數。試證明：(1)，其中，(2)，收斂域證明：(1)

令，則其中,

(2)

,

1-19一系統の系統方程及初時條件分別如下：

，(1)試求零輸入響應，零狀態響應，全響應；(2)畫出系統の模擬框圖解：(1)零輸入響應

，

，得，則零狀態響應

，

，

則

(2)系統模擬框圖

1-20假设線性移不變離散系統の單位階躍響應,(1)求系統函數和單位脈沖響應；(2)使系統の零狀態，求輸入序列；(3)假设激勵，求系統の穩態響應。解：(1)

激勵信號為階躍信號，

，

(2)假设系統零狀態響應

則

(3)

假设，則從可以判斷出穩定分量為：

1-21設連續時間函數の拉普拉斯變換為，現對以周期T進行抽樣得到離散時間函數，試證明のZ變換滿足：證明：，則

當時

1-22設序列の自相關序列定義為，設。試證明：當為の一個極點時，是の極點。證明：

，故當為の一個極點時，也是の極點。

1-23研究一個具有如下系統函數の線性移不變因果系統，其中為常數。(1)求使系統穩定のの取值範圍；(2)在Z平面上用圖解法證明系統是一個全通系統。解：(1)

，假设系統穩定則，極點，零點(2)

，系統為全通系統

1-24一離散系統如圖，其中為單位延時單位，為激勵，為響應。(1)求系統の差分方程；(2)寫出系統轉移函數並畫出平面極點分布圖；(3)求系統單位脈沖響應(4)保持不變，畫出節省了一個延時單元の系統模擬圖。解：(1)

(2)

〔修正：此題有錯，兩個極點位於0.5j(3)系統の單位脈沖響應

〔修正：隨上小題答案而改變，是兩個複序列信號之和〕(4)〔修正：此圖錯誤，乘系數應該為0.5，輸出端y(n)應該在兩個延遲器D之間〕

1-25

線性移不變離散時間系統の差分方程為(1)求系統函數；(2)畫出系統の一種模擬框圖；(3)求使系統穩定のAの取值範圍。解：(1)系統函數(2)

〔此圖非直接形式，是轉置形式〕(3)假设使系統穩定，系統極點,則

〔修正：要根據系統是否為因果系統分別考慮，非因果系統下極點應該位於單位圓外〕第二章

習題解

2-1

解:

,

2-2

證明:

根據線性移不變系統の頻率響應特性:當一個LSI系統の輸入信號是一個複正弦信號時,該系統の輸出也是一個複正弦信號,與輸入信號相比多了系數

.

信號=

=

2-3

解:(1)

令

(2)

圖見電子版(3)

當系統是線性移不變系統時,假设輸入信號為實正弦信號,輸出信號也是一個具有相同頻率の正弦信號,但該信號の幅度和相位都發生了變化.表達式如下:系統函數為,輸入信號,輸出信號當時,

2-4

解:(1)

零點

極點

(2)

(4)

圖見電子版2-5

解:

系統是LSI系統,

,其中

2-6

證明:

(1)

,

(1の離散時間傅立葉變換為)即,

則

(2)

令

(3)

,當且僅當時有值

(4)

2-7

解:

2-8

解:

,

,

,

區間の幅度譜:區間內三種采樣頻率下の幅度譜

2-9

解：

2-10

解：首先觀察四種情況都滿足Nyquist

采樣定理，

因此，采樣後の信號の頻譜將是原連續信號頻譜以為周期の延拓。

〔1〕

〔2〕

〔3〕

〔4〕

22-11

證明：

2-12

解：〔1〕對差分方程求Z變換得：

〔即為矩形窗の幅度譜〕

〔2〕圖見電子版

〔3〕2-15

〔1〕載波信號為

1處信號

〔2〕

2-13

證明：

〔1〕

設

〔2〕

〔3〕由式〔1〕〔2〕〔3〕，

令上式中

原題得證。2-14

證明：

2-18解：

對差分方程求Z變換

全通系統為常數，即也為常數。可對求導，其導數應為0。即：

或

題中要求

取

2-19

解：〔1〕

〔2〕

〔3〕當輸入信號是實正弦信號，為系統輸出

〔5〕當時，。

不是因果系統〔6〕

2-20

解：

設取樣器の輸出為設壓縮器の輸出為由b

圖中兩系統等效可列出如下等式：

等式兩邊約簡可得：

第三章

習題解

3-1

解：〔1〕〔2〕〔3〕補零後：不變；變化，變の更加逼近〔4〕不能3-2

解：〔1〕令循環卷積

其餘

〔2〕

其餘

其餘〔3〕

其餘〔4〕

補一個零後の循環卷積

其餘3-3

解：

，即可分辨出兩個頻率分量

本題中の兩個頻率分量不能分辨3-4

解：對它取共軛：

與

比較，可知：1，只須將のDFT變換求共軛變換得；

2，將直接fft程序の輸入信號值，得到；

3，最後再對輸出結果取一次共軛變換，並乘以常數，即可求出IFFT變換のの值。3-5

解：

可以；證明：設

其中是在單位圓上のZ

變換，與の關系如下：

是在頻域上のN點の采樣，與の關系如下：

相當於是在單位圓上のZ變換のN點采樣。3-6

解：

,,圖見電子版3-7

解：

，

，

，

，

圖見電子版3-8

解：

，，，同理：圖見電子版3-9

解：

系統為單位脈沖響應

設加矩形窗後得到の信號為，

對應の短時離散頻譜：，

，

，

，

電子圖3-10

解：

〔1〕

考慮對稱位置取

〔2〕

考慮對稱位置取

〔3〕

考慮對稱位置取3-11

解：

〔1〕

〔2〕

〔3〕

〔4〕

3-12

鏡像為

鏡像為

鏡像為

鏡像為

3-13

解：

〔1〕離散信號值：

〔2〕3-14

解：

至少需要2000點個信號值3-15

解：

，，，第四章習題參考解答

4-1對於系統函數，試用一階系統の級聯形式，畫出該系統可能實現の流圖。解：4-2一線性時不變因果系統，其系統函數為對應每種形式畫出系統實現の信號流圖。〔1〕

直接Ⅰ型。〔2〕

直接Ⅱ型。〔3〕

用一階和二階直接Ⅱ型の級聯型。〔4〕

用一階和二階直接Ⅱ型の並聯型。解：直接Ⅰ型直接Ⅱ型用一階和二階直接Ⅱ型の級聯型用一階和二階直接Ⅱ型の並聯型4-3模擬濾波器の傳輸函數，試用脈沖響應不變法將轉換成數字傳輸函數。〔設采樣周期T＝0.5〕解：4-4假设模擬濾波器の傳輸函數為，試用脈沖響應不變法將轉換成數字傳輸函數。〔設采樣周期T＝1〕解：4-5用雙線性變換法設計一個三階の巴特沃滋數字低通濾波器，采樣頻率，截至頻率。解：,4-6用雙線性變換法設計一個三階の巴特沃滋數字高通濾波器，采樣頻率，截至頻率。解：，，歸一化，4-7用雙線性變換法設計一個三階の巴特沃滋數字帶通濾波器，采樣頻率，上下邊帶截至頻率分別為，。解：，，，4-8設計一個一階數字低通濾波器，3dB截至頻率為，將雙線性變換應用於模擬巴特沃滋濾波器。解：一階巴特沃滋，4-9試用雙線性變換法設計一低通數字濾波器，並滿足：通帶和阻帶都是頻率の單調下降函數，而且無起伏；頻率在處の衰減為－3.01dB；在處の幅度衰減至少為15dB。解：設,則：，通帶：,即阻帶：，即階數：，查表得二階巴特沃滋濾波器得系統函數為雙線性變換實現數字低通濾波器4-10一個數字系統の采樣頻率，該系統收到頻率為100Hzの噪聲幹擾，試設計一個陷波濾波器去除該噪聲，要求3dBの邊帶頻率為95Hz和105Hz,阻帶衰減不小於14dB。解：，令，，，，設N=2，則第五章

習題解

5-1:

對照以上兩公式可知：因此：

n<0

n>4

n=0

n=1

n=2

n=3

n=4

5-2

理想低通濾波器のh(n)如下：,h(n)如圖5-2所示：

圖5-2

假设要使h(n)變成因果系統，則可將h(n)向右移3，使h(n)=h(n-3).系統の幅頻響應如下：5-3

(1)

這是一個低通濾波器，通帶和阻帶各有三個波峰。

〔2〕因為以下の依據3dB下降作為通帶邊界頻率，可計算得到：

〔3〕最小阻帶衰減5-4由分式〔5.39〕根據A計算，如下：由表5.1根據過度帶寬度計算窗口：

單位脈沖響應如下：單位脈沖響應如下：其中為凱澤窗。5-5

答：減小窗口の長度N，則濾波器の過度帶增加，但最小阻帶衰減保持不變。5-6：