第06讲导数在研究函数中的应用（3个知识点方法练创新练成果练）（原卷版）

第06讲导数在研究函数中的应用（3个知识点+方法练+创新练+成果练）【目录】【新知讲解】知识点1.函数的单调性知识点2.函数的极值知识点3.函数的最大（小）值【方法练】【创新练】【成果练】【知识导图】【新知讲解】知识点1.函数的单调性一、函数的单调性与其导数的正负之间的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减二、利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求出导数f′(x)的零点；(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．三、函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)例一、单选题1．（2023上·江苏南京·高二期末）已知函数的导函数为，若，都有，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）已知是可导函数，且对于恒成立，则（

）A． B．C． D．例二、多选题3．（2023上·江苏·高二期末）已知函数，，，则实数a的值可能为（）A．2 B．3 C．4 D．e4．（2023·云南红河·统考一模）已知则（

）A．的值域为B．是奇函数C．若为函数的零点，且，则D．的单调递增区间为5．（2023下·高二单元测试）函数的单调减区间可以为（

）A． B．C． D．知识点2.函数的极值一、函数极值的定义1．极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．二、函数极值的求法与步骤1．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)列表；(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．一、多选题1．（2023上·河北衡水·高三校考阶段练习）若函数既有极大值也有极小值，则（

）A． B．C． D．二、判断题2．（2023下·高二课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误）（1）函数的最大值不一定是函数的极大值．()（2）函数在区间上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．()（3）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．()（4）若函数有两个最值，则它们的和大于零．()三、填空题3．（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数，其中且．若存在两个极值点，，则实数a的取值范围为．4．（2023上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）若函数，则函数的极小值为.四、解答题5．（2023下·高二课时练习）求下列函数的极值.(1)；(2).知识点3.函数的最大（小）值一、函数最值的定义1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．二、求函数的最大值与最小值的步骤函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．一、单选题1．（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则（

）A．在上的极大值和最大值相等B．直线和函数的图象相切C．若在区间上单调递减，则D．三、解答题3．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）已知函数(1)当时，求的最小值；(2)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．4．（2024·海南海口·统考模拟预测）已知函数.(1)若的最小值为1，求；(2)设为两个不相等的正数，且，证明：.5．（2024上·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考期末）已知函数．(1)，求函数的最小值；(2)若在上单调递减，求的取值范围．【方法练】一、单选题1．（2023上·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考期末）若点不在函数的图像上，且过点P有三条直线与的图像相切，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．2．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）已知函数在上的导函数为，且，则的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若函数在处取得极值，则（

）A．B．为定值C．当时，有且仅有一个极大值D．若有两个极值点，则是的极小值点4．（2023上·江苏南京·高二期末）关于函数，下列判断正确的是（

）A．的极大值点是B．函数有且只有个零点C．存在实数，使得成立D．对任意两个正实数，，且，若，则一、解答题1．（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期末）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．2．（2023上·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考期末）已知函数．(1)试讨论函数的单调性；(2)时，求在上的最大值；(3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值．【创新练】一、单选题1．（2024上·广东潮州·高三统考期末）若函数在上有极值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期末）已知函数满足，则下列描述正确的是（

）A．点与点在轴同侧B．若的图象在处的切线斜率小于0，则一定存在点在轴下方C．与的图象可能与轴交于同一点D．函数不一定存在零点二、多选题3．（2024上·辽宁丹东·高三统考期末）已知函数，则（

）A．有一个零点B．的极小值为C．的对称中心为D．直线是曲线的切线4．（2024·海南海口·统考模拟预测）设函数，则（

）A．B．函数有最大值C．若，则D．若，且，则三、填空题5．（2023上·湖北·高二期末）函数的最小值为.6．（2023上·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考期末）已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围是．四、解答题7．（2024·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求函数的极值；(2)若对任意有解，求的取值范围.8．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数，．(1)若函数在R上单调递减，求a的取值范围；(2)已知，，，，求证：；(3)证明：．【成果练】一、单选题1．（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州第一中学校考阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（

）A．这两个球体的半径之和的最大值为B．这两个球体的半径之和的最大值为C．这两个球体的表面积之和的最大值为D．这两个球体的表面积之和的最大值为4．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知直线分别与函数和的图像交于点，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·模拟预测）已知，，，，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数B．既有最大值又有最小值C．的单调递增区间为，单调递减区间为和D．的最大值等于的最小值三、填空题6．（2023上·浙江温州·高二温州中学校考阶段练习）已知函数，则使得成立的的取值范围是.7．（2023·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为．8．（2023上·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期中）已知，，若，则的取值范围是.解答题9．（2023上·河北保定·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，设分别为的极大值点、极小值点，求的取值范围．10．（2023上·广西柳州·高三柳州高级中学校考阶段练习）已知函数，(1)当时，求在区间上的值域；(2)若有两个不同的零点，求的取值范围，并证明：.11．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数．(1)若是函数的一个极值，求实数的值；(2)求证：当时，．12．（2023上·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）已知函数．(1)当，求的单调区间；(2)若有三个零点，求的取值范围．13．（2024上·全国·高三专题练习）设函数．证明：若对所有，都有，则的取值范围是.14．（2023·全国·高三专题练习）设数列的通项，证明：．15