备考2024年新高考数学一轮复习 二次函数与赛函数

专题3.4二次函数与赛函数

题型一二次函数的图象

题型二二次函数的单调性

题型三一次函数在区间上的最值问题

题型四二次函数恒成立问题

题型五幕函数的定义

题型六判断幕函数的图象

题型七根据幕函数的单调性比较大小

题型八根据帚函数的单调性求参数

题型九根据帚函数的单调性解不等式

集练

—

题型一二次函数的图象

例1.（2023春・河南南阳•高二校考阶段练习）已知a,b,c成等比数列，则二次函数y=af+2bx+c的图像与龙轴

的交点个数是.

例2.（2021秋.上海徐汇・高三上海市第二中学校考阶段练习）二次函数＞="2+a+。（4/0）的图像如图所示，则下

列结论中正确的个数是

（1）a,b异号；（2）当尤=1和x=3时，函数值相等；（3）4a+b=0；（4）当y=4时，x的取值只能为0.

举一m

练习1.（2022秋.辽宁•高三校联考阶段练习）若二次函数y=a/+6x+c的图像如图所示，则一元二次不等式

c*+fot+a>0的解集为（）

D.(1,2)

练习2.（2022秋•四川遂宁•高三遂宁中学校考期中）若函数”》）=/+如+10恒满足/（-x+2）=/（x）对称，则实数

m的取值为

练习3.（2022秋•江苏宿迁•高三校考阶段练习）（多选）二次函数y=d-2ax+l的图像恒在x轴上方的一个必要条

件是（）

A.—<。<—B.—1<a<1C.aN—D.a>—1

222

练习4.（2020秋・浙江温州•高三校考阶段练习）已知y=-（x-〃）（x-加+2,且a］是方程y=。的两根，贝IJ〃八必，

大小关系可能是（）

A.a<a<b</?B.a<a<J3<b

C.a<a<（3<bD.a<a<b<（3

练习5.（2022秋・安徽合肥•高三中国科技大学附属中学校考阶段练习）已知函数—的部分图象如图

ax+bx+c

所示，贝!Ja+Z?+c=()

题型二二次函数的单调性

例3.（2021秋・江苏苏州•高三统考期中）已知函数=+2x+机在（-!,”）上单调递增，则实数加的取值范

围是（）

A.（0,1]B.[0,1]C.[1,+<»）D.~,1]

例4.（2022秋・江西宜春高一校考阶段练习）设〃尤）是定义在[1+。,2]上偶函数，则/'（%）=加+法-2在区间[0,2]

上是（）

A.增函数B.减函数C.先增后减函数D,与b有关，不能确定

举一

练习6.（2022・全国・高三专题练习）若函数/（尤）=f+（24-1次+1在区间（-8,2]单调递减，则实数。的取值范围为—

练习7.（2022秋・海南.高三嘉积中学校考期中）已知〃x）=卜一3）：+"'："在R上为减函数，则实数。的取值范

I-%,X>1

围是（）

A.（1,3）B.[1,3）C.（一8,3）D.（3,小）

练习8.（2023秋・吉林・高三吉林市田家炳高级中学校考期末）已知函数〃尤）=/+米-1在区间[L2]上是单调函数,

则实数4的取值范围是（）

A.（^©，―2]1[-1,-Ko）B.[—4,—2]

C.（f，T[-2,+OO）D.[-2,-1]

练习9.（2022秋.江苏连云港.高三统考期中）（多选）已知函数/（x+l）=尤2-4,则（）

A.是R上的偶函数B.y=/（x）+2x是R上的偶函数

C.f（x）在区间（―用上单调递减D.当xe[-l,2]时，y="（x）l的最大值是4

练习10.（2023春•广西南宁•高三校考开学考试）函数y=_5的单调减区间为

题型三二次函数在区间上的最值问题

例5.（2022・高三单元测试）已知函数/（1）=-炉+2mx+根（wwR）.当次』[一1,1]时,设/（%）的最大值为Af,则V的最

小值为（）

1-1

A.—B.0C.—D.—1

44

例6.（2023・全国•高一专题练习）函数“力二-犬+公-1在区间上J+l]（teR）上的最大值为g⑺.求g⑺的解析式；

举一反三

练习11.（2023秋•河北承德•高三统考期末）已知函数/■（%）=-%2+法-。的最大值为0,关于x的不等式

-尤2+6x-c>〃2的解集为（/一1,/+2）,则82—公=,加的值为.

练习12.（2022秋.河北沧州•高三统考期中）（多选）已知函数〃尤）={2'二一二则（）

-x-x,-l<x<0,

A.为偶函数B.〃x）在区间上单调递减

C.的最大值为:D.的最小值为-2

练习13.（2021秋.广东云浮.高三统考期末）（多选）若函数〃力=/+云+。满足"1）=0,〃-1）=8,则（）

A.b+c=-1B./（3）=0

C.”力图像的对称轴是直线x=4D.的最小值为-1

练习14.（2023秋・江苏淮安•高三淮阴中学校考期末）已知函数的值域为[0,4],则函数〃尤）定义域可能

为（）

A.[—2,2]B.[0,2]C.[—2,0]D.{-1,1}

练习15.（2023•全国•高三专题练习）设二次函数/（1）=（°-2）必+3依+2在R上有最大值，最大值为机（。），当根（a）

取最小值时，。=（）

A.0B.1C.；D.&

题型四二次函数恒成立问题

例7.（2019秋・湖南长沙•高三长郡中学校考阶段练习）若命题"Vxe[l,2],f-2ax+l>0”是真命题，则实数。的

取值范围为（）

A.1巴：[B.[i+s]C.（f,l）D.（1,+℃）

例8.（2022秋・广东广州•高三广东实验中学越秀学校校考期中）已知命题“VxeR,+公_1<0”是假命题，则

实数。的取值范围是（）

A.（-℃,-4）B.（YO,4）C.[^4,-Ko）D.[4,+co）

举一反三

练习16.（2023•全国•高三专题练习）p：Vxe[T,2],炉-“20为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a<-2B.a<0C.a<4D.a<16

练习17.（2020秋.黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨三中校考阶段练习）2],*2<。，，是真命题，则。的取值范围

是（）

A.（4,+co）B.[4,+8）

C.D.[1,+co）

练习18.（2023秋•湖南衡阳•高三统考期末）命题p：HxeR,奴2一彳一”忘。的否定为：使命题p成立

的一个无的值为•

练习19.（2023春・湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习）若命题“VxeR,/-4x+aw0”为假命题，则实数。的

取值范围是（）

A.（-8,4]B.（—0,4）C.（-oo,T）D.[T+oo）

练习20.（2023•全国•高三专题练习）若“七°eR,2叫+2夜侬-320”是假命题，则实数机的取值范围是.

题型五幕函数的定义

例9.（2021秋•高三课时练习）下列函数为塞函数的是（）

2

A.>=2三B.y=2x2-1C.y=—D.y=x2

x

例10.（2023春•辽宁本溪•高三校考阶段练习）若幕函数/（尤）=（疗-2m-2卜""4极+1在区间（0,+功上单调递增，则

m=（）

A.-1B.3C.T或3D.1或-3

举一反三

练习21.（2022秋•高三单元测试）（多选）已知函数/（%）=（疗+3m-3）x*为幕函数，则实数机的可能性取值为（）

A.1B.-2C.3D.-4

练习22.（2023春・湖北宜昌•高三校联考期中）已知点（4,2）在幕函数〃x）=（a-1）«的图象上，则（）

A.f（x）=xB.〃力=2/

C.f（x）=xD.f^x）=

练习23.（2023春・安徽•高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知幕函数/（X）的图象过点2,三，且

/（2&-1）＜/（2-&）,则8的取值范围是.

练习24.（2023春•上海杨浦•高三复旦附中校考阶段练习）已知累函数丁=/（幻的图像过点（9,3）,则/（2）的值为

练习25.（2022秋•黑龙江大庆•高三大庆中学校考期中）函数/。）=（加一一1）/"+3是塞函数，且在（0,+8）上单调

递增，则7(2)=()

A--2B.211

c.1•或2”D.2或2一口

题型六判断幕函数的图象

例11.（2023•山东临沂・高三校考期末）下面给出4个幕函数的图像，则图像与函数大致对应的是（）

B.①y=x1,②y=#，③y-^-2>④y=x1

C.①y=%2,②>=尤3,③,=尤5,@y=x~'

21

D.①工尤;，②y=），®y=x,®y=x^

例12.（2023秋・湖北•高三校联考期末）（多选）下列关于幕函数说法不正确的是（）

A.一定是单调函数B.可能是非奇非偶函数

C.图像必过点（U）D.图像不会位于第三象限

举一m

练习26.（2019•全国•高三专题练习）对于函数y=N,y=x：有下列说法：①两个函数都是幕函数；②两个函数在

第一象限内都单调递增;③它们的图像关于直线y=x对称;④两个函数都是偶函数;⑤两个函数都经过点（0,0）、（1,1）；

⑥两个函数的图像都是抛物线型.

其中正确的有.

练习27.（2023秋•上海徐汇•高三统考期末）当ceR时,函数y=/-2的图象恒过定点A,则点A的坐标为.

练习28.（2021秋・青海.高二统考学业考试）如图，①②③④为选项中的四个暴函数的图象，其中①对应的暴函数

可能是（）

C.J=X2D.y=x

练习29.（2022春・浙江•高二统考学业考试）（多选）图象经过第三象限的函数是（）

2

23l

A.y=xB.y=xJC，y=xi5D.y=x~

练习30.（2021秋.新疆巴音郭楞.高三校考阶段练习）（多选）下列说法正确的是（）

A.若幕函数的图像经过点，,2）,则解析式为y=x-

B.所有事函数的图象均过点（0,0）

C.幕函数一定具有奇偶性

D.任何幕函数的图象都不经过第四象限

题型七根据幕函数的单调性比较大小

例13.（2021春.陕西延安.高二校考期末）已知。>人，下列不等式一定成立的是（）

A.B.In（.—/?）>0C.a2>b2D.>b3

例14.（2023•浙江•高三专题练习）已知。=1.产,匕=1.213,。=1.3"，则（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

举一

练习31.（2021秋・上海黄浦•高三上海市大同中学校考期中）若。<6<0,则下列不等关系中，不能成立的是（）

A.—>『B.a3>b3C.3D.a1>b2

abu

练习32.（2021秋•河南新乡•高三校考阶段练习）若a<8<0,则下列不等式①6〈仍，②〃3>氏（§）1<1<0,

ba

④向（回中，正确的有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

练习33.（2022秋・广东佛山•高三佛山市荣山中学校考期中）（多选）若a>b>l>c,贝U（）

b

A.o'>b3B.a+b>b+cC.—>1D.ac2>be1

练习34.（2022秋・福建龙岩•高三上杭一中校考期末）设a=0.4°6,b=0.60i,c=0.8°-4,贝U（）

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

练习35.(2022秋•重庆沙坪坝.高一重庆南开中学校考阶段练习)已知函数/(x)=2X-2-1则

0604

Q=/(0.4°与/=/(0.6),c=/(O.4)的大小关系为()

A.b<a<cB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

题型八根据幕函数的单调性求参数

例15.（2022秋・广东河源•高三校考阶段练习）幕函数/（》）=（疗+2吁2卜"‘在区间（0,+8）上单调递增，则实数机

的值为.

例16.（2023秋•辽宁鞍山•高三统考期末）函数/（尤）=（〃"相-1）尤'""3是基函数，对任意冷.«0,小），且x产9，

满足>0,若a,6eR,且a+b>0,ab<0,则/⑷+/修）的值（）

玉—x2

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断

举一反三

已知ae12,-1,-gg,l,2,3上若幕函数”司=尤"为奇函数，且

练习36.（2023春・湖北孝感・高三统考开学考试）

在（0,+力）上是严格减函数，则1取值的集合是

练习37.（2022秋.上海长宁•高三上海市延安中学校考期末）嘉函数y=（用-相-1）尤冷2m3在区间（_双0）上为严格

减函数，则机=

练习38.（2023秋•河南许昌•高三校考期末）已知函数”x）=（〃/+机-1）/是累函数，且在（0,+e）上是增函数，则

实数加的值为.

练习39.（2023秋•四川内江•高三统考期末）已知〃x）=,2''，在区间（e,y）上是单调增函数，则a的

［-x-ax-5,x<1

取值范围为.

练习40.（2023秋•广东深圳•高三校考期末）“&>1”是“函数/（x）=V在（0,+8）上单调递增”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

题型九根据幕函数的单调性解不等式

例17.已知累函数〃x）=（苏一5加+7卜…（〃?eR）为奇函数.

⑴求了［］的值；

⑵若〃2q+l）>/（a）,求实数。的取值范围.

例18.（2023春・上海•高三校联考阶段练习）已知函数则关于f的表达式/（产-2。+/（2产-l）<0的解集

为.

举一反三

练习41.（2015•吉林・高一吉林毓文中学校考期中）对于函数/"）=对定义域内的任意可，%且%W%，给出下列结

论：

⑴/(^+x,)=f(^)/(%2)

(2)马)=/(再)”马)

(3)

玉-x2

/小1)+/(々)

(4)

22

其中正确结论为：—.

练习42.（2020秋・北京丰台•高三统考期中）已知幕函数的图象经过点（；,手），那么/（x）的解析式为

不等式/（|x|）＜2的解集为.

22

练习43.（2022秋・湖南郴州•高三安仁县第一中学校考阶段练习）若（"+1户＜（3_2机户，则机的取值范围是

练习44.（2023春糊南衡阳•高三衡阳市八中校考开学考试）已知幕函数〃x）经过点（9,3）,则不等式

的解集为.

练习45.（2022・全国•高三专题练习）已知幕函数？=尤冷2%3（meN*）的图象关于》轴对称，且在（0,+8）上单调递

mm

减，则满足（0+1）/＜（3-2a户的。的取值范围为.

专题3.4二次函数与赛函数

题型一二次函数的图象

题型二二次函数的单调性

题型三一次函数在区间上的最值问题

题型四二次函数恒成立问题

题型五幕函数的定义

题型六判断幕函数的图象

题型七根据幕函数的单调性比较大小

题型八根据帚函数的单调性求参数

题型九根据帚函数的单调性解不等式

集练

—

题型一二次函数的图象

例1.（2023春・河南南阳•高二校考阶段练习）已知a,b,c成等比数列，则二次函数y=a3+2bx+c的图像与x轴

的交点个数是.

【答案】1

【分析】根据题意有〃=比，再借助二次函数的判别式判断交点个数

【详解】a,b,c成等比数歹山贝婚=ac,

△=（2方）--4ac=4ac—4ac=0,

则二次函数的图像与天轴有1个交点，

故答案为：1.

例2.（2021秋.上海徐汇・高三上海市第二中学校考阶段练习）二次函数y=ax2+6x+c（a*0）的图像如图所示，则下

列结论中正确的个数是一.

(1)a,b异号；(2)当x=l和x=3时，函数值相等；(3)4。+6=0；(4)当>=4时，x的取值只能为0.

【答案】3

【分析】根据二次函数的图象得到对称轴即可结合二次函数的性质求解.

【详解】根据图象可知：(-2,0),(6,0)是二次函数与x的两个交点，所以可得对称轴方程为

b

x=2,故对称轴为％=---=2,故〃,匕异号且4a+〃=0,(1)(3)正确；

2a

b

因为对称轴为X=-丁=2,故当％=1和尤=3时，函数值相等，

2a

当y=4时，X的取值为。和4,故(2)正确，(4)错误；故正确的个数是3.

故答案为：3.

举一反三

练习1.(2022秋・辽宁.高三校联考阶段练习)若二次函数y=af+bx+c的图像如图所示，则一元二次不等式

o?+加:+口>o的解集为()

A.(-1,2)B.C.D.(1,2)

【答案】C

【分析】根据图像求得”,b,c,进而求得一元二次不等式62+法+。>0的解集.

【详解】由图像可得当x=0时，y=c=-2,所以二次函数了=江+/ZX-2,

由于二次函数y=ax2+bx-2图像过点(-1,0),(2,0),

a-b-2=0

所以解得H=-L,

4a+2b—2=0

所以一元二次不等式-2X2-X+1>0,

即2x2+x-l=(2x-l)(x+l)<0的解集为[-1,；]

故选：C

练习2.(2022秋•四川遂宁.高三遂宁中学校考期中)若函数/(x)=Y+皿+10恒满足/X-x+2)=/(尤)对称，则实数

m的取值为

【答案】-2

【详解】根据/'(-x+2)=/(x)确定函数图象的对称轴，结合二次函数对称轴方程即可求得答案.

函数/(x)=/+如+10恒满足f(-x+2)=/(x)对称，

则/(%)=炉+小+10图象关于直线%=1对称,贝-耳=1,.•.加=-2,

故答案为：-2

练习3.(2022秋・江苏宿迁•高三校考阶段练习)(多选)二次函数丁=必—2公+1的图像恒在无轴上方的一个必要条

件是()

A.—<。<—B.—1VaK1C.aN—D.ci>—1

222

【答案】BD

【分析】先由二次函数图象性质得出图像恒在x轴上方的充要条件，再根据必要条件定义即可求.

【详解】二次函数y=/一2依+1的图像恒在x轴上方的充要条件为△=(-2a)2-4<0^ae(-l,l),

又(T,l)u[-M],(-M)u(-l,"),所以必要条件为—IWaWl、a>-l.

故选：BD

练习4.(2020秋・浙江温州•高三校考阶段练习)已知y=-(x-a)(x-6)+2,且a,夕是方程y=0的两根，则a,b,a,尸

大小关系可能是()

A.a<a<b</3B.a<a<(3<b

C.a<a<(3<bD.a<a<b<f3

【答案】D

【分析】根据题意画出函数图象，根据函数图象即可得答案.

【详解】f(x)=-(x-a)(x-b)+2,由题意得,f(a)=f(b)=2>0,而/(0)=/(尸)=0,借助图象可知,

凡瓦名尸的大小关系可能是々<。<6<分,

故选：D.

练习5.（2022秋•安徽合肥.高三中国科技大学附属中学校考阶段练习）己知函数/（彳）=-4—的部分图象如图

ax'+bx+c

所示，贝1]。+6+0=（）

A.-6B.6C.-3D.3

【答案】C

【分析】由图可得方程/+6尤+c=o的两根为2和4,利用根与系数的关系结合f（3）=l列式求得。,6,c的值，则答

案可求.

【详解】由直线x=2,x=4,知依2+bx+c=a（x—2）（x-4）,又由二次函数y=a无?+6x+c的对称性和图象知顶点

为（3,1）,

所以。（3—2）（3—4）=0,解得a=-l,由+6无+c=0得人=6,c=-8,则a+6+c=-3.

故选：C.

题型二二次函数的单调性

例3.（2021秋•江苏苏州•高三统考期中）已知函数〃力=侬2+2%+根在（-1,内）上单调递增，则实数加的取值范

围是（）

A.（0,1]B.[0,1]C.[1,+a））D.（一叫1]

【答案】B

【分析】分机=。、mwO两种情况讨论，在机=0时，直接验证即可；在〃zwO时，利用二次函数的单调性可得出关

于实数机的不等式组，综合可得出实数加的取值范围.

【详解】当机=0时，函数〃x）=2x在（-1,+8）上单调递增，合乎题意；

当〃件0时，则二次函数/（x）=m2+2x+根图象的对称轴方程为尤=-，，

m>0

若函数/（x）=m/+2x+机在（-L+00）上单调递增，则｛1,解得0<根VI.

----s—1

、m

综上所述，实数加的取值范围是［0』.

故选：B.

例4.（2022秋・江西宜春•高一校考阶段练习）设是定义在［1+。,2］上偶函数，则〃%）=加+法-2在区间［0,2］

上是（）

A.增函数B.减函数C.先增后减函数D.与a,b有关,不能确定

【答案】B

【分析】根据偶函数的特点解出“I,然后根据二次函数的图像和性质进行判断即可.

【详解】是定义在［1+。,2］上偶函数，.•.定义域关于原点对称，即1+°+2=0,-3,

则/（x）=av2+bx-2=-3x2+bx-2,由f（-x）=f（x）,

BP—3x2—bx—2=-3xi+bx—2,解得b=0,/（x）=-3/-2,

函数图像抛物线开口向下，对称轴为x=0,

则函数在区间［0,2］上是减函数.

故选：B.

举一反三

练习6.（2022・全国・高三专题练习）若函数/（劝=/+（2”一1口+1在区间（-00,2］单调递减，则实数。的取值范围为—

【答案】1―00厂T

【分析】根据一元二次函数单调性，结合条件，可知24-受L然后求出。的取值范围即可.

【详解】易知二次函数/。）=/+（2〃-1巾+1的单调递减区间为（-巴一2」,

又因为函数/0）=尤2+（2°_1口+1在区间（-00,2］单调递减，

所以（-=0,2仁（一巴一^^,

即24-*L解得

故答案为：（―c0「'!'

练习7.（2022秋・海南•高三嘉积中学校考期中）已知〃司=八°一+在R上为减函数，则实数。的取值范

I-x,X>1

围是()

A.(1,3)B.[1,3)C.(-oo,3)D.(3,^o)

【答案】B

【分析】由一次函数、二次函数的性质及分段函数的单调性列不等式组求参数范围.

【详解】由y=在工-)上递减，要使“X)在R上递减，

fa-3<0

所以C八「可得"a<3.

-3>-1

故选：B

练习8.(2023秋・吉林・高三吉林市田家炳高级中学校考期末)已知函数/(x)=d+米-1在区间[L2]上是单调函数,

则实数上的取值范围是()

A.—2]J[—1,+oo)B.[—4,—2]

C.(f，T[-2,+®)D.[-2,-1]

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质可得-2或-gwi,解出即可得出实数左的取值范围.

22

【详解】函数〃无)=犬+质-1的对称轴为x=

若函数/(x)=—+京-1在区间[L2]上单调递减，则应有-?22,所以左W-4；

若函数〃尤)=/+米-1在区间[1,2]上单调递增，则应有一_|<1,所以上之一2.

综上所述，实数4的取值范围是无4T或左2-2.

故选：C.

练习9.(2022秋•江苏连云港•高三统考期中)(多选)已知函数/>+1)=尤2一4,则()

A.〃x)是R上的偶函数B.、=/。)+2彳是区上的偶函数

C.〃x)在区间(—」]上单调递减D.当xe[T,2]时，y="(x)l的最大值是4

【答案】BCD

【分析】由条件求出函数的解析式，根据偶函数的定义判断A,根据二次函数的性质判断函数的单调性，

判断C,求函数〃元)在xe[-l,2]上的值域，判断D,根据偶函数的定义判断函数y=/(x)+2x的奇偶性.

【详解】因为f(x+l)=d一4,将x变换为x-l可得〃X)=(X-1)2-4,

因为"1)=0-4=T,"-1)=4一4=0,所以函数〃尤)不是R上的偶函数，A错误；

因为〃X）=（X-1）2-4,由二次函数性质可得函数〃x）在区间（TO,1]上单调递减，C正确；

由一14x42,可得一24x—141,所以O«x-1）2V4,所以当xe[-l,2]时,T4〃x）4O,所以函数＞="（x）|在[一1,2]

上的最大值是4,D正确，

设g（x）=〃x）+2x,贝ljg（x）=d-3,所以g（T）=（_x）2—3=x2—3=g（x）,所以函数y="v）+2x是R上的偶函

数，B正确；

故选：BCD.

练习10.（2023春•广西南宁•高三校考开学考试）函数y=J《+4x_5的单调减区间为;

【答案】（-8,-5]

【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可.

【详解】解：令"=Y+4X-5,贝=，炉+4尤一5可以看作是由y=«与”=V+4x-5复合而成的函数.

^■M=X2+4X-5＞0,得XW-5或X21.

易知〃=尤2+4工-5在上是减函数，在上是增函数，而y=4在[0,+也）上是增函数，

所以y=J尤?+4x-5的单调递减区间为（3,-5].

故答案为：（-℃,-5].

题型三二次函数在区间上的最值问题

例5.（2022•高三单元测试）已知函数/（幻=-%2+2M+MNWR）.当工时，设/（%）的最大值为M,则M的最

小值为（）

A.—B.0C.—D.—1

44

【答案】c

【分析】由题设“X）在（-8,加）上递增，在（n+8）上递减，讨论优与区间的位置关系求了（X）的最大值，进而判

断最大值M的最小值.

【详解】由/。）=-（无-m）2+，〃+〃/，故洋x）在上递增,在（机,+8）上递减，

当〃叱-1,则上递减，故最大值"="-1）=-1-〃也0,

当-1〈机＜1,则最大值加=/（，"）=加+，"2=（加+!）2-Jet-',2）,

244

当mNl,则xe[T,l]上递增,故最大值M=（（1）=3122,

综上,〃的最小值为一

故选：c

例6.(2023・全国，高一专题练习涵数/(耳=-#+4尤-1在区间上,/+1］(六2上的最大值为8«).求8«)的解析式;

—1~+2r+2/41,

【答案】g(f)=，3,1</<2,

-e+4f-1,r士2,

【分析】首先求函数的对称轴，再讨论对称轴和定义域端点的关系，再结合函数的单调性求函数的最大值，即可求

解.

【详解】/(x)=-x2+4.x-l=-(x-2)2+3

当/+1V2,即rwi时，在区间h+1］上为增函数,

・•.g(f)=/Q+l)=—产+2/+2

当t<2<t+l,即l<r<2时，g⑺=/⑵=3；

当此2时，〃x)在区间上1+1］上为减函数，

；.g⑺=〃/)=-f+4-1

-r+2t+2,%W1,

综上所述，g(r)=3,1<Z<2,.

—产+4/—1,tN2,

举一反三

练习11.(2023秋・河北承德•高三统考期末)已知函数“力=-/+法-。的最大值为0,关于x的不等式

—尤2+6x—c>的解集为(f—1J+2),则6?-4C=,机的值为.

9

【答案】0--

4

【分析】由题知，根据二次函数在对称轴处取得最大值即可化简求出62-4C=0；根据不等式-d+6x-c>〃z的解

集为(”1/+2),可得一一区+c+〃z<o的解集为(―1,/+2),然后利用韦达定理表示出。+xJ-4网々=9,再利

用Z>2-4c=0即可出结果.

【详解】因为函数/(工)=-—+笈-c的最大值为0,

所以当尤时，函数有最大值,即一⑶一+/1-c=0,

2⑶2

化简得出/一4c=0.

不等式一Y+fex-o加的解集为（，一11+2）,

即/_法+°+加<0的解集为«—1/+2）,

设方程/一所+°+加=。的两根为王,々，

则|%2-菁1=3，所以（%2-芯）2=9,

即（玉+42）2—4玉兀2=9,

即Z?2—4（c+m）=9,Z?2—4c—4m=9,

所以根=一二9.

4

Q

故答案为：0；.

4

练习12.（2022秋.河北沧州•高三统考期中）（多选）已知函数+无，°金"：则（）

［-X-x,-l<x<0,

A.〃x）为偶函数B.〃尤）在区间1,1上单调递减

C.〃x）的最大值为:D.〃x）的最小值为-2

【答案】BCD

【分析】作出/（x）在区间［T,2］上的图象逐项判断.

【详解】解：作出“力在区间［T2］上的大致图象如图所示：

f（x）的定义域不关于原点对称，不是偶函数，故A错误；

由图象可知，/（x）在区间1.1上单调递减，故B正确；

当尤=一!或:时，"x）max=:，当>2时，/«in=-2,故C,D正确.

2/4

故选：BCD

练习13.（2021秋广东云浮.高三统考期末）（多选）若函数〃x）=d+bx+c满足〃1）=0,f（-l）=8,则（

A.b+c=-A.B./⑶=0

C.“X)图像的对称轴是直线x=4D.的最小值为T

【答案】ABD

【分析】根据已知求出，(x)=d-4x+3,再利用二次函数的性质判断得解.

【详解】由题得[7]⑴储=o=8,即”[+6+c=o解得。r&=-34'

所以〃X)=X2-4X+3.

对于A项，因为6+c=T+3=-l,故A正确；

对于B项，因为“3)=3?-4x3+3=。，故B正确；

对于C项，因为〃%)=/-4x+3的对称轴为尤=2,故C项错误；

对于D项，因为“X)=X2_4X+3=(X-2)2-1,所以的最小值为-1,故D项正确.

故选：ABD.

练习14.(2023秋・江苏淮安•高三淮阴中学校考期末)已知函数/(x)=f的值域为[0,4],则函数/(X)定义域可能

为()

A.[—2,2]B.[0,2]C.[-2,0]D.{-1,1}

【答案】ABC

【分析】利用函数y=/,xeR的奇偶性，以及单调性，分别判断每个选项，可得答案.

【详解】由于y=V,尤eR为偶函数，其图象如图示：

故当xe[-2,2]时，/(0)=0,/(-2)=/(2)=4,则〃x)e[0,4]；

当xe[0,2]时，此时递增，则f(x)e[0,4]；

当xe[-2,0]时，f(x)此时递减，/(x)e[0,4],

当时,/(x)e{l},

故函数的值域为[0,4],则函数/(x)定义域可能为[-2,2],[0,2],[-2,0],

故选：ABC

练习15.(2023•全国•高三专题练习)设二次函数氏0=(°-2)/+3办+2在R上有最大值，最大值为根(。)，当加(a)

取最小值时，"=()

A.0B.1C.1D.行

【答案】A

【分析】根据二次函数的性质求出〃?(a),然后利用基本不等式即得.

【详解】/(%)=(«-2)x2+3依+2在R上有最大值m{a},

・,2<。且当—已时，小)的最大值为喋*,

即2—"0且机+

'4(。—2)42—av42—a

当且仅当=白时，即。=0时，，”(a)有最小值2,

故选：A.

题型四二次函数恒成立问题

例7.(2019秋・湖南长沙•高三长郡中学校考阶段练习)若命题"Vxe[l,2],V一？依+1>0”是真命题，则实数a的

取值范围为()

A.巩：]B.[i+s]C.(f,DD.(1,+℃)

【答案】C

【分析】分离参数，将问题转化为Vxe[l,2],a<U=1(x+J_)恒成立，结合基本不等式求解最值即可得解.

2x2x

【详解】若命题"Vxe[1,2],尤2一2ax+1>0”是真命题，

2

则\/xe[l,2],x+l>2ax,即"三里=」(％+1)恒成立，

2x2x

■-(x+-)>.l^=l,当且仅当x=l时等号成立，

2xVx

即实数。的取值范围是

故选：C.

【点睛】此题考查根据全称命题的真假求参数的取值范围，利用分离参数，将问题转化为求函数最值求解范围，需

要注意等价变形.

例8.(2022秋・广东广州•高三广东实验中学越秀学校校考期中)已知命题“VxeR,ax?+4*_1<()，，是假命题，则

实数。的取值范围是()

A.(-8,-4)B.(YO,4)C.[T+OO)D.[4,+CO)

【答案】C

【解析】由题意可知，命题FXER,62+4%_120，，是真命题，分工=0和%。0两种情况讨论，结合参变量分离法

可求得实数。的取值范围.

【详解】由题意可知，命题“玉: