2022-2023学年广东省韶关市仁化县九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

2022-2023学年广东省韶关市仁化县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列各图中，不是中心对称图形的是（）

A.①③B.②④C.②③D.①④

2.一元二次方程/-6%-5=0配方可变形为（）

A.(x-3)2=14B.(%-3)2=4C.(x+3)2=14D.(x+3)2=4

3.方程2/-5刀+3=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.没有实数根

C.有两个不相等的实数根D.只有一个实数根

4.小兰画了一个函数y=x2+ax+6的图象如图，则关于尤的方程/+

ax+b=0的解是（）

A.无解

B.x=1

C.%=—4

D.x=-1或久=4

5.在平面直角坐标系xOy中，点力（-1,2）关于原点对称的点的坐标是（）

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-1,-2)

6.如图所示，四边形ABC。为。。的内接四边形，^BCD=130°,贝INBOD的大小是

()

A.50°

B.100°

B

C.110°

D.120°

7.如图，A3是。的直径，Z.D=32°,则乙8。。等于（）

A.32°

B.58°

C.60°

D.64°

8.下列事件中，是随机事件的是（）

A.明天下雨B.15个人中至少有两个人出生在同月

C.三角形内角和为180。D.太阳从西方升起

9.不透明的袋中装有只有颜色不同的10个小球，其中6个红色，4个白色，从袋中任意摸出一个球是红球

的概率是（）

2

AA-3Blc4Dl

10.如图，抛物线y=ax2+b%+c的对称轴为直线1=1,经过点（3,0）.下列结

论：

①abc>0；

@b2-4ac>0；

③3a+c=0；

④抛物线经过点（一3,月）和（4/2），则月>丫2；

⑤am?—bWa—b?n（7n为任意实数）.

其中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.若关于x的方程/一kx-12=0的一个根为2,则k的值为.

12.如果点也一2,%），代（一1,%）在二次函数丫=一一+2%的图象上，则yi___丫2•（填“>”，或

）.

13.已知圆锥的底面半径是3c小，母线长为6cm,侧面积为on?.（结果保留兀）

14.如图，小明的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为10c根的正方形

区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大

量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部

分的总面积约为cm2.

15.如图，正AAB。的边长为4,。为坐标原点，A在x轴上，△480沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一

次翻滚后得到△A2。，翻滚2022次后中点M坐标为.

三、计算题：本大题共1小题，共6分。

16.已知抛物线顶点坐标为(3,-1),且经过点(2,3),求该抛物线的解析式.

四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题8分)

解方程：x2-8x-9=0.

18.(本小题8分)

不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同)，其中白球有2个，黄球有1

个，现从中任意摸出一个是白球的概率为今

(1)试求袋中蓝球的个数；

(2)随机摸两球，请用画树状图或列表格法，求摸到的都是白球的概率.

19.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为2(2,4),C(4,3).

(1)请画出△力BC关于原点对称的AaiBiCi；

(2)请画出△ABC绕点8逆时针旋转90。后的△々B2c2，求点A到4所经过的路径长.

20.(本小题8分)

如图，AB是。。的直径，CD是。。的一条弦，且CD1AB于E,连接AC,OC,BC.

(1)求证：41=42；

(2)若8E=2,CD=6,求O。的半径长.

21.(本小题8分)

某校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，墙的最大可用长度为12米.另三边用总长

为26米的木板材料围成.车棚形状如图中的矩形力BCD.为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开

一个2米宽的门.

(1)求这个车棚的最大面积是多少平方米？此时AB与AD的长分别为多少米?

(2)如图2,在(1)的结论下，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放

自行车的面积为70平方米，那么小路的宽度是多少米?

22.(本小题8分)

如图，点2、C、。都在。。上，过点C作交03延长线于点A,连接CD且4CDB=40BD=

30°,BD=6<3cm.

(1)求证：AC是O。的切线.

(2)求。。的半径长.

(3)求由弦C。、2。与弧8C所围成的阴影部分的面积(结果保留兀).

23.(本小题8分)

如图，已知抛物线y=-/+6x+c与x轴交于4(一1,0),B(5,0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点

C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上存在一点尸，使得P4+PC的值最小，求此时点尸的坐标；

(3)点。是第一象限内抛物线上的一个动点(不与点C、8重合)，过点。作无轴于点孔交直线8c于

点、E,连接直线BC把ABDF的面积分成两部分，若SABDE：SABEF=3：2,请求出点。的坐标.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：第一个图形不是中心对称图形；

第二个图形是中心对称图形；

第三个图形是中心对称图形；

第四个图形不是中心对称图形；

故选：D.

根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心

对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可.

此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义.

2.【答案】A

【解析】解：%2—6%—5=0,

x2—6x—5,

久2—6久+9=14,

所以（x—3>=14.

故选：A.

先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9,然后把方程左边写成完全平方的形式即可.

本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：a=2,b=-5,c=3,

4=（-5）2—4x2x3=1>0,

••.方程有两个不相等的实数根，

故选：C.

计算出判别式的值即可作出判断.

本题主要考查根的判别式，一元二次方程a/+族+c=0（a丰0）的根与△=b2—4ac有如下关系：

①当/>。时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当/=。时，方程有两个相等的两个实数根；

③当/<0时，方程无实数根.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了抛物线与x轴的交点.求二次函数y=a/+bx+c(a,6,c是常数，a40)与x轴的交点坐标,

令y=0,^ax2+bx+c=0,解关于尤的一元二次方程即可求得交点横坐标.

关于x的方程/+ax+b=0的解是抛物线y=x2+ax+b与x轴交点的横坐标.

【解答】

解：；函数丫=/+(2工+6的图象与无轴交点坐标分别是(-1,0),(4,0),

;关于x的方程/+ax+b=0的解是x=-1或x=4.

故选：D.

5.【答案】A

【解析】解：•点4(一1,2),

2点关于原点对称的点为(1,-2),

故选：A.

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反.由此可求点A关于原点对称的点的坐标.

本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：•••四边形A8C。为。。的内接四边形，

,­.乙4+乙BCD=180°,

•••4BCD=130°,

zX=50°,

.­.乙BOD=2乙4=100°,

故选：B.

根据圆内接四边形的性质得出NA+ABCD=180。，求出4力=50。，根据圆周角定理得出NB。。=244

再求出答案即可.

本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键.

7.【答案】D

【解析】解：•••和NBOC都对前,

.­.乙BOC=2ND=2x32°=64°.

故选：D.

直接利用圆周角定理求解.

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的

一半.

8.【答案】A

【解析】解：A、明天下雨，是随机事件，符合题意；

2、15个人中至少有两个人出生在同月，是必然事件，不符合题意；

C、三角形内角和为180。，是必然事件，不符合题意；

。、太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意.

故选：A.

根据事件发生的可能性大小判断即可.

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不

可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也

可能不发生的事件.

9.【答案】B

【解析】解：摸出红球的概率：P=4=|，

故选：B.

从袋中任意摸出一个球的等可能情况数为10,摸出红球的等可能情况数为6,按照概率公式计算即可.

本题考查了简单的概率计算；掌握简单概率的计算方法是解题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：・•・二次函数的图象开口向上，

••・a<0,

•••二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，

・•・c<0,

・•,对称轴是直线X=1,

・一五j

b=-2a>0,

•••abc<0,故①错误；

・・•图象与无轴交点的交点有两个，

••・方程+b工+0=0有两个不相等的实数根，

/\=b2—4ac>0,故②正确；

:当x=3时，y—9a+3b+c=0,

■■■b=-2a,

3a+c=0,故③正确；

•••抛物线开口向下，对称轴为x=l,（-3,%）和（4,月）在图象上，

•••力<月，故④错误；

・•・当x=l时，y有最大值，

am2+bm+c<a+b+c（zn为任意实数），

am2—b<a-bm,故⑤正确.

故结论正确的有3个.

故选：C.

根据开口方向确定。的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据对称轴确定6的符号，判断

①；利用图象与x轴交点的个数判断②；利用图象得出与尤轴的另一交点，进而得出a+%+c=0,即可

判断③；根据函数增减性，判断④；根据函数的最大值判断⑤.

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关

键.重点把握抛物线的对称性.

11.【答案】—4

【解析】解：把x=2代入/-kx-12=0得4-2/C-12=0,

解得k=-4.

故答案为：-4.

根据一元二次方程的定义，把久=2代入方程得到关于左的一次方程，然后解一次方程即可.

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

12.【答案】<

【解析】解：,・・丫=一乂2+2久，

抛物线开口向下，对称轴为直线X=_2=1,

••.比<1时，y随尤增大而增大，

-2<-1<1,

71<y2-

故答案为：<.

由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解.

本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系.

13.【答案】187r

【解析】解：底面圆的半径为3cm,则底面周长=2兀X3=6TIcm,

侧面面积=-X671X6=18兀(cm?).

故答案为：18m

根据圆锥的侧面积公式计算即可.

本题考查了圆锥计算，正确记忆圆锥的侧面积=底面周长义母线长-2是解题关键.

14.【答案】60

【解析】解：,•・经过大量重复试，点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，

••・P=0.6,

••・黑色部分的总面积=10x10x0.6=60(cm2).

故答案为：60.

根据大量重复实验后，事件发生的频率会稳定在一个常数附近，这个常数等于概率，可得：点落入黑色部

分的概率为0.6,即可求出黑色部分的总面积.

本题主要考查了用频率估算概率，解题的关键是掌握大量重复实验后，事件发生的频率会稳定在一个常数

附近，这个常数等于概率.

15.【答案】(8085,丁)

【解析】解：如图所示，把AABO经3次翻滚后，点2落到点殳处，点Af经过点N、点"落到点M'处，

点A落到点K处，作1X轴于点E,

则N83KE=60。，83K=4,

KE=-BK=2,BE=:B3K=2宿,

乙33z

/.OF=3X4-2=10,

・•.K(8,0),^(10,2/3).

由图象可知，翻滚三次为一个循环，

•••2022=3x674,

.•・翻滚2022次后A8中点加的纵坐标与点M'的纵坐标相同，横坐标为2022X4-3=8085,

翻滚2022次后中点M的坐标为(8085,0

故答案为：(8085,，^).

作出把A4B。经3次翻滚后的图形，作lx轴于点E,由勾股定理可得殳E的长，从而可知点名的纵坐

标，再根据等边三角形的边长为4及等腰三角形的三线合一性质，可得OE的长，从而可知点邑的坐标；

由图象可知翻滚的循环规律，从而可知翻滚2022次后45中点M的坐标.

本题考查的是坐标与图形变化-旋转，等边三角形的性质等知识，找到旋转规律是解题的关键.

16.【答案】解：已知抛物线的顶点坐标为(3,-1),

设此二次函数的解析式为y=a(x—3)2-1,

把点(2,3)代入解析式，得：

a—1=3,即a=4,

.・.此函数的解析式为y=4(x-3)2-1.

【解析】因为抛物线的顶点坐标为“(3,-1),所以设此二次函数的解析式为y=a(久-3＞一1,把点(2,3)

代入解析式即可解答.

本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法.若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简

单.

17.【答案】解：(x+1)(%—9)=0,

x+1-0或x—9=0,

所以/=-1,久2=9.

【解析】【分析】

利用因式分解法解方程.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因

式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原

方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

18.【答案】解：(1)设袋中蓝球的个数为x个，

•••从中任意摸出一个是白球的概率为3，

■'x+2+1-2)

解得：X=1,

袋中蓝球的个数为1;

(2)画树状图得：

开始

白白黄蓝

/N/K/1\/N

白黄蓝白黄蓝白白蓝白白黄

•••共有12种等可能的结果，两次都是摸到白球的有2种情况，

•••两次都是摸到白球的概率为：卷="

1Z0

【解析】(1)首先设袋中蓝球的个数为尤个，由从中任意摸出一个是白球的概率为，，利用概率公式即可得

方程：高弓解此方程即可求得答案；

(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都是摸到白球的情况，再利用

概率公式求解即可求得答案

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能

的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况

数与总情况数之比.

19.【答案】解：(1)如图所示△&B1G即为所求

(2)如图所示△482C2即为所求.

点A到出经过的路径长1=驾票=孚

【解析】(1)分别作出A，B,C关于原点对称的对应点儿,Bi，Q即可.

(2)分别作出A,B,C绕点B逆时针旋转90。后的对应点42,B2,C2即可.再利用弧长公式求解即可.

本题考查作图-旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

20.【答案】⑴证明：••・48是。。的直径，CDLAB,

BC=BD,

Z-A=Z.2,

又；OA=OC,

：■/.I-/.A,

•••zl=z2.

(2)­■•AB为O。的直径，弦CDLAB,CD=6,

.­•乙CEO=90°,CE=ED=3,

设O。的半径是R,EB=2,则。E=R—2,

在RtAOEC中，R2=©—2)2+32,

解得：R=学，

.•・o。的半径是R=¥.

【解析】(1)利用垂径定理证明NA=N2,再证明n4=N1即可解决问题；

(2)设O。的半径是R,EB=2,贝|OE=R—2,利用勾股定理构建方程求解即可.

本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，灵活运用所学知识解决

问题.

21.【答案】解：(1)设垂直于墙面的边AB=xm,则长2D=(26-2x+2)m,

则面积S=K(28—2X),

S=-2/+28X=-2(x-7)2+98,

又：26—2x+2<12,26—2x>0,

则8WK<13,

当x=8时，S取最大值为967n2,止匕时4B=8m,AD=12m,

答：最大面积是96平方米？此时AB=8m,AD=12m；

(2)设小路宽am,

由(1)知车棚最大面积为967n2,AB=8m,AD=12m,

当停放自行车的面积为70平方米，小路的占地面积为96-70=26机2,

:*16a+12a—2a2—26,

解得：a=1或a=13(舍去)，

答：小路宽1米.

【解析】(1)设垂直于墙面的边为则长为：(26-2x+2)m,面积S=x(28-2x),利用二次函数求

最值即可；

(2)由(1)车棚最大面积为96nl2,当停放自行车的面积为70平方米，小路的占地面积为96-70=2662,

设小路宽为。米，根据题意列方程16a+12a—2a2=26求解即可.

本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，读懂题意，搞清楚数量关系是解决问题的关键.

C

22.【答案】(1)证明：连接CO.―7

•••4CDB=乙OBD=30°,

：.4BOC=60°.y0J

■：AC//BD,/

ZX=/.OBD=30°.

AAACO=90°.

.•・江为O。切线.

解：(2)/.ACO=90°,AC//BD,

：.乙BEO=AACO=90°.

1L

DE=BE=2BD=3/3.

在RtABE。中，sinN。=sin60°=段,

UD

/3_3<3

OB=6.

即O。的半径长为6czn.

(3)•••乙CDB=(OBD=30°,

又•・•乙CED=乙BEO,BE=ED,

・•.△CDE咨〉OBE.

607rx62