旧教材适用2023高考数学一轮总复习 第七章不等式第1讲不等关系与不等式

第1讲不等关系与不等式

------事础知双檎Fl

□知识梳理

1.比较两个实数的大小

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a—6>0o国力大LQOQ,="

a-KQ^a<b,另外，若b>0,则有[>l=a>6;I=Ioa=b；IIQam

--------bbb

2.不等式的性质

(1)对称性：画a>∕Q∕Ka;

(2)传递性：回a>CA>c=a>c;

(3)可加性：a>∕x≠a÷g∣H>⅛+c；a>bfc>启3a+c>6+小、

(4)可乘性：a>b,c>0=>^ac>bc↑a>b,c<0=>Bac<⅛c;a>Δ>0,。>少0=四ac>bd;

(5)可乘方性：a>,>0n圜a">Z∕’(∕7∈N,π≥2)；

(6)可开方性：a>6>0n回母∕7≥2).

知识拓展

1.a>bf<3∆>0=>^<~

ab

2.a<0</?=>ɪ<~.

ab

ab

3.a>6>0,(Kc<心一>7

cd

4.0<a<x<b或水x<⅛<0=)d<±

bXa

L什、，、八、八,bb+mbb—m.、…a、a+maa-m.,、小

5.右a>b>O,%>0,r贝ι卜<-:-；->------(⅛ι-z»>0)；7>T1-；-----(⅛-∕z∕>0).

aa-vinaa—mbb-rmbb—in

□双基自测

1.设后f,m-x—1,则〃与N的大小关系是()

A.MyNB.QN

C.I^ND.与X有关

答案A

解析M-X+x+I=f-γ+2)+]>°，所以协山故选A.

2.(2021•天津河北区模拟)已知X,y∈R,且x>y>0,则()

A.B.sinx-siny>0

D.In%+Iny>O

答案C

解析因为函数尸◎在R上单调递减，且x>y>0,所以（T）〈（0，即（O—æ<0.

3.若水0,〃>0且/升水0,则下列不等式中成立的是（）

A.一〃<欣77<-RB.一/K冰一成）

C.水一成一水nD.勿<一/X水一/

答案D

解析（取特殊值法）令后一3,〃=2分别代入各选项检验，可知D正确.

4.（2022•东北育才学校高三模拟）若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式恒成立的是（）

A.HB.a2>62

ab

C.a∖c∖>b∖c∖D.,+[Q+]

答案D

解析对于A,若名〉0>4则,〉"，故A错误；对于B,取a=l,b=—2,则才<况故B

ab

错误；对于C,若C=0,则a∣c∣=引c∣,故C错误；对于D,因为所以$〉0,

又a>6,所以;7*γ>号γ,故D正确.故选D.

5.已知a,b,c∈R,有以卜命题：

①若则②若，!，则水仇

③若a>6,则a∙2°>6∙2°.

其中正确的是（请把正确命题的序号都填上）.

答案②③

解析①若cW0,则命题不成立.②由?〈擀得宁〈0,于是水6,所以命题正确.③由

20>0知命题正确.故正确命题的序号为②③.

核心再向突破I

考向一不等式的性质

例1(1)已知条件甲：a>0,条件乙：且］>［，则甲是乙的()

ʌ.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

I).既不充分也不必要条件

答案B

解析由a>0不能推出且∙⅛,故甲不是乙的充分条件.若a>6且即a>b且号>0,

ababab

则aAO,所以a>0,伙0.所以由a>8且能推出a>0.故甲是乙的必要条件.所以甲是乙的

ab

必要不充分条件.

(2)若V0,则下列不等式：①②∣a∣+6>0;③a-2>6-J；@lna>

ab己十babab

Inb2中，正确的是.

答案①③

解析解法一：由L<Jvθ,可知b<aV0.①中，因为d+Zr<O,ab>Of所以一⅛√V0,

aba+b

2>0.故有S)V七，即①正确；②中，因为b<a<O9所以一b>—d>0.故一沅>|司，即

I+6<0,故②错误；③中，因为6VaV0,又V0,所以女一故③正确；④

abab

中，因为6VaV0,根据y=f在(―8,0)上为减函数，可得百>才>0,而y=lnX在定义

域(0,+8)上为增函数，所以InA2>ln3，故④错误.由以上分析，知①③正确.

解法二：因为ɪv4vθ,故可取3=—1,，=—2.显然∣a∣+6=1—2=—1<0,所以②错

QU

误；因为In才=In(―l)2=0,InΔ2=In(―2)2=ln4>0,所以④错误；因为a+，V0,

ab>Q,所以一J7VO,；>0.故有一Lv」；，所以①正确；因为6VaV0,又V0,所以

a-vbaba-rbabab

T>H，所以③正确.

「触类旁通.解决不等式是否成立问题常用的方法

(1)直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注

意前提条件.

(2)利用特殊值法排除错误答案.

(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、

对数函数、基函数等函数的单调性进行判断.

即时训练L(2022•长治模拟)下列选项中，√Z>√Σ的一个充分不必要条件是()

A.~>~B.Iga>lgb

C.a>t)D.e>eb

答案B

=>

解析由函数y=lgX的单调性知Iga>lgZx=>a>力O=F>的，但MwXIga>lg6,

/

如a=l,b=0.故选B.

2.(2021•兰州模拟)若丛伙0,给出下列不等式：①才+1>左②|1一司>|。一1|；

¾⅛⅛

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

答案D

解析因为水伙0,所以∣a∣>∣引>0,所以才>氏所以才+1>次故①正确.又因为一a>

-b>0,所以1—a>l—6>0,所以I1—a∣>∣b—1,故②正确.因为a+ZKa<Z<O,所以；>,>

a-rbab

故③正确.所以三个不等式都正确.故选D.

精准设计考向，多角度探究突破

考向二比较两个数(式)的大小

角度1作差法

例2(1)已知求1,则f—1与2f-2X的大小关系是.

答案X-∖<2X-2X

解析%—1—(2/—2%)-x~2^+2x~l-(x-x}—(f—2x+l)=f(χ-1)—(χ-1)2

2

^21(1∖3

—(X—1)(%—x+1)—(ɪ-1)fʃ-ɪj,*.*Λ<1,；.x—1<0.又(*—5J÷->0,.∙.(x—

1)(Lg+∣<θ>.,∙∕-l<2χ-2%.

⑵已知等比数列｛a｝中，&>0,q>0,前〃项和为S,,则§与S的大小关系为________

ʤ庆

答案-<-

ʤ3s

CQCCSWa(1-d)

解析当O=I时，一=3,二=5,所以—一.当(7>0且q≠l时,

ʤ全33Qζ>a∙3选a↑q(1—^)

rι

演(1—d)6(1-d)—(1-g)-(7~1所以当巨综上可知，-<-

a↑q(1—<7)d(Lq)q

角度2作商法

例3(1)(2020•全国HI卷)已知55<8',13"<8'.设a=logs3"=logs5,c=log∣38JH()

A.水伙CB.Ka<c

C.Kc<aD.c<a<b

答案A

aIog$3Ig3、.，lg8/1[g3+lg8)_

解析'：a,b,c∈(0,n

,blogβ5Ig5Ig5(lg5)2∖2)

99

Qg3+lg8、Qg2。.

-)

I21g5Jllg25Vl'：.a<b.⅛A=log85,得8"=5,由S<8',得8"v£,.∙.56

44

<4,可得力<⅛由C=IOgl38,得13'=8,由13"V8si,得13'<13",.∙.5c>4,可得c>].综

O5

上所述，a<b<c,故选A.

(2)若a>0,且HW7,则()

A.l1a<Ta

B.I1a=Va

C.l1ayTa

D.77'与T⅛7的大小不确定

角度3特殊值法

例4(1)若a>Z>>O,且劭=1,则下列不等式成立的是()

A.a+τ<T3<log2(ð+Z?)

bZ

B.^;<log2(a+Z?)<a+^

C.a+；Qog2(d+6)<J

D乙

D.log2(a+⅛)<^+^<∙­;

答案B

解析根据题意，令a=2,6=；进行验证，易知a+:=4,《=!，log2(^+Z?)=log2i∈(1,

ZOZoZ

2),因此7^<log2(a+6)<a+).

乙D

⑵已知a>6,则不等式：①a?一炉》0；②ac>6c;③∣a∣>∣引；④2">2”中，不成立的

是.

答案①②③

解析①中，若a=—1,b——2,则if-IJ不成立；当C=O时，②不成立；当0>a>A

时，③不成立.④中，由指数函数的单调性知2">2"成立.

角度4中间量法

例5(1)(2022•成都模拟)已知实数a=In(Inπ),A=Inπ,c=2ln\则a,b,C

的大小关系为()

A.a<ib<cB.水c<Z?

C.从水。D.c<a<b

答案A

解析因为联冗中，所以Inπ∈(1,2),即6∈(1,2).由Inπ∈(1,2),得a=ln

(Inπ)∈(ln1,In2),而In2<lne=l,所以a∈(0,1).由*<2∣",，得c∈(2,

4).所以a<b<ɑ故选A.

(2)若(K水伙1,则/,log∙a,log,的大小关系是.

a

答案Iog］伙/Gogbd

a

解析V0<a<l,∕A1.XO<⅛<1,

a

・\log]A<log]l=0∙∖*0<a<a=1,log⅛a>log∕,∆=l,Λlogɪ/‹a\logz,a

aaa

角度5单调性法

例6(1)(2021•安阳模拟)已知实数a,⅛∈(0,1),且满足COSan〈cos8n,则下列

关系式成立的是()

A.In水InbB.sina<sinb

C.~<~D.a<Z?3

答案C

解析因为a,Δ∈(0,1),所以”，⅛π∈(0,π),而函数y=cosX在(0,兀)上单

调递减，cos<cos⅛π,所以aB>6n,即a〉6,由函数y=lnx,y=sinx,y=f在(0,

1)上均为增函数，知只有C正确.

1nY

(2)(2022・广西柳州模拟)若。>2>3,f(x)=-则下列各结论中正确的是()

X

A./(a)<∕(√Σ⅛)<√^∙s^y-J

B.∕K∕Σ^)<{Wj<∕∙(6)

C.《甘目Cf(a)

D./(6)

答案D

解析因为8>a>3,所以3<a<∖∕兄〈笥.又/(*)~^Me当x∈(e,+8)时，〃

(x)<0,所以函数f(x)在区间(e,+8)上单调递减,又3>e,则有Λ⅛<

故选D.

触类旁通］

(1)作差法的步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.

(2)作商法的步骤：①判断两式同号；②作商；③变形；④判断商与1的大小关系；⑤结

论.

(3)特殊值法比较大小的思路

利用特殊值法比较不等式的大小时需要注意以下问题：选择项两数(式)大小是确定的，

如果出现两数(式)大小由某个参数确定或大小不确定的选项，就无法通过特殊值进行检验；

赋值应该满足前提条件；当一次赋值不能确定准确的选项，则可以通过二次赋值检验，直至

得到正确选项.

(4)中间量法比较大小的思路

利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间变量，指数式比较大小,

一般选取1和指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0和1作为中间值，其

实质就是根据对数函数ʃ(ɪ)=logaχ的单调性判断其与Λl),f(a)的大小.

(5)①利用函数的性质比较数、式的大小，得到函数的单调区间是问题求解的关键，解题

时，指数、对数、三角函数单调性的运用是解题的主要形式；

②通过对称性、周期性，可以将比较大小的数、式转化到同一个单调区间，有利于其大

小比较；

③导数工具的应用，拓宽了这类问题的命题形式，同时增大了解题难度，值得我们关注

和重视.

即时训练3.(2022•西安模拟)设w=log3n,⅛=log2√3,c=log3√2,则()

A.si>k>>cB.a>c>b

C.b>a>cD.U>c>a

答案A

解析Va=log3π>log33=l,b=10g2∖[i<1og22=1,Λa>bf又log24>0,log3-∖∕2>O,

1C

h,og23

2

~=^------=(log23)>l,.∖b>c9故a>b>c.故选A.

]log32

4.设。∈((),5),7ι=cos(1+α),%=cos(1—。)，则7；与①的大小关系为.

答案T(G

-

解析TiT2=(cosIcos0—sinIsin<?)—(cosIcos0+sinIsinQ)=­2SinlSin

α<0,所以方<£

a+b

~2~

5.已知a>0,b>0,且a≠b,试比较a%'与（a。）的大小.

a+。

a~?7

解Va>0,b>0,at∕>Of(曰切>0,

.ααbb

,•一_TTb

(ah')-

若a>b>3贝哈1,a-b>0.

a-b

由指数函数的性质，得(W2>1；

若力a>0,则(KM1,a-KO.

a-b

由指数函数的性质，得2>1.

a+b

T旷2

/.----------377>1，∙*∙L>(a。)

a~∖~b

~2~

(加

考向三不等式性质的应用

ππ

例7(1)若角a,£满足一万〈。〈£〈万，则2。一£的取值范围是

答案(F3πT冗、j

,∏JI一一JIJIJlJIJIJl

解析因为一Γ<a<β<^7-所以一"r<a<—,—--<β<~,—--<—β<-Γ,而a<β,

乙乙乙乙乙乙乙乙

所以一n<α-£<0,所以2。一£=(。一月)+αe(一~—,~j.

(2)已知一l<x+j<4且2Q—/3,则z=2x—3y的取值范围是(答案用区间表

示).

答案(3,8)

解析解法一：设2x—3尸4(x+y)+A(X—y)=(H+")x+(4—〃)y,

ffτ

[2+〃=2,I2

对应系数相等，贝U,解得〈

[A-p=-3,5

5

.∖2χ-3y=--(x+y)+^(χ-y)∈(3,8).

a=x+y

解法二:f

b=x-y,

.,・2万-3尸2(8^-3&^=-彳+|6£(3,8).

触类旁通]利用不等式的性质求代数式的取值范围

由a<f(x,y)<b,c<g(x,自<&求尸(x,力的取值范围，可利用待定系数法解决，即设

F(x,负=mf1x,y)+ng(x,力(或其他形式)，通过恒等变形求得好〃的值，再利用不等式

的同向可加和同向同正可乘的性质求得尸(x,y)的取值范围.

23

即时训练6.若实数X,y满足3Wx/W8,4≤y≤9,则点的最大值是.

答案27

11

殳IllA

解析解法一：由3≤ΛK≤8,4≤~≤9,可知x>0,y>0,且JW-I6≤-2≤8I,

y8Λy3y

得2wWw27,故W的最大值是27.

yy

3Z)罚

解法二:设】=匕，

则χ3yT=χ2f-*

.24一切=-4,[n=-l,

又16W住)≤81,∣≤(%y)^l≤∣,

∖yJoJ

Λ2≤⅛27,故之的最大值为27.

yy

7.己知12<a<60,15<伙36,求a—6与¾1勺取值范围.

b

解；15〈乐36,Λ-36<-⅛<-15,

Λ12-36<a-6<60-15,即一24Ca-⅛<45.

V15<ZX36,.,.∙~<~<~,

∙¾θθ.ɪA4

,,36615,,*3⅛

—和飘取值范围分别是(-24,45),由4)

课时作业I

1.若a>6>0,c<d<O,则一定有()

A.-ΛB.

caca

C.⅞-D.⅜~

acac

答案D

解析由c<d<O=%gθ=-5>-(>O,又w>6>0,故由不等式性质，得一夕一(>0，所以5

<-故选D.

c9

2.(2022•安徽蚌埠开学考试)已知a,a2∈(0,1),记材=&/，川=&+a-1,则〃与

N的大小关系是()

A.帐NB.M>N

C.M=ND.不确定

答案B

解析〃-A'=功&―(8+4-1)=&&—&-a+1=(囱-1)(均-1),又aɪ∈(0,1),改

∈(0,1),Λal-l<0,a2-l<0.Λ(aɪ-l)(⅛-l)>0,BPM-N>Qf,松A故选B.

3.如果搐b,。满足“∕<a,且ac<0,那么下列不等式不一定成立的是()

ʌ.ab>acB.c(b—a)>0

C.c⅛2<a∆2D.ac{c~a)>0

答案C

解析由题意知X0,5>0,则A,B,D-*定正确，若。=0,则故选c.

4.设分力0,下列各数小于1的是（）

1

A.2~

z

D.

答案D

代入验证，可得D选项中H<1.故选D.

解析解法一：（特殊值法）取a=2,b=∖,

ab

解法二∙.∙a≡),.∙.ai>0,⅛>1,0<-<l,由指数函数的性质知，2"j>2°=l

1.故选D.

5.（2021•四川南充模拟）已知水O,-KZKO,那么下列不等式成立的是（）

A.a›ab>at)B.at)>ab>a

C.atf>a>alfD.ab>aK>a

答案D

解析由于每个式子中都有&故先比较1,b,的大小.因为一k伙0,所以从欣L

又因为水0,所以ab>alj>a.故选D.

6.设X,y∈R,则"x>y〉O”是“：>1”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析因为x>y>O,所以3>0,所以X∙by」，即所以“x>y〉O”是“乙>1”的充分

yyyyy

条件；当x=-2,y=-1时∙，">1,但水j<0,所以iix>y>0ff不是α->lff的必要条件.故

yy

选A.

7.(2022•武汉一中月考)若水6,(Kc,并且(C-a)(c—6)<0,{d-a)(√-6)>0,贝!∣a,

b,c,d的大小关系为（）

A.d<a<c<bB.a<d<c<b

C.a‹cKb<cD.α<c<a<⅛

答案A

解析因为a",（c—a）（C—6）〈0,所以ad,因为（d—a）（d—6）〉0,所以水水6或

a<b<d,又因为Ka所以小a<Z?.综上，d<a<c<b.

8.（2021•江苏南京建邺区中华中学模拟）若非零实数a,。满足a〈6,则下列不等式成

立的是（）

A.^<1B.ς+^>2

C.-ʒ<^4-D.a÷a<Z?2+b

abab

答案C

解析当a=-4,2=-2时，满足水8,A显然不成立；当a=-4,8=2时，满足水Z?,

11a—b11

B显然不成立；因为一τ≡-F7=^<0,所以F<F7,C成立；a+a-t)~b=(a~ti)(a+6)

ababababab

+(a—力)=(a—b)(d+6+l)符号不确定，D不成立.故选C.

9.有下列命题：

①若d6>0,be—ad>O,则：一£。；

②若ab>O,∙∣-^>0,

则be—ad>0；

③若bc-ad>O,沁。,则ab〉O.

其中正确命题的个数是()

A.OB.1C.2D.3

答案D

解析•：ab>O,bc-ad>O,Λγ=~>0,J①正确；*∕a⅛>0,^-∙7>O,即"。/吗0,

abababab

Cdbc^~ad

.∖bc-ad>O,・二②正确;Vbc-ad>O———∙γ>0,BP---;->0,Λab>O,・\③正确・故选D.

fabab

10.(2021•长春模拟)已知X=Iog23—1Og2，5,y=log0,5π,z=0.9'则x,y,Z的

大小关系为()

A.x<∕<zB.z<y<x

C.y<z<xD.y<Λ<z

答案D

l0

解析显然0<x=log2∙∖∕5Gog22=l,y=log0,5π<logo,5l=O,z=0.9^'>0.9=l,所以

y<x<z,故选D.

11.下面四个条件中，使a>力成立的充要条件是（）

A.∣a∣>∣6∣B.

C.#>8D.2a>2b

答案D

解析a>b∖a∖>∖b∖,如a=2,b=~-5,故A错误；a>b如&=2,b=l,故

B错误；a>b,如a=l,⅛=-3,故C错误；∙.∙y