新教材同步系列2024春高中数学第六章计数原理6.2排列与组合6.2.1排列课件新人教A版选择性必修第三册

第六章计数原理6.2排列与组合6.2.1排列学习目标素养要求1.通过实例理解排列的概念数学抽象2.能应用排列知识解决简单的实际问题逻辑推理自学导引一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照______________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．一定的顺排列的定义序【预习自测】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)1，2，3与3，2，1为同一排列． (

)(2)有12名学生参加植树活动，要求3人一组，分组方案的种数属于排列问题． (

)(3)从1，2，3，4中任选两个元素，就组成一个排列． (

)(4)从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√同一个排列中，同一个元素能重复出现吗？提示：由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同一个元素．课堂互动(1)在各国举行的足球联赛中，一般采取“主客场制”(即每两个球队之间分为主队和客队各赛一场).若共有12支球队参赛，则需进行多少场比赛？(2)在“世界杯”足球赛中，由于有东道主国家承办，故无法实行“主客场制”，而采用“分组循环淘汰制”．若共有32支球队参加，分为八组，每组4支球队进行小组循环赛，则在小组循环赛中需进行多少场比赛？题型1排列的概念(3)在乒乓球单打比赛中，由于参赛选手较多，故常采取“抽签组对淘汰制”决出冠军，若共有100名选手参赛，待冠军产生时，共需举行多少场比赛？在上述三个问题中，是排列问题的是________(填序号).【答案】(1)【解析】对于(1)，同样是甲、乙两队比赛，甲作为主队和乙作为主队是两场不同的比赛，故与顺序有关，是排列问题；对于(2)，由于是组内循环，故甲、乙两队之间只需要进行一场比赛，与顺序无关，不是排列问题；对于(3)，由于两名选手一旦比赛后就淘汰其中一位，故也与顺序无关，不是排列问题．故填(1).确认一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认(1)要保证元素的无重复性，否则不是排列问题．(2)要保证选出的元素被安排的有序性，否则不是排列问题．而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．1．判断下列问题是不是排列问题，并说明理由．(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B；(2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动；(3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和；(4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商；(5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐这四个空位中的三个．解：(1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中．(2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分．(3)不是排列问题，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求．(4)是排列，因为选出的两个三位数之商会随着分子、分母的顺序而发生变化，且这些三位数是互质的，不存在选出的数不同而商的结果相同的可能．(5)是排列问题，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生．(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．解：(1)由题意作树状图，如下．题型2排列中的树状图法故组成的所有两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12个．(2)由题意作树状图，如下．故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.利用“树状图法”解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：树状图在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．2．写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法．解：由题意作树状图，如下．故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB．(1)从100个两两互质的数中取出2个数，求其商的个数；(2)求由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名新员工，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，求分配方案的个数．题型3排列的简单应用解：(1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其排列有100×99＝9900.(2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3×2×1＝6(个).(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，有5×4×3×2＝120(个).【例题迁移1】

(变换条件)将例3(3)中的条件变为“有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本”，共有多少种不同的送法？解：从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有7×6×5＝210(种)不同的送法．【例题迁移2】

(变换条件)将例题迁移1中的条件变为“有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本”，共有多少种不同的送法？解：从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理知，共有7×7×7＝343(种)不同的送法．要想正确地表示排列问题的排列数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么．3．(2023年杭州期末)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演．现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为

(

)A．576

B．288C．144

D．48【答案】B【解析】雪上技巧项目必须由女队员展示，有2种情况，剩下3人表演其他3个项目，有3×2×1＝6(种)情况，而4个项目之间的排法有4×3×2×1＝24(种)，则有2×6×24＝288(种)展示方案．有6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，问有多少种不同的排法？错解：前排共两人，有6×5＝30(种)排法，后排有4×3×2×1＝24(种)排法，故共有30＋24＝54(种)排法．易错防范：只有当元素完全相同，并且排列顺序也完全相同时，才是同一排列．元素完全不同，或元素部分相同，或元素完全相同而顺序不同的排列都不是同一排列．正解：本题实际上和6个人站成一排照相共有多少种不同排法的问题完全相同，所以不同的排法总数为6×5×4×3×2×1＝720(种).易错警示分不清分类还是分步计数致误素养达成排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”与“位置”有关，所以不考虑顺序就不是排列．1．(题型1)(多选)下列问题不是排列问题的有 (

)A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B．8个人互相通信一次，共写了多少封信？C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？【答案】ACD【解析】排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序相关的，其他问题都与顺序无关，所以选ACD．2．(题型2，3)甲、乙、丙三人站成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为

(

)A．6 B．4C．8 D．10【答案】B【解析】列树状图如下：所有的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种．3．(题型3)某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，包括2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，则不同的播放方式有

(

)A．12种 B．16种C．18种 D．24种【答案】A【解析】可分二步：第一步，排最后一个商业广告，有2种；第二步，在余下的三个位置排第二个商业广告和两个公益宣传广告，有3×2×1＝6(种).根据分步计数原理，不同的播放方式共有2×6＝12(种).4．(题型3)有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案(用数字作答).【答案】60【解析】将