新教材同步系列2024春高中数学第六章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件新人教A版选择性必修第三册

第六章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理学习目标素养要求1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义数学抽象2.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理逻辑推理自学导引完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．m＋n分类加法计数原理【预习自测】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． (

)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事． (

)【答案】(1)×

(2)√完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．m×n分步乘法计数原理【预习自测】在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这一步骤的方法可以相同吗？提示：在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这一步骤的方法均不相同．若相同，只能算是一种方法．课堂互动在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．【答案】36【解析】(1)方法一根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).题型1分类加法计数原理的应用方法二分析个位数字，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1，2，3，…，8中的一个，故共有8个；个位是8，则十位可以是1，2，3，…，7中的一个，故共有7个；个位是7，则十位可以是1，2，3，…，6中的一个，故共有6个；……个位是2，则十位只能是1，故只有1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).【例题迁移】

(变换条件)若本例条件变为“个位数字小于十位数字且为偶数”，那么这样的两位数有多少个？解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个).利用分类加法计数原理计数的解题流程1．为调查今年的北京雾霾治理情况，现从高二(1)班的男生38人和女生18人中分别选取1名学生作代表，参加学校组织的调查团，则选取代表的方法有________种．【答案】56【解析】完成这件事需要分两类完成：第一类，选1名男生，有38种选法；第二类，选1名女生，有18种选法．根据分类加法计数原理，共有N＝38＋18＝56(种)不同的选法．从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数．解：(1)三位数有三个数位，题型2分步乘法计数原理的应用故可分三个步骤完成：第1步，排个位，从1，2，3，4中选1个数字，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理，满足要求的三位数共有4×3×2＝24(个).(2)分三个步骤完成：第1步，排个位，从2，4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从余下的2个数字中选1个，有2种方法．故三位数的偶数共有2×3×2＝12(个).利用分步乘法计数原理计数的解题流程2．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位，其余7名队员选2名安排在第二、四位，则不同的出场安排共有多少种？解：方法一按出场次序，第一位的队员的安排有3种方法，第二位的队员的安排有7种方法，第三位的队员的安排有2种方法，第四位的队员的安排有6种方法，第五位的队员的安排只有1种方法．由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为3×7×2×6×1＝252.方法二按主力与非主力，分两步安排．第一步，安排3名主力队员在第一、三、五位上，有6种方法，第二步，安排7名非主力队员中的2名在第二、四位上，有7×6种方法．由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为6×7×6＝252.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有多少种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有多少种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有多少种不同的选法？题型3辨析两个计数原理解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，不同的选法共有5＋2＋7＝14(种).(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有5×2×7＝70(种).(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，不同的选法有5×2＝10(种)；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，不同的选法有5×7＝35(种)；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，不同的选法有2×7＝14(种).所以不同的选法共有10＋35＋14＝59(种).用计数原理解题时的注意点(1)当解题无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法．(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．(3)混合问题一般是先分类再分步．3．在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋．现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？解：选参加象棋比赛的学生有两种方法，在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法，在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法．从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6(种)选法；从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6(种)选法；从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有2×2＝4(种)选法；2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛，有2种选法．所以共有6＋6＋4＋2＝18(种)选法．所以共有18种不同的选法．甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况共有________种．错解：分四步完成这件事．第一步，第1名同学去夺3门学科的冠军，有可能1个也没获得，也可能获得1个或2个或3个，因此共有4种不同情况．同理，第二、三、四步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，也各自有4种不同情况．易错警示分不清“分类”还是“分步”致误由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4×4＝256(种).答案：256易错防范：本题中要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生”，而错解中可能出现某一学科冠军被2人、3人甚至4人获得的情形，另外还可能出现某一学科没有冠军产生的情况．正解：由题知，研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才算完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步．第一步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；第二步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第三步，同理，产生第3个学科冠军也有4种不同的获得情况．由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4＝64(种).答案：64点评：利用两个计数原理解决问题时，应首先弄清是“分类”还是“分步”，其次要做到分类时不重不漏，分步时步骤完整．素养达成1．应用两个原理时，要仔细区分原理的不同．分类加法计数原理关键在于分类，不同类之间互相排斥，互相独立；分步乘法计数原理关键在于分步，各步之间互相依存，互相联系．2．通过对这两个原理的学习，要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解题中的应用．1．(题型1)从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为

(

)A．6 B．5C．3 D．2【答案】B2．(题型2)现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为 (

)A．7 B．64C．12 D．81【答案】C3．(题型2)(2023年深圳期末)广东省普通高考实行“3＋1＋2”考试模式，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择1科，“2”为再选科目，考生可在化学、生物等、思想政治、地理4个科目中选择2科．参加高考的考生选考科目的不同选法理论上有________种．【答案】12【解析】分两步，第一步，从物理、历史2科中任选1科，有2种选法；第二步，从化学、生物学、思想政治、地理4科中任选2科，有6种选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有2×6＝12(种).4．(题型2)从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的各项的系数，可组成不同的二次函数共有________个，其中不同的偶函数共有________个(用数字作答).【答案】18

6【解析】一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法