四川省成都市2024届高三下学期第二次诊断性检测理科数学试题（含答案）

成都市2021级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自已的姓名､考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试结束后，只将答题卡交回.第I卷（选择题，共60分）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数（为虚数单位），则（）A.B.C.1D.2.命题“”的否定形式是（）A.B.C.D.3.如图，已知集合，则阴影部分表示的集合为（）A.B.C.D.4.对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（）A.变量与呈现正相关，且B.变量与呈现负相关，且C.变量与呈现正相关，且D.变量与呈现负相关，且5.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A.B.C.D.6.6.已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.7.筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为.在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于的时间为（）A.9秒B.12秒C.15秒D.20秒8.现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（）A.B.C.D.9.已知向量是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，称有序实数对为点的广义坐标.若点的广义坐标分别为，则“"是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.已知点是椭圆上的动点，若到轴与轴的距离之和的范围是，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.11.在所有棱长均相等的直四棱柱中，，点在四边形内（含边界）运动.当时，点的轨迹长度为，则该四棱柱的表面积为（）A.B.C.D.12.已知是抛物线上任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为，则劣弧长度的最小值为（）A.B.C.D.第Ⅱ卷：（非选择题，共90分）二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上13.一个几何体的三视图的正视图是三角形，则这个几何体可以是__________.（写出一个你认为正确的答案即可）14.已知函数，若，则实数的取值范围为__________.15.平面四边形中，，则的最大值为__________.16.已知函数.给出下列四个结论：①；②存在，使得；③对于任意的，都有；④对于任意的，都有.其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）记.（1）当时，为数列的前项和，求的通项公式；（2）记是的导函数，求.18.（本小题满分12分）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布.（1）已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人.甲市学生的成绩为76分，试估计学生在甲市的大致名次；（2）在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率及的数学期望.参考数据：参考公式：若，有，19.（本小题满分12分）如图，在正四面体中，是棱的两个三等分点.（1）证明：；（2）求出二面角的平面角中最大角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为.过点的直线与双曲线相交于两点，点关于轴的对称点为，且直线的斜率之积为.（1）求双曲线的标准方程；（2）直线分别与直线相交于两点，求证：以为直径的圆经过轴上的定点，并求出定点的坐标.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，判断的零点个数并说明理由；（2）若存在，使得当时，恒成立，求实数的取值范围.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.若为曲线上任意一点，将逆时针旋转得到，求线段中点的轨迹的极坐标方程.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）函数的最小值为，若正实数满足，求的最小值.成都市2021级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）参考答案及评分意见第I卷（选择题，共60分）一､选择题：（每小题5分，共60分）1.B；2.C；3.B；4.C；5.A；6.B；7.D；8.C；9.D；10.D；11.A；12.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二､填空题：（每小题5分，共20分）13.三棱柱，三棱锥，圆锥等（其他正确答案同样给分）；14.；15.4；16.②③④.三､解答题：（共70分）17.解：（1）当时，.当时，.又当时，不满足上式，所以（2）①②①-②得，18.解：（1）已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布，由题意可得.即，解得.甲市学生在该次考试中成绩为76分，且，又，即.学生在甲市本次考试的大致名次为1587名.（2）在本次考试中，抽取1名化学成绩在之内的概率为0.9974.抽取1名化学成绩在之外的概率为0.0026.随机变量服从二项分布，即..的数学期望为.19.解：（1）取的中点为，连接.四面体为正四面体，为正三角形.又为的中点，.同理可得.平面，平面.又平面.（2）取的中点为，连接，设.由（1）得平面.平面.为二面角的平面角，为二面角的平面角，为二面角的平面角.由图形对称性可判断.易得.在中，.在中，.同理可得...二面角的平面角最大，其余弦值等于.20.解：（1）设.在双曲线上，.解得.双曲线的标准方程为.（2）设，直线.由消去，得..直线，令，解得.同理可得.以为直径的圆的方程为，由对称性可得，若存在定点，则定点一定在轴上。令，得.，解得或.以为直径的圆恒过点.21.解：（1）当时，.，当时，，函数在上单调递增.由，，使得.当时，单调递减；当时，单调递增.又，有两个零点.（2）存在，使得当时，，即存在，使得当时，.设.（i）当时，设..在上单调递增，又，在上单调递增.又，在上恒成立..当时，.取，当时，恒成立.当时满足题意.（ii）当时，设..在上恒成立，在