2024版高考数学复习课时质量评价二十九

课时质量评价(二十九)A组全考点巩固练1．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角之和为()A．90° B．120°C．135° D．150°2．在△ABC中，已知A＝π3，2a－2c＝b，那么ca＝(A．38 C．715 3．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A．3π4C．π4 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若23acosC－3bcosC＝3ccosB，则角C的大小为()A．π6 C．π3 5．(多选题)在△ABC中，下列说法正确的是()A．若acosA＝bcosB，则△ABC为等腰三角形B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则△ABC必有两解C．若△ABC是锐角三角形，则sinA＞cosBD．若cos2A＋cos2B－cos2C＜1，则△ABC为锐角三角形6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足1a+b+1b+7．在△ABC中，设BC＝a，AB＝c，∠ABC为锐角且满足lga－lgc＝lgsinB＝－lg2，则△ABC的形状是_________．8．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么当a＝________时，满足条件“b＝2，A＝30°”的△ABC有两个．(写出一个a的具体数值即可)9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2π2+A＋cosA(1)求A；(2)若b－c＝33a，证明：△ABC10．(2022·北京卷)在△ABC中，sin2C＝3sinC.(1)求∠C；(2)若b＝6，且△ABC的面积为63，求△ABC的周长．B组新高考培优练11．(多选题)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是()A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45°C．a＝6，b＝33，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30°12．(多选题)对于△ABC，有如下判断，其中正确的是()A．若cosA＝cosB，则△ABC为等腰三角形B．若A＞B，则sinA＞sinBC．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个D．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形13．(多选题)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝22，b＝2，则角B可以是()A．15° B．30°C．45° D．75°14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB－c－b2＝0，a2＝72bc，b＞c，则bc15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA＋sinB＝54sinC，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3sinC，则c＝________，cosC＝_________16．(2022·聊城三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinC＝ccosB-(1)求角B；(2)若b＝4，求△ABC周长的最大值．17．(2022·烟台三模)在①(2b－c)cosA＝acosC，②asinB＝3bcosA，③acosC＋3csinA＝b＋c，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足________，且c＝4，b＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若D为BC的中点，求∠ADC的余弦值.注：若选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．课时质量评价(二十九)A组全考点巩固练1．B解析：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5.设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°－θ，由余弦定理可得，cosθ＝25+64-492×5×8＝12，易得θ＝60°2．B解析：根据余弦定理得cos60°＝c2+2a-2c2-a222a-2cc＝12，化简得3a2－10ac＋7c2＝0，则(3a－7c)(a－c)＝0.又因为2a－3．C解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA＝2b2(1－cosA)．因为a2＝2b2(1－sinA)，所以cosA＝sinA．因为cosA≠0，所以tanA＝1.因为A∈(0，π)，所以A＝π4.故选4．A解析：因为23acosC－3bcosC＝3ccosB，所以23sinAcosC－3sinBcosC＝3sinCcosB，所以23sinA·cosC＝3sin(C＋B)＝3sinA．因为A，C∈(0，π)，所以sinA≠0，cosC＝32.又C∈(0，π)，所以C＝π6.5．BC解析：对于A，由正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B，所以A＝B或A＋B＝90°，所以△ABC为等腰或直角三角形，故A错误；对于B，asinB＝40sin25°＜40sin30°＝40×12＝20，即asinB＜b＜a，所以△ABC必有两解，故B正确；对于C，因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B＞π2，即π2＞A＞π2－B＞0，由正弦函数性质结合诱导公式得sinA＞sinπ2-B＝cosB，故C正确；对于D，利用二倍角的余弦公式可得1－2sin2A＋1－2sin2B－1＋2sin2C＜1，即sin2A＋sin2B－sin2C＞0，即a2＋b2－c2＞0，所以cosC＞0，即C6．π3解析：因为1a+b+1b+c＝3a+b+c，所以b2＝a2＋c2－ac.又由余弦定理得cosB＝a2+c2-b22ac7．等腰直角三角形解析：由题可知lga－lgc＝lgsinB＝－lg2.因为lga－lgc＝lgac，－lg2＝lg(2)-1＝lg2所以lgac＝lgsinB＝lg22，得到ac＝sinB因为∠B是锐角，所以∠B＝45°，cosB＝22因为ac＝2所以a2＝12c2b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝12c2＋c2－2·22c2·22＝12c2＋c2－c2＝所以a2＝b2＝12c2，所以a2＋b2＝c2因此三角形ABC的形状是等腰直角三角形．8．(1，2)内任一数解析：由正弦定理得asinA＝bsinB，所以sinB＝sinAa＝1a.若满足条件的△ABC有两个，则1a<1且a<b＝2，所以9．(1)解：由已知得sin2A＋cosA＝54即cos2A－cosA＋14＝所以cosA-122＝0，由于0＜A＜π，故A＝π3(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sinB－sinC＝33sinA由(1)知B＋C＝2π3，所以sinB－sin2π3-B＝33sinπ3，即12所以sinB-π3由于0＜B＜2π3，B－π3＝π6，故从而△ABC是直角三角形．10．解：(1)因为sin2C＝3sinC，所以2sinCcosC＝3sinC，又sinC≠0，所以2cosC＝3，所以cosC＝32，因为0＜C＜π所以C＝π6(2)因为△ABC的面积为63，所以12absinC＝63又b＝6，C＝π6所以12×a×6×12＝6所以a＝43，又cosC＝a2所以32＝4所以c＝23，所以a＋b＋c＝6＋63，所以△ABC的周长为6＋63.B组新高考培优练11．BC解析：对于A，因为b＝7，c＝3，C＝30°，所以由正弦定理可得sinB＝sinCc＝7×123＝76＞1，无解；对于B，因为b＝5，c＝4，B＝45°，所以由正弦定理可得sinC＝csinBb＝4×225＝225＜1，且c＜b，有一解；对于C，因为a＝6，b＝33，B＝60°，所以由正弦定理可得sinA＝asinBb＝6×3233＝1，A＝90°，此时C＝30°，有一解；对于D，因为a＝20，b12．ABD解析：对于A，若cosA＝cosB，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，故正确；对于B，若A＞B，则a＞b，由正弦定理asinA＝bsinB＝2R，得2RsinA＞2RsinB，即sinA＞sinB成立，故正确；对于C，由余弦定理可得b＝82+102-2×8×10×12＝84，只有一解，故错误；对于D，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则根据正弦定理得a2＋13．AB解析：cosB＝a2+c2-b22ac＝8+c2-22×22c＝6+c242c＝2c8+324c≥214．2解析：由acosB－c－b2＝0及正弦定理可得sinAcosB－sinC－sinB2＝0.因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以－sinB2－cosAsinB＝0.因为sinB≠0，所以cosA＝－12，即A＝2π3.由余弦定理得a2＝72bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝15．4－14解析：因为sinA＋sinB＝54sinC，所以由正弦定理得a＋b＝因为△ABC的周长为9，所以a＋b＋c＝c＋5c4＝9，解得c＝4.因为△ABC的面积等于3sinC，所以12absinC＝3sinC，整理得ab＝6.由于a＋b＝5c4＝5，故a+b=5，ab=6，解得a=2，b=3或16．解：(1)由正弦定理及bsinC＝ccosB-π6，知sinBsinC＝sinC因为sinC≠0，所以sinB＝cosB-π6＝32cosB＋12sinB，即因为B∈(0，π)，所以B＝π3(2)由余弦定理知，b2＝a2＋c2－2accosB，所以16＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3·14(a＋c)2≥14(a＋c)所以(a＋c)2≤64，即a＋c≤8，当且仅当a＝c＝4时，等号成立，所以△ABC周长为a＋b＋c≤8＋4＝12，故△ABC周长的最大值为12.17．解：(1)若选①：因为(2b－c)cosA＝acosC，由正弦定理得(2sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即2sinBcosA＝sinCcosA＋sinAcosC，所以2sinBcosA＝sinB.因为0＜B＜π，所以sinB≠0，可得cosA＝12因为0＜A＜π，故A＝π3若选②，asinB＝3bcosA，由正弦定理可得sinAsinB＝3sinBcosA，因为sinB≠0，可得sinA＝3cosA，可得tanA＝3，因为A∈(0，π)，可得A＝π3若选③，acosC＋3csinA＝b＋c，由正弦定理可得sinAcosC＋3sinAsinC＝sinB＋sinC，又因为sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，可得3sinA＝cosA＋1，可得sinA-π6因为A∈(0，π)，可得A－π6