2024届新高考数学练习：函数的奇偶性与周期性

2024届新高考数学高频考点专项练习：专题二考点06函数的奇偶性与周期性1.已知函数是定义域为R的奇函数，且是偶函数.当时，，则（）A.-16 B.-8 C.8 D.162.下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.3.已知函数为奇函数，为偶函数，当时，.则（）A.0 B. C.1 D.4.已知是定义在R上的偶函数，且在区间上为增函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（）A. B. C. D.5.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.6.已知是定义在R上的周期为4的奇函数，当时，.若，则（）A. B. C. D.7.已知定义在R上的奇函数，且当时，，则（）A. B. C.-1 D.18.已知函数的定义域为R，且函数的图象关于点(1，0)对称，对于任意的x，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数m构成的集合为（）A. B.C. D.9.（多选）设函数的定义域为R，若存在常数，使对一切实数x均成立，则称为“倍约束函数”.现给出下列函数，其中是“倍约束函数”的是（）A.B.C.D.函数是定义在R上的奇函数，且对一切均有10.（多选）已知函数的图象关于直线对称，且对任意，恒有.当时，.则下列说法正确的是（）A.的周期 B.的最大值为4C. D.为偶函数11.已知定义在R上的偶函数满足，当时，，则________；当时，________.12.若是R上的奇函数，且，则的值为________.13.已知定义在R上的奇函数，对于都有，且满足，，则实数m的取值范围为____________.14.已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则实数m的取值范围是______________.15.已知奇函数.（1）求实数a的值；（2）判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；（3）当时，恒成立，求实数m的取值范围.

答案以及解析1.答案：B解析：由是偶函数可知对称轴为，故，又函数为奇函数，故，即，，，令得，所以，函数最小正周期为，所以.故选B.2.答案：C解析：的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，A选项错误；与的定义域为，而在其定义域上单调递减，在其定义域上不单调，B，D选项错误；在定义域上既是奇函数又是增函数，C选项正确.故选C.3.答案：D解析：因为为奇函数，所以，①

将①中的x替换为得.②

因为为偶函数，所以，③

由②③得，

则，所以是以4为周期的函数，

故.

故选D.4.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性，单调性，不等式的解法.据题，得，又因为函数在上为增函数，所以，从而有或，故选D项.5.答案：D解析：本题考查抽象函数解析式的求解、函数的奇偶性与单调性.依题意，有得得又因为所以可知在上单调递增.根据复合函数“同增异减”的原则可知，函数的单调递增区间为.故选D.6.答案：D解析：由题意知且=，故.由，可得，所以.故选D.7.答案：A解析：解法一：因为为奇函数，所以，由得，所以，故选A.解法二：因为为奇函数，所以，由得，则，即，所以，则函数的周期为2，所以，故选A.8.答案：A解析：由函数的图象关于点(1，0)对称知函数的图象关于原点对称，即函数是奇函数，由任意的x，总有成立，即恒成立，得函数的周期是4，又当时，，所以当时，，而是奇函数，所以当时，，又，，从而得，即当时，，由函数的周期是4，得函数在R上的值域是(-1，1)，因为对任意，存在，使得成立，所以，即在R上有解，当时，取，则成立，即，符合题意，当时，在R上有解，必有，解得，则，符合题意.综上可得，所以满足条件的实数m构成的集合为.故选A.9.答案：ACD解析：对于A，当m是任意正数时都有，所以是“倍约束函数”，故A正确.对于B，，，即，不存在这样的m对一切实数x均成立，故B错误.对于C，要使成立，即，当时，m可取任意正数;当时，只需，因为，所以，所以，故C正确.对于D，因为是定义在R上的奇函数，所以，由得，即成立，所以存在，使对一切实数x均成立，符合题意，故D正确.故选ACD.10.答案：ABD解析：∵函数的图象关于直线对称，∴函数的图象关于直线对称，，∵对任意，恒有，∴函数的图象关于点(0，2)中心对称，，即，又，，，，即，的周期，选项A正确;为偶函数，选项D正确;∵当时，，且对任意，恒有，∴当时，，，即，∴当时，，又函数的图象关于直线对称，∴在一个周期[-6，2]上，，在R上的最大值为4，选项B正确;，选项C错误.故选ABD.11.答案：2；解析：由，得，所以是以4为周期的周期函数.所以.设，则.因为是R上的偶函数，所以当时，.当时，，所以.12.答案：-13解析：因为是R上的奇函数，所以，且.因为，所以，则.13.答案：解析：，，是周期函数，且周期，，，，，即且，解得或，实数m的取值范围为.14.答案：解析：由函数是定义在上的偶函数，得，所以，所以即.又易知偶函数在上单调递增，而，，所以解得.15.答案：（1）（2）在上单调递减，理由见解析（3）解