现代信号处理课件

维纳滤波与卡尔曼滤波共128页*共128页*Wiener&KalmanFilter设计（即获得系统的单位冲激相应）的准则：（条件）满足最小均方误差（正交性原理）为准则的，即保证：好处：运算简单，对过大噪声敏感，小噪声不敏感；符合实际工程需要因此维纳过滤与卡尔曼过滤又常常被称为最佳线性过滤与预测或线性最优估计。共128页*共128页*输入信号及滤波器输出模型输入信号：输出信号：

维纳滤波器的输入—输出关系共128页*实质是设计系统(传递)函数或单位冲激响应

共128页*2.2维纳滤波器的离散形式(I)——

时域解h(n)=0当n<0，因果系统共128页*共128页*共128页*

用几何图形理解正交性原理上式展开有：共128页*共128页*因此维纳滤波器的设计问题，归结为求解wiener-Hopf方程共128页*

解Wiener-Hopf方程

存在的问题及解决的思路存在的问题：1。假设设计的是因果系统，由于存在k>0的约束条件，卷积定理（双边Z变换）不能用。2。实际物理系统为因果系统。解决思路：1。设计一个非因果性系统（滤波器）。2。用有限长的因果序列h(n)来逼近hopt(n).实质为设计FIR型滤波器。共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*

结论1.维纳滤波器的设计实质为求解Weiner-Hopf方程。2。非因果系统设计简单3。最小方差准则的维纳滤波器，用有限冲激响应的FIR滤波器来实现，计算复杂，工作量大，并不是有效的办法。例题1：共128页*2.3维纳滤波器的z域解求解的基本思想：

把x(n)加以白化来求维纳-霍夫方程的z域解.(这种方法是由波德(Bode)和香农(Shannon)首先提出的)

白化：任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一白色噪声激励一物理网络所形成。

共128页*共128页*

共128页*图2.3s(n)的信号模型图2.4x(n)的信号模型图2.5信号模型共128页*

B(z)是由单位圆内的零极点组成，B(1/z)是由对应的单位圆外的零极点组成。因此：B（Z）是一个因果(或物理可实现)的并且是最小相移的网络共128页*共128页*

用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程于是，求在最小均方误差下的最佳Hopt(z)的问题就归结为求最佳G(z)的问题了。我们可以对G(z)加以因果性或非因果性的约束具体求解。由于G(z)的激励源是将x(n)白化后得到的白噪声，这就使得求图2.7(b)中的最佳G(z)比求图2.7(a)中的最佳H(z)容易，（为什么白化的原因）得：共128页*共128页*2.3.1没有物理可实现性约束的(非因果的)维纳滤波器）共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*物理意义及其解释共128页*图2.8决定于与特性的例子共128页*最小均方差求解共128页*共128页*共128页*最小均方误差不仅与输入信号的功率有关（反），而且与信号和噪声的功率谱的乘积有关（正）。共128页*

2.3.2有物理可实现性约束的(因果的)维纳滤波器共128页*共128页*共128页*

[例1]

设已知，以及

(白噪声)

其中s(n)代表所希望得到的信号，代表加性白噪声。求物理可实现与物理不可实现这二种情况下的及。共128页*

[解]

因为所以

又因为共128页*其中B(z)由单位圆内的零极点组成，B(z^-1)由单位圆外的零极点组成，上两式比较得

(1)物理可实现情况共128页*因为对于项。所以共128页*利用式(2.52)并考虑到，得共128页*取单位圆为积分围线，上式等于单位圆内的积点的留数之和，即共128页*而在经过此滤波器以前的均方误差为所以通过维纳滤波器后均方误差下降8/3(≈2.7)倍。共128页*

(2)非物理可实现的情况共128页*取单位圆为积分围线C。在单位圆内有二个极点：共128页*。H式等于该二个极点的留数，因此前面求得物理可实现的所以在此例中非物理可实现情况的均方误差略小于(即稍好于)物理可实现的情况。可以证明，物理可实现情况的最小均方误差总不会小于非物理可实现的情况。2.4维纳预测器

2.4.1预测的可能性共128页*共128页*共128页*

2.4.2预测器的计算公式维纳预测器共128页*共128页*共128页*

(1)没有物理可实现性约束的(非因果的)维纳预测器共128页*共128页*(2)有物理可实现性约束的(因果的)维纳预测器共128页*共128页*

2.4.3纯预测器(N步)共128页*共128页*共128页*共128页*

[例2]

已知及

求(1)使均方误差最小的

(2)最小均方误差 共128页*

[解]

因为所以由式(2.63)得因果的维纳预测器，应有共128页*因为所以共128页*对只取上式中n>0的部分，得再回到z-域，得共128页*代入Hopt(z)表达式，得这个结果可用方框图表示在图2.11中。图2.11纯预测的例子共128页*

由式(2.65)得它说明：N越大，误差越大，如果N=0则没有误差。共128页*

现在来解释上述疑问。我们是把看成由白噪声通过B(z)产生的，而故该信号模型可以用一个一阶差分方程来表达：共128页*图2.12一阶信号模型的例子共128页*共128页*共128页*

2.4.4维纳预测器的时域解——

一步线性预测公式共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*

§2.5卡尔曼滤波的信号模型——状态方程与量测方程

2.5.1离散状态方程及其解共128页*共128页*共128页*共128页*

2.5.2量测方程共128页*图2.13卡尔曼滤波的信号模型(a)多维情况；(b)一维情况。共128页*

[例3]

仍沿用前面维纳滤波中的例子(例1)，设，已知求卡尔曼信号模型中的与共128页*[解]因为

所以共128页*变换到时域： 所以

又，因为，所以。共128页*

§2.6卡尔曼过滤的方法与公式共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*

[例4]

设为实离散时间随机过程，具有功率谱密度：并已知在k=0时开始观察信号，试用卡尔曼过滤的计算公式求，并将计算结果与维纳过滤方法计算(例1)的结果进行比较(此例与例1中的相同)。共128页*[解]从给定的，可以求得的状态方程。因为(参见§2.5，例3)所以

共128页*又由于所以

代入式(2.89)、(2.102)、(2.99)及(2.103)，得共128页*(2.105)(2.106)(2.107)(2.108)将式(2.106)代入式(2.108)，得共128页*

从式(2.107)与式(2.109)中消去，得求稳态解，将式(2.110)中的代入并化简，得共128页*所以(只取正值解)所以共128页*所以由此可见，已知前一个估计值

与当前的量测值，就可以求得当前的估计值。

共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*共128页*本章小结1。掌握Wiener滤波器的作用－－噪声中信号的恢复（估计）。2。掌握Wiener滤波器的设计原则－－保证估计结果的均方误差最小（正交原理）。3。掌握Wiener滤波器设计实质及结果－－实质为解Wiener－Hofp方程，结果形式为单位冲激响应h(n)(时域)或系统函数H(z)（频域）.共128页*共128页*

z=0.01*randn(1,150)-0.37727;xx(1)=-0.31;Q=0.000001;R=1;p(1)=0.02;s(1)=-0.37727;fork=2:1:150s(k)=-0.37727;共128页*xs(k)=xx(k-1);ps(k)=p(k-1)+Q;K(k)=ps(k)/(ps(k)+R);xx(k)=xs(k)+K(k)*(z(k)-xs(k));p(k)=(1-K(k))*ps(k);endplot(xx);holdonplot(z,'r')plot(s,'k')共128页*共128页*共128页*共128页*

功率谱估计

§5.1引言功率谱的物理意义及定义(维纳-钦辛定理)自相关函数:对取统计平均有:计算功率谱的以上两个公式表明:1功率谱(随机变量)是无限个自相关函数的函数,但工程实际观察数据只是有限个.因此分析计算随机序列的功率谱是个功率谱的估计问题.2.不同的统计估计准则,分析估计结果是不同的.因此对功率谱估计有很多种方法.本章就是研究功率谱估计的方法.重点在于讨论各种方法的特点及其实现.统计估计的一般准则通常一个好的估计，要求估计值的概率密度曲线符合正态分布、曲线必须要窄（方差小）、且比较集中在其估计量的真值附近。评价的标准：1、偏移性B：(有偏、无偏、渐近无偏估计）定义为统计平均同真值之间的差值。2、有效性质：估计量的方差反映的是无偏估计量在真值附近的摆动情况。3、一致性：估计量的均方误差（有效性）比较两个有偏估计量的好坏。图5.1二种估计的概率密度分布５．２统计量的估计

一、均值的估计已知样本数据：均值的估计量用下式计算（样本之间不相关）：可以证明：当数据内部不相关时，按照上式进行估计均值是一种无偏的一致估计。方差的估计已知样本数据：方差的估计量用下式计算（样本之间不相关）：可以证明：这是一致估计当均值不知道时：有偏估计，但渐进无偏：无偏一致估计：随机序列自相关函数的估计已知随机序列的一段样本数据，来利用这段数据估计自相关函数的方法有：１：无偏估计：该估计的特点：尽管是无偏估计，但不是一致估计，方差很大，不是一种好的估计方法２：有偏估计：该估计的特点：尽管求平均时，只用N去除不合理，但其服从渐进一致估计的原则，比无偏估计法误差小，因此工程上常用该方法计算．利用自相关函数计算功率谱的实质图5.2三种不同分辨率的谱估计方法的例子(a)经典法BTPSD法；(b)最大熵谱估计法(自回归PSD法)；(c)Pisavcnko谐波分解法。功率谱估计的应用

§5.3周期图作为功率谱的估计分析该估计的性能：不难看出：w（m）是个三角函数（两个矩形函数的卷积），被称为Bartlett窗函数，用表示。自相关函数的真值当时说明：１：方差不等于零，不满足一致估计的条件．２：方差较大，不是功率谱的好估计．解决办法：将周期图进行平滑（或平均）处理，满足一致性．图5.3高斯白噪声序列的周期图

§5.4平滑后的周期图作为PSD的估计

5.4.1巴特利特(Bartlett)平均周期图的方法[例如]为了说明经平均后的周期图作为功率谱估计的实际效果，设有一零均值高斯分布的随机过程，其功率谱密度为图5.4与的特性

图5.5平滑后的周期图（每段取8个数据）

图5.6平均后的周期图(每段取16个数据)

5.4.2窗口处理法平滑周期图

5.4.3Welch法主要针对Bartlett法提出二方面的修正：其一是选择适当的窗函数，并在周期图计算前直接加进，这样保证了对于任何的窗函数，功率谱密度估计非负。其二是分段之间可以有重叠（相当于数据长度变长了分段多了）因此方差减小。经典谱估计法总结：实质：根据测得的数据，通过计算FFT（傅立叶变换）获得相应的谱密度信息。特点：计算简单，效率高；缺点：由于将测得数据以外的数据均看作零（实质相当于乘上了一个矩形窗口），因此频率分辨率低。现代谱估计法的基本思想：克服经典谱估计的缺点，另辟新径，从数学模型（参数）的角度出发。认为已观察到的数据是白噪声通过一个数学模型产生的。处理思想及步骤：1选择一个合适的模型

2确定模型参数（根据观察值）

3由模型求PSD

关键1：模型选择问题（AR，MA，ARMA）

2：参数确定方法（导致产生了各种算法）

§5.5自回归模型法(AR)数字系统的数学模型:差分方程求功率谱的实质变为确定系统参数的问题ARMA模型图5.7自回归模型到底选择什么模型？为何讨论AR模型？1。Wold分解定理：任何有限方差的ARMA或MA平移过程可以用可能是无限阶的AR模型表达；同样，任何ARMA或AR模型可以用可能是无限阶的MA模型表达。因此，如果在这三个模型中选了一个与信号不匹配的模型，利用高的阶数仍然可以得到好的逼近。2。由于对AR模型参数的估计，得到的是线性方程。故AR模型比ARMA以及MA模型有在计算上的优点。同时，实际的物理系统往往是全极点系统。所以研究有理分式传递函数的模型，主要研究AR模型。如何根据自相关函数确定系统参数最小均方误差准则下的线性预测器求AR模型各参数的另一种方法：自适应滤波器原理实质上：建模和预测是等价的。

图5.8AR模型的H(z)与其逆滤波器的串接图5.9横向结构的预测误差滤波器

§5.6最大熵谱估计法（MESE）

MaximumEntropySpectralEstimation）

5.6.1最大熵谱估计法的基本思想及其与线性预测AR模型法的等价性熵的基本概念：熵代表一种不定度，最大熵代表最随机，意味着对应的PSD最平坦。其定义为：结论：

上式实质为Yuler－walker方程，因此其同AR模型等价

5.6.2Levinson-Durbin递推算法：

Yule－Walker方程的一种高效解

§5.7预测误差格型滤波器及伯格(Burg)递推算法

5.7.1预测误差格型滤波器图5.10格型预测误差滤波器图5.11后向预测误差

5.7.2Burg递推算法——Kp的确定

5.7.3正反向线性预测最小二乘法

小波变换及其应用

第一节从傅里叶变换到小波变换前面重点讲述了确定性信号的频域分析、应用以及随机信号分析的基本内容。本节开始介绍常用于非稳态分析的一种新的变换方法——小波变换。傅里叶变换和傅里叶反变换是同一能量信号的两种不同表现形式，正变换把一个信号函数分解成众多的频率成份，反变换将这些频率成份重构为原来的信号，转换过程中能量保持不变。在采样定理的指导下，离散傅里叶变换（DFT）为计算机实现傅里叶变换提供了理论基础，快速傅里叶变换（FFT）的提出则使傅里叶分析变得实用。然而，傅里叶变换的作用是有限的，这里主要谈两点。一是傅里叶变换没有包含时间信息。实际信号中含有大量非稳态的成份，如突变、偏移、趋势、事件的开始、终止等等，其频率特性将随时间而发生变化，对这些信号进行分析时需要提取某一时间段的频域信息或某一频率段的时间信息。二是傅里叶变换不利于分析时变信号。时变信号可以分段进行研究，对变化快的信号，其频率高，取小的时间间隔有利于提高分析的精度；对变化慢的低频信号，取大的时间间隔才可以收集到完整的信息以进行分析。而傅里叶变换不能实现这样的时－频局部化分析。(a)Haar小波 (b)Morlet小波小波的波形可以进行拉伸和压缩，以用以分析信号的轮廓和信号的细节，这种拉伸和压缩变换被称为尺度变换。图9-2为不同尺度的Daubechies小波的示意图，从图中可以看出，尺度值a越小，图形压缩越厉害；反之，尺度值越大，图形拉伸越厉害。图9-2不同尺度小波示例图9-3为短时傅里叶变换和小波变换的对比示意图。图（a）表示短时傅立叶变换，对任意频率，其窗口都一样；图（b）表示小波变换，它将一个时间信号转换为时间和频率的二维函数，可以提供信号在某个时间段和某个频率范围的一定信息。STFT图9-3短时傅立叶变换和小波变换示意图WFT第二节小波和小波变换一、母小波和小波1．定义满足如下允许条件或其等价条件的函数称为一个母小波函数（MotherWaveletFunction），其中为的傅里叶变换。式（9－2）说明母小波函数具有一定的振荡性，即包含某种频率特性。对母小波函数作伸缩、平移得式中，，称为小波函数，简称小波。式中变量a反映函数的尺度（或宽度），a越小，则波形压缩越厉害，a越大，则波形拉伸越多，变量b检测沿t轴的平移位置。一般情况下，母小波函数能量集中在原点，小波函数能量集中在b点。母小波具有以下三条性质：①，即母小波具有零直流分量。②母小波及其生成的小波函数均为带通信号。③母小波及其生成的小波函数随t的延伸而快速衰减。2．小波的尺度、时－频关系及滤波特性设母小波函数的窗口宽度为，窗口中心为，则相应的连续小波的窗口中心为窗口宽度为即时、频窗口的面积与尺度a无关，它的与的大小是相互制约的，这正是海森堡测不准原理的要旨，即时间分辨率和频率分辨率是相互制约的。由此，可以得到以下结论：①小波的尺度a和频率相对应。小尺度a对应高频的，大尺度a对应低频的。②时间、频率（尺度）窗口的形状随a而变化。这是和短时傅里叶变换的等时间窗所不同的。③不可能同时得到很高的时间、尺度分辨率。这是由于时间、尺度窗口的面积恒定决定的。④小波可以看作是一组衡Q滤波器。由于小波母函数具有有限频带，其伸缩、平移得到的小波为一组带通滤波器。带通滤波器的品质因素被定义为通带宽度与中心频率的比值，设母函数的品质因素则由它生成的小波的品质因素不随尺度a而变化。二、连续小波变换和反变换1．连续小波变换连续小波变换有两个参数a和b，对同一个a，信号可以分解成不同时移b的小波的叠加，而改变a值，同一个信号又可以在不同层次上进行由粗到细的分解，获得小波变换的步骤可以概括为以下五步：选择尺度a一定的小波，将它与被分析信号的初始段进行比较，如图9-4（a）。通过计算得出该段信号与所选小波的相关程度，越大，说明二者越相似。这一结果依赖于所选择小波的形状。改变b值实现小波平移，如图9-4（b），重复（1）、（2）步，直至对信号完成一次比较分析。增加尺度因子a，即拉伸小波，重复（1）—（3）步，对信号进行下一轮分析，如图9-4（c）。对全部尺度因子重复（1）－（4）步，可以得到使用不同尺度评估信号在不同时间段的大量系数值。这些系数反映了被分析信号在小波函数上的投影，可以用灰度图表示出来。图9-4（d）所示是含有随机噪声的正弦波经过小波变化后得到的灰度图，从图中可以看出，尺度大时可以提取出信号的轮廓，将高频的噪声去除，从而发现被分析信号具有明显的周期性。（a） （b） 图9-4小波分析的步骤2．小波变换的性质①线性②时移不变性设的小波变换为，则的小波变换为。③尺度变换特性设的小波变换为，则的小波变换为。④微分特性⑤能量守恒特性⑥冗余度连续小波变换把一维信号变换到二维空间，因此小波变换中存在多余的信息，即为冗余度。度量冗余度的量称为再生核，它反映了小波变换二维空间两点之间的相关性。3．连续小波反变换此式说明了根据精确恢复信号的方法。三、离散小波变换离散小波变换中，取小的参数a、b将有助于提高重构信号的精度。四、二进小波变换和正交小波变换若连续小波仅对尺度量进行离散化，且取，则为二进小波，相应的小波变换为二进小波变换。它的特点在于尺度参量离散，而时域上的平移量仍保持连续变化。因此，与离散小波变换不同，二进小波变换保持了连续小波变换所具有的时移不变性，这是二进小波最大的特点。第三节多分辨率分析与小波包分析一、多分辨率分析L2(R)空间的多分辨率分析是指满足下列条件的一个空间序列：单调性：；渐进完全性：；伸缩性：对任意，有平移不变性：若，则Riesz基存在性：存在函数，使构成的Riesz基，即对任意的，存在唯一的序列，使得。V0W0V1W1W2V2L2(R)图9-5尺度空间与小波空间的关系总结以上分析，多分辨率分析的过程可以简述如下：由条件（5）中的Reisz基可以生成尺度函数，由此可以构造出空间的标准正交基。在此基础上，可以得到与空间正交互补的小波空间，并可建立小波空间的标准正交基。实际信号所处空间的标准正交基可以在及的标准正交基的基础上得到，可以证明，它与二进正交小波是一致的。因此，可以由尺度函数构造出小波函数，不过设计满意的尺度函数是比较复杂的。二、两尺度方程

因此，为低通滤波器，为高通滤波器，分别对应于尺度函数的低通特性和小波函数的带通特性。图9-6多分辨率分析图示三、小波包图9-7小波包图示第四节小波变换的快速算法本节介绍基本的一维Mallat算法，Mallat算法是一种基2类小波快速算法，在语音和图像处理中应用很多。此即为小波变换系数的重建公式

图9-8Mallat算法分解与重构算法图（a）分解快速算法示意图（b）重构快速算法示意图图9-9二次分解和二次重构示意图

（a）二次分解（b）二次重构第五节以MATLAB实现小波分析及应用一、常用小波

1．Haar小波2．Daubechies小波

Daubechies小波一般简写为dbN，N为小波的阶数。当N=1时，为Haar小波，时，dbN没有显式表达式，图9-2分别显示了db3、db5、db7、db10的情况。3．Mexicohat小波例9-1．作出[-5,5]上取1000点的Mexicohat小波。解％作出Mexicohat小波的图形lb=-5;ub=5;n=1000;[psi,x]=mexihat(lb,ub,n);plot(x,psi);title(‘Mexicanhatwavelet’);4．Morlet小波此小波的图形如图9-1（b），定义为由于复值Morlet能提取信号的幅值和相位信息，较常用。5．Meyer小波图9-11Meyer小波二、常用信号的小波分析1．命令行方式小波分析

图9-12加噪声正弦信号的小波分析

例9-2．用命令行方式对加入白噪声的正弦信号进行连续小波分析。结果如图9-12所示。解t=1:1000;y=sin(0.1*t);ynois=sin(0.1*t)+0.5*randn(size(t));c=cwt(y2,1:64,'db4','plot');2．图形化方式小波分析图9-13图形化方式小波分析的主菜单

例9-3．以图形化方式对例9-2进行小波分析，要求以load调用信号。解％先建立待分析信号，并以save命令保存。fort=1:1000y(t)=sin(0.1*t)+0.5*randn(size(t));endsavey;%===========================％打开小波分析工具箱主菜单wavemenu;%===========================点击ContinuousWavelet1-D，并选择File=>LoadSignal=>y，可调用含白噪声的正弦信号，在生成的界面中选择Wavelet：db4；Scale：1:1:64，点击Analyse键，可得分析结果如图9-14。图9-14图形化连续小波分析(a)尺度为10时的小波系数图

图9-15不同尺度对应的小波系数图(b)尺度为50时小波系数图

3．信号突变点检测小波变换可以容易地进行信号的特征提取。例9-4．以MATLAB自身带的nearbrk信号进行信号突变点检测。解%装入原始信号loadnearbrk;s=nearbrk;%===========================%画出该信号的波形图subplot(4,2,1);plot(s);ylabel('s');title('原始信号s和信号的近似a、细节d');%===========================%用小波db2进行3层分解[c,l]=wavedec(s,3,'db2');fori=1:3decmpa=wrcoef('a',c,l,'db2',4-i);subplot(4,2,2*i+1);plot(decmpa);Ylabel(['a',num2str(4-i)]);endfori=1:3decmpd=wrcoef('d',c,l,'db2',4-i);subplot(4,2,2*(i+1));plot(decmpd);Ylabel(['d',num2str(4-i)]);end图9-16例9-4运行结果4．多分辨率分解与重构例9-5．给定正弦信号，对其进行多分辨率分解与重构。解％生成原始信号t=0:pi/100:4*pi;s=sin(t+3*pi/4);subplot(3,2,1);plot(s);ylabel('s');gtext('原始信号');%====================================%对s进行小波分解：db13层[c,l]=wavedec(s,3,'db1');%====================================%提取小波分解的低频系数a3a3=appcoef(c,l,'db1',3);%====================================%提取小波分解的各层高频系数d3=detcoef(c,l,3);d2=detcoef(c,l,2);d1=detcoef(c,l,1); %====================================%绘出各系数的图形subplot(3,2,3);plot(a3);ylabel('a3');subplot(3,2,2);plot(d3);ylabel('d3');subplot(3,2,4);plot(d2);ylabel('d2');subplot(3,2,6);plot(d1);ylabel('d1');%====================================%重构信号ss1=waverec(c,l,'db1');subplot(3,2,5);plot(s1);ylabel('s1');gtext('重构信号');图9-17例9-5运行结果三、信号处理1．信号的自相似性检测例9-6．利用小波分析来检测MATLAB自带的信号vonkoch。解loadvonkoch;s=vonkoch;subplot(2,1,1);plot(s);title('原始信号');subplot(2,1,2);f=cwt(s,[2:2:128],'coif3','plot');title('小波分解自相似指数图');xlabel('时间');ylabel('变换尺度');图9-18例9-6运行结果2．识别信号中的频率成分例9-7．以小波分析识别MTALAB自带的sumsin信号，此信号由三种不同频率正弦信号叠加而成。解loadsumsin;s=sumsin;figure(1);subplot(6,1,1);plot(s);ylabel('s');title('原始信号和各层近似');[c,l]=wavedec(s,5,'db3');fori=1:5decom=wrcoef('a',c,l,'db3',6-i);subplot(6,1,i+1);plot(decom);ylabel(['a',num2str(6-i)]);endfigure(2);subplot(6,1,1);plot(s);ylabel('s');title('原始信号和各层细节');[c,l]=wavedec(s,5,'db3');fori=1:5decom=wrcoef('d',c,l,'db3',6-i);subplot(6,1,i+1);plot(decom);ylabel(['d',num2str(6-i)]);end图9-19例9-6运行结果3．信号去噪信号去噪声是小波分析的一个重要的应用。一般的，含噪声的一维信号可表示为例9-8．利用小波分析对含噪声信号noissin进行去噪处理。解%含噪信号loadnoissin;ns=noissin;subplot(2,1,1);plot(ns);title('含噪信号');%=====================%进行消噪处理xd=wden(ns,'minimaxi','s','one',5,'db3');subplot(2,1,2);plot(xd);title('去噪信号');

图9-20例9-8运行结果4．信号压缩由于比较规则的信号含有数据量很小的低频系数。因此可以用小波分析的方法对之进行压缩。具体步骤为：小波分解；对高频系数进行阈值量化处理；对量化后的系数进行小波重构。例9-9．用小波分析的方法对信号leleccum进行压缩。解%装载信号loadleleccum;%============================%截取信号中的一段[2600，3100]s=leleccum(2600:3100);%============================%用小波db3对s进行三层分解[c,l]=wavedec(s,3,'db3');%============================%选用全局阈值进行信号压缩处理thr=40;[sd,csd,lsd,perf0,perfl2]=wdencmp('gbl',c,l,'db3',3,thr,'h',1);subplot(2,1,1);plot(s);title('原始信号');subplot(2,1,2);plot(sd);title('压缩后的信号');图9-21例9-9的运行结果5．利用小波包进行信号去噪例9-10．以小波包分析对信号noismima进行去噪处理。解%装载原始信号并图示之loadnoismima;s=noismima(1:1000);subplot(2,2,1);plot(s);title('原始信号');%==============================%采用默认阈值、用wdencmp函数进行消噪处理[thr,sorh,keepapp,crit]=ddencmp('den','wp',s);%==============================%用全局阈值选项进行消噪处理[c,treed,perf0,perfl2]=...wpdencmp(s,sorh,3,'db2',crit,thr,keepapp);subplot(2,2,3);plot(c);title('默认阈值消噪信号');%==============================%根据前面的消噪效果，调节阈值大小进行消噪thr=thr+15;[c1,treed,perf0,perfl2]=...wpdencmp(s,sorh,3,'db2',crit,thr,keepapp);subplot(2,2,4);plot(c1);title('调节阈值后的消噪信号');图9-22例9-10的运行结果6．图像例9-11．利用二维小波分析和图像的中值滤波对一给定的含噪图像进行平滑处理。解

%装载原始图像

loadgatlin;%=====================================%对图像加噪声并显示出含噪图像

Init=2788605800;randn('seed',init);X=X+10*randn(size(X));subplot(1,2,1);image(X);colormap(map);title('含噪图像');%=====================================%图像平滑：应用中值滤波进行处理fori=2:479forj=2:639Xtemp=0;form=1:3forn=1:3Xtemp=Xtemp+X(i+m-2,j+n-2);endendXtemp=Xtemp/9;X1(i,j)=Xtemp;endend%=====================================%显示结果subplot(1,2,2);image(X1);colormap(map);title('平滑图像');图9-23例9-11运行结果

自适应滤波系统

Why？维纳滤波参数是固定的，适用于平稳随机信号。卡尔曼滤波器参数是时变的，适用于非平稳随机信号。然而，只有对信号和噪声的统计特性先验已知条件下，这两种滤波器才能获得最优滤波。What？所谓的自适应滤波，就是利用前一时刻已获得滤波器参数等结果，自动地调节现时刻的滤波器参数，以适应信号或噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。设计自适应滤波器时可以不必要求预先知道信号和噪声的自相关函数，而且在滤波过程中信号与噪声的自相关函数即使随时间作慢变化它也能自动适应，自动调节到满足最小均方差的要求（因此实际同WF及KF是一致的）。这些都是它突出优点。需要已知的内容：输入及理想的输出

（参考信号）Example：基于最陡下降法其中：其基本结构可表示为：应用需求（HOW？）§3.1LMS自适应滤波器基本原理介绍了自适应滤波器的结构形式、物理意义及实质，从而说明其实质是同WF一致的，只是算法的思想不同。横向结构的FIR滤波器的物理意义系统的零状态响应为：语言可描述：输出是N个所有过去各输入的线性加权之和，其加权系数就是

上式可等价为：

即：自适应滤波器可看成是自适应线性组合器，其结构图如下：线性组合器（通用的结构模型）横向FIR结构

横向FIR自适应滤波器简化形式:

自适应滤波器的工作原理介绍原则：最小均方差。需要求的是加权系数W推导的思路：将输出y的表达式代入均方差公式中，对欲求的权系数求一阶导数为零的值，即为最佳值。推导过程（验证同KF一致性）令：则：

均方误差的梯度（用表示）

就可得到最佳权矢量，用表示，即上式是维纳-霍夫方程的矩阵形式因此关键在于怎样能简便地寻找，或者说用什么样的算法来求得，最常用的算法是所谓最小均方(LeastMeanSquare)算法，简称LMS算法。其他的一些算法(RLS递推最小二乘)，自己看参考书。§3.2Widrow-HoffLMS算法（递推算法）最陡下降法原理由上面的讨论得出以下结论：1：自适应滤波的结果同维纳滤波器的结果一致，均满足正交定理。2：自适应滤波器设计可采用递推的方法求出最佳的权系数W；且可表示为算法简单，不涉及矩阵的复杂运算。3：该方法的关键技术是如何适时地求得（或估计）梯度在实际中，为了便于实时系统实现，取单个样本误差的平方的梯度作为均方误差梯度的估计

上两式的这种算法即称为：

Widrow-HoffLMS算法该算法的好处：只存在乘法和加法，简单易于实时系统的实现。

应用Widrow-HoffLMS算法的自适应横向滤波器示于下图。3.2.2能使LMS算法收敛于的μ值范围本节讨论以下问题：1。控制参数μ是否可以任意选取，只要大于零就行吗？2。其大小影响了算法的那些方面？3。具体在滤波器的实际设计中，应如何确定？1。先讨论LMS算法收敛于的条件上式要收敛必须满足：所以收敛的充分条件可以写成2。μ是一个控制稳定性和收敛速度的参量

，其对收敛的影响有以下结论：1：在<的范围内，当μ取得愈大，有愈大，收敛愈快。2；在满足<<2条件下的μ，最后仍可收敛于。图3.2.4(a)表示在这种情况收敛的过程（这种情况称为欠阻尼情况。对应于欠阻尼情况，（1）情况成为过阻尼）。当μ选得过大，使>2时，此时将不能收敛于3.2.3LMS算法的动态特性—学习曲线及其时间常数3.2.4梯度噪声及其所引起的失调量[例]设M=10%（一般M=10%可以满足大多数工程设计的要求）并设N=10，问应该取多少次迭代数？[解]按式得 所以（