高一数学寒假（人教B版 第三册）第08讲 三角函数的定义（教师卷）

第08讲三角函数的定义【学习目标】1.理解并掌握任意角的三角函数定义，会求给定角的三角函数值，重点培养数学抽象、数学运算核心素养．2．借助任意角的三角函数定义，掌握三角函数在各象限的符号规律，重点提升逻辑推理等核心素养．3.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切，重点培养数学抽象核心素养．4．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．重点提升直观想象、逻辑推理核心素养．【知识导航】任意角的正弦、余弦与正切的定义使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.1．角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？提示：sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).2．对确定的锐角α，sinα，cosα，tanα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？提示：不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．任意角的三角函数的定义(1)对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝eq\r(x2＋y2)，则称eq\f(y,r)为角α的正弦，记作sin_α；称eq\f(x,r)为角α的余弦，记作cos_α．即sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)．当角α的终边不在y轴上时，此时称eq\f(y,x)为角α的正切，记作tan_α，即tanα＝eq\f(y,x)．(2)对于每一个角α，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)时，有唯一的正切与之对应．角α的正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数．[点拨]1．在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．2．要明确sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．正(余)弦与正切在各象限的符号当α的终边不落在坐标轴上即α≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)时，你能判断sinα，cosα，tanα在各象限的符号吗？提示：由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边上异于原点的任意点P(x，y)，r＝eq\r(x2＋y2)，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).由r＞0可知，当α为第一象限角时，y＞0，x＞0，故sinα＞0，cosα＞0，tanα＞0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．1．三角函数的符号规律(记忆口诀)一全正、二正弦、三正切、四余弦．2.三角函数值α落在坐标轴上sinαcosαtanαα＝2kπ(k∈Z)010α＝2kπ＋π(k∈Z)0－10α＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)10不存在α＝2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)－10不存在正弦线、余弦线和正切线1．在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1，0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示．(1)试求P点的坐标；(2)能否用向量直观表示sinα，cosα，tanα.提示：(1)P(cosα，sinα)(2)根据三角函数的定义，用向量eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(AT,\s\up6(→))表示sinα，cosα，tanα.2．三角函数线的方向是如何规定的？提示：方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值．3．三角函数线的长度和方向各表示什么？提示：长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．图示正弦线角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，eq\o(MP,\s\up6(→))称为正弦线余弦线eq\o(OM,\s\up6(→))称为余弦线正切线过点A(1，0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，eq\o(AT,\s\up6(→))称为正切线正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．【知识预习】考点一：三角函数的定义1．已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，.故选：C2．已知角的终边经过点，则角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为角的终边经过点，则，，所以.故选：D.3．若角的终边过点，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意可得在第四象限，则为正数，且，，，所以选项A，B，C错误；正确，故选：D4．若，则点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】∴点在第二象限.故选:.5．若，则所在的象限是A．二、四 B．一、二 C．一、四 D．二、三【答案】C【详解】，或.若且，则角为第一象限角；若且，则角为第四象限角.综上所述，角为第一或第四象限角.故选：C.考点二：单位圆与三角函数线6．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在A．直线y＝x上 B．直线y＝－x上C．直线y＝x上或直线y＝－x上 D．x轴上或y轴上【答案】C【详解】解：因为角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，所以得tanα＝±1，故角α的终边在直线y＝x上或直线y＝－x上，故选C．7．如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则下列关于角α的说法正确的是（

）A．正弦线是PM，正切线是A′T′B．正弦线是MP，正切线是A′T′C．正弦线是MP，正切线是ATD．正弦线是PM，正切线是AT【答案】C【详解】由正弦线、正切线的定义可知，MP是正弦线，AT是正切线.故选：C8．若和分别是角的正弦线和余弦线，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】在单位圆中画出角的正弦线和余弦线，如图所示，则.故选：C.9．，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】作出弧度角的正弦线、余弦线和正切线如下图所示，则，，，其中虚线表示的是角的终边，，则，即.故选：D.10．已知角的正弦线和余弦线长度相等，且的终边在第二象限，则A．0 B．1 C． D．【答案】C【详解】由条件知，且，，∴，于是．【对点训练】一、单选题1．若为第二象限角，则下列各式恒小于零的是A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，作出的三角函数线，显然，且,∵，，∴．∴，即.故选B.2．若，以下不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】当时，，，，所以.故选A.3．下面四个不等式中不正确的为A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A，如图，利用三角函数线可知，所对的弧长为，，∴，A对；B，由于,，B错；C，如图，，则，C对；D，，D对；故选：B．4．下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】作出单位圆，用三角函数线进行求解，如图所示，有，所以，故选：A.5．若为第四象限角，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】为第四象限角，依据三角函数定义，则有，故选：B6．已知角的终边经过点，且，则（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【详解】由题意，解得．故选：C．7．若点在角的终边上，则tan＝（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵点在角的终边上，∴.故选:B.8．已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由三角函数的定义可得.故选：B.二、多选题9．(多选)下列说法正确的有（

）A．当角的终边在轴上时，角的正切线是一个点B．当角的终边在轴上时，角的正切线不存在C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化D．余弦线和正切线的始点都是原点【答案】ABC【详解】根据三角函数线的概念，ABC都是正确的，只有D不正确；因为余弦线的始点在原点，而正切线的始点在单位圆与轴正半轴的交点上.故选：ABC10．下列四个选项，正确的有（

）A．在第三象限，则是第二象限角B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为C．若角的终边经过点，则D．【答案】ABD【详解】对A：由题可得，则属于第二或者第四象限；，则属于第二或者第三象限或角度终边落在轴的负半轴上；故属于第二象限，A正确；对B：设扇形的圆心角为，半径为，圆心角对的弧长为，则，，解得，又，即，解得，B正确；对C：根据题意可得，故C错误；对D：因为，，故，故，D正确.故选：ABD.三、填空题11．用三角函数线比较与的大小，结果是______.（用“>”连接）【答案】##【详解】解：，中，根据三角函数线的定义得出：，，．故答案为：.12．若角的终边过点，则__________.【答案】##－1.4【详解】角的终点过点，则由定义可得，.所以故答案为：.四、解答题13．分别作出下列各角的正弦线､余弦线和正切线.(1);

(2).【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】解:(1)设的终边与单位圆交于点P,过作垂直于x轴的直线交的终边于点T,过P作轴,交x轴于M,如图(1)所示,则是正弦线,是余弦线,是正切线.

(1)

(2)(2)同(1),过作垂直于x轴的直线,交的终边的反向延长线于点T,如图(2)所示,则是正弦线,是余弦线,是正切线.14．（1）如果，，则是第几象限角．（2）若，则是第几象限角．（3）若与异号，则是第几象限角．（4）若与同号，则是第几象限角．【答案】（1）第一象限角；（2）第二或第三象限角；（3）第二或第四象限角；（4）第一或第二象限角.【详解】（1），，，由知：为第一象限角；（2），，是第二或第三象限角；（3）与异号，即或，是第二或第四象限角；（4）与同号，即或，是第一或第二象限角.15．已知角的顶点为原点O，始边与x轴的非负半轴重合．若角的终边过点，且，(1)判断角的终边所在的象限；(2)求和的值．【详解】（1）由题意知，点P到原点O的距离，∴．∵，∴，∴，∴，∴角的终边在第二或第三象限.（2）当角的终边在第二象限时，；当角的终边在第三象限时，.【提升作业】一、单选题1．已知角的终边经过点，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以，解得，所以.故选：B.2．已知角，角，终边上有一点，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，即点在第三象限，且，且，所以.故选：D3．已知角的终边经过点，则的值为（

）A． B． C．1或 D．或【答案】D【详解】由题意可得：点P与原点间的距离，∴.当时，则，故；当时，则，故.故选：D.4．设，和分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】分别作角的正弦线、余弦线和正切线，如图所示，∵，，，∴．故选：B．5．如图，在平面直角坐标系中，､､､分别是单位圆上的四段弧，点在其中一段上，角以为始边，为终边.若，则所在的圆弧是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.A选项：当点在上时，，，故A选项错误；B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；D选项：点在上，，故D选项错误.故选：C.二、填空题6．已知角，则的大小关系为__________．【答案】##【详解】如下图示，在单位圆中，轴，轴，且，所以，，，△的面积，扇形的面积，△的面积，由图知：，故.故答案为：7．若角满足，则的终边在第______象限.【答案】三【详解】解：，又角满足，于是可得的终边在第三象限.故答案为：三.三、解答题8．已知角的终边经过点，且满足．(1)若为第二象限角，求值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)或或.【详解】（1）由三角函数的定义，可知，解得或，∵α为第二象限角，∴m＞0，所以m＝，∴；（2）由（1）知或，当时，，所以；当时，，，所以；当时，，，所以.综上所述，的取值为或或．9．（1）已知是第二象限角，试判断的符号．（2）若，求的终边的位置．【答案】（1）；（2）的终边在第二、三象限或在