2022-2023学年广东省阳江市津浦中学高二数学理摸底试卷含解析

2022-2023学年广东省阳江市津浦中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集则右图中阴影部分表示的集合为（

）A、

B、C、 D、参考答案：B略2.下列命题中正确的个数是（）①命题“?x∈（1，+∞），2x＞2”的否定是“?x?（1，+∞），2x≤2”②“a=2”是“|a|=2”的必要不充分条件；③若命题p为真，命题?q为真，则命题p∧q为真；④命题“在△ABC中，若，则”的逆否命题为真命题．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【专题】整体思想；定义法；简易逻辑．【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断．②根据充分条件的定义进行判断．③根据复合命题的真假关系进行判断．④根据逆否命题的真假关系进行判断．【解答】解：①命题“?x∈（1，+∞），2x＞2”的否定是“?x∈（1，+∞），2x≤2”，故①错误，②由|a|=2，得a=2或a=﹣2，即“a=2”是“|a|=2”的充分不必要条件；故②错误，③若命题p为真，命题￢q为真，则q为假命题．，则命题p∧q为假命题；故③错误，④命题“在△ABC中，若，则0＜或＜A＜π，则原命题为假命题．，则命题的逆否命题为假命题．故④错误，故正确的为0个，故选：A【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的判断，复合命题真假平行，以及四种命题的真假判断，涉及的知识点较多，难度不大．3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】程序框图．【分析】由上程序框图，当运行程序后，写出每次循环x，y，z的值，当z＜20不成立，输出所求结果即可．【解答】解：由上程序框图，当运行程序后，x=1，y=1，z=2＜20，满足条件，执行循环；则x=1，y=2，z=3＜20，满足条件，执行循环；则x=2，y=3，z=5＜20，满足条件，执行循环；则x=3，y=5，z=8＜20，满足条件，执行循环；则x=5，y=8，z=13＜20，满足条件，执行循环；则x=8，y=13，z=21＞20，不满足条件，退出循环，则输出，故选：B．4.在下列函数中最小值为2的是（）A、

B、C、

D、参考答案：C略5.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，aN，输出A，B，则（）

A．A+B为a1，a2，…，aN的和B．A和B分别是a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数C．为a1，a2，…，aN的算术平均数D．A和B分别是a1，a2，…，aN中最小的数和最大的数参考答案：B【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序知：该程序的作用是求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数；其中A为a1，a2，…，an中最大的数，B为a1，a2，…，an中最小的数．故选：B．6.过点P（－3，0）且倾斜角为30°直线和曲线相交于A、B两点．则线段AB的长为（

）．A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.等差数列中,则的前9项和(

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.已知实数x、y满足则z=2x+y的最小值是

A．-3

B.2

C.0

D.1参考答案：B9.已知、为双曲线C:的左、右焦点,点在曲线上,∠=,则到轴的距离为（

）A．

B． C．

D．参考答案：B略10.已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，则由观测数据算得的线性回归方程是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如304，968等都是凹数。各个数位上无重复数字的三位凹数共有____________个.参考答案：24012.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率是，得2分的概率是，不得分的概率是（），已知他投篮一次得分的数学期望是2（不计其它得分），则的最大值是__________。参考答案：13.曲线在点处的切线的一般式方程为__________．参考答案：14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a＝1，c＝，B＝，则b等于____________参考答案：略15.设f（x）是（x2+）6展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则实数m的取值范围是． 参考答案：[5，+∞）【考点】二项式定理． 【专题】概率与统计；二项式定理． 【分析】由题意可得f（x）=x3，再由条件可得m≥x2在区间[，]上恒成立，求得x2在区间[，]上的最大值，可得m的范围． 【解答】解：由题意可得f（x）=x6=x3． 由f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，可得m≥x2在区间[，]上恒成立， 由于x2在区间[，]上的最大值为5，故m≥5， 即m的范围为[5，+∞）， 故答案为：[5，+∞）． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，函数的恒成立问题，属于中档题． 16.已知一个正四棱锥的底面正方形边长为2，侧棱长为2，则该棱锥的侧棱与底面所成角的大小为________.参考答案：45°17.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为__________．参考答案：直线方程为，圆方程为，圆心到直线的距离，弦长．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求面与面所成角的大小．参考答案：（Ⅰ）证明：设为的中点，连接，则∵，，，∴四边形为正方形，∵为的中点，∴为的交点，∵，∴，

(2分)∵，∴，，在三角形中，，∴，（3分∵，∴平面

（4分）

(Ⅱ)方法1：连接，∵为的中点，为中点，∴，∵平面，平面，∴平面.

（8分）方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：，，，，，，则，，，.∴∴∵平面，平面，∴平面；

(8分)(Ⅲ)设平面的法向量为，则，即，解得，设平面的法向量为同理可得则，面与面所成角的大小为（12分）19.已知矩阵A＝，A的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝.（1）求矩阵A的另一个特征值及其对应的一个特征向量（2）设向量β＝，试计算A5β的值．参考答案：略20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，求a+b的最大值.参考答案：解：（1）在中，由以及正弦定理得.，，∴.∵，∴.（2）∵，，由正弦定理得，∴，.∴.又∵，∴时，取最大值.21.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．（1）证明：CE⊥AB；（2）若二面角P﹣CD﹣A为60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值；（3）若AB=kPA，求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间角．【分析】（1）取AB中点F，连结EF、FC，则EF∥PA，CF∥AD，从而EF⊥AB，AB⊥CF，由此能证明CE⊥AB．（2）推导出PA⊥CD，CD⊥PD，则∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，由此能求出直线CE与平面PAB所成角的正切值．（3）过P作PG∥CD，推导出∠APD为所求锐二面角的平面角，由此能求出平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取AB中点F，连结EF、FC，则EF∥PA，CF∥AD，∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∵AB?平面ABCD，∴EF⊥AB，∵AB⊥AD，∴AB⊥CF，∵EF?平面EFC，CF?平面EFC，∴AB⊥平面EFC，∵CE?平面EFC，∴CE⊥AB．解：（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，∴∠PDA=60°，∴PA=，∵AB=AD=2CD，∴PA==，由（1）知，∠CEF为CE于平面PAB所成角，∵tan∠CEF====，∴直线CE与平面PAB所成角的正切值为．（3）过P作PG∥CD，由PA⊥平面PAD，得PA⊥AB，PA⊥PG，由BA⊥平面PAD，得CD⊥平面