广东省肇庆市开明中学2022年高二数学理联考试题含解析

广东省肇庆市开明中学2022年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数存在极值的是（

）A

B

C

D

参考答案：B略2.已知集合,,则（）A.

B.

C.

D.参考答案：C3.已知关于的不等式的解集为，则实数的值分别为(

)

参考答案：B4.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=± B．y= C．x= D．y=参考答案：D【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程．【分析】先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c，令二者相等即可求得m和n的关系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，∴=2双曲线的渐近线方程为y=±=±x故选D5.设，若直线与圆相切，则的取值范围是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.已知圆：，是轴上的一点，分别切圆于两点，且，则直线的斜率为（

）A．0

B．

C．1

D．参考答案：A略7.函数是定义域为的函数，对任意实数都有成立．若当时，不等式成立，设，，，则，，的大小关系是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A因为对任意实数都有成立，所以函数的图象关于对称，又由于若当时，不等式成立，所以函数在上单调递减，所以8.若点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略9.在一球内有一边长为1的内接正方体,一动点在球内运动,则此点落在正方体内部的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D10.定积分（x2+sinx）dx的值为（）A．+ B．﹣ C．﹣ D．+参考答案：B【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AB异面且垂直的棱共有条．参考答案：4【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】画出正方体，利用数形结合思想能求出结果．【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AB异面且垂直的棱有：DD1，CC1，A1D1，B1C1，共4条．故答案为：4．12.设为虚数单位，若复数

.参考答案：试题分析：考点：复数运算13.在复平面内．平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C对应的复数分别是1+3i，﹣i，2+i，则点D对应的复数为

．参考答案：3+5i【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设D的坐标（x，y），由于，可得（x﹣1，y﹣3）=（2，2），求出x，y的值，即可得到点D对应的复数．【解答】解：复平面内A、B、C对应的点坐标分别为（1，3），（0，﹣1），（2，1），设D的坐标（x，y），由于，∴（x﹣1，y﹣3）=（2，2），∴x﹣1=2，y﹣3=2，∴x=3，y=5．故D（3，5），则点D对应的复数为3+5i，故答案为：3+5i．14.直线mx+ny﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点，若以（m，n）为点P的坐标，则过点P的一条直线与椭圆的公共点有个．参考答案：2【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆的位置关系．【分析】根据直线mx+ny﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点即为将方程代入圆中消去x得到方程无解，利用根的判别式小于零求出m与n的关系式，得到m与n的绝对值的范围，在根据椭圆的长半轴长和短半轴长，比较可得公共点的个数．【解答】解：将直线mx+ny﹣3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得（m2+n2）y2﹣6ny+9﹣3m2=0．令△＜0得，m2+n2＜3．又m、n不同时为零，∴0＜m2+n2＜3．由0＜m2+n2＜3，可知|n|＜，|m|＜，再由椭圆方程a=，b=可知P（m，n）在椭圆内部，∴过点P的一条直线与椭圆的公共点有2个．故答案为2．15.已知椭圆，为左顶点，为短轴端点，为右焦点，且，则这个椭圆的离心率等于

．参考答案：16.如图，它满足①第n行首尾两数均为n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是

．参考答案：【考点】归纳推理．【分析】依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有an+1=an+n（n≥2），再由累加法求解即可．【解答】解：依题意an+1=an+n（n≥2），a2=2所以a3﹣a2=2，a4﹣a3=3，…，an﹣an﹣1=n累加得an﹣a2=2+3+…+（n﹣1）=∴故答案为：17.用数学归纳法证明，在验证n=1成立时，等式左边是

▲

.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线与直线相交于A、B两点，点O是坐标原点.（Ⅰ）求证：OAOB；（Ⅱ）当△OAB的面积等于时，求t的值.参考答案：（I）见解析；（II）【分析】（Ⅰ）联立抛物线与直线方程，得到关于的一元二次方程，进而应用根与系数的关系即可证明OAOB；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，建立的方程，即可得到答案。【详解】（I）由，设，则.

∴

∴

（II）设与x轴交于E,则，∴，

解得：【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质的知识点，直线和抛物线的位置关系，可通过直线方程与抛物线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，同时注意过焦点的弦的一些性质，属于中档题。19.抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上点M的横坐标为1，且|MF|=．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过焦点F作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C交于M、N和P、Q四点，求四边形MPNQ面积的最小值．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的定义直接求抛物线C的方程；（Ⅱ）过焦点F作两条相互垂直的直线，设MN：x=my+，PQ：x=﹣y+（m≠0），联立直线与抛物线方程组成方程组，利用弦长公式，求出MN，PQ，推出四边形MPNQ的面积的表达式，利用基本不等式求四边形MPNQ面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知：1+=，∴p=故抛物线C的方程为：y2=x…（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F（，0）设MN：x=my+，PQ：x=﹣y+（m≠0）…由得：y2﹣my﹣=0∵△=m2+1＞0∴|MN|==m2+1…同理：|PQ|=+1…．∴四边形MPNQ的面积：S=（m2+1）（+1）=（2++m2）≥2（当且仅当m=±1时等号成立）∴四边形MPNQ的面积的最小值为2．…20.已知，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围.参考答案：解:由题意p:

∴……………4分q：……………8分又∵是的必要而不充分条件∴

……………12分∴…………14分

21.已知一圆经过点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心C在直线l：，此圆的标准方程.参考答案：解：因为A（2，－3），B（－2，－5），所以线段AB的中点D的坐标为（0，－4），……………1分

又，所以线段AB的垂直平分线的方程是．

……5分

联立方程组，解得．……7分

所以，圆心坐标为C（－1，－2），半径，

所以，此圆的标准方程是．……………10分22.（本小题满分12分）已知函数对任意恒有，且当时，.（Ⅰ）求证：函数是上的奇函数；（Ⅱ）求证：函数是上的增函数；（Ⅲ）若，且函数对所有的都成立，求实数的取值范围.参考答案：（3）解：∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝1，又f(x)是[－1,1]上的奇函数，∴当x∈[－1,1]时，f(x)